Проблема планирования экономичных партий

Проблема планирования экономических партий ( ELSP ) — это проблема управления операциями и теории запасов , которая изучается многими исследователями уже более 50 лет. Этот термин впервые был использован в 1958 году профессором Джеком Д. Роджерсом из Беркли. который расширил экономическую модель количества заказа должно производиться несколько продуктов на случай, когда на одной машине , так что необходимо решить как размер партии для каждого продукта, так и время, когда каждая партия должна быть произведена. Метод, проиллюстрированный Джеком Д. Роджерсом, основан на статье Уэлча У. Эверта 1956 года. ELSP — это математическая модель общей проблемы практически любой компании или отрасли: планирование того, что производить, когда производить и сколько производить.

Формулировка модели

Классический ELSP предполагает планирование производства нескольких продуктов на одном станке, чтобы минимизировать общие затраты (которые включают затраты на настройку и затраты на хранение запасов).

Мы предполагаем известный, неизменный спрос $d_{j},j=1,\cdots ,m$ для m продуктов (например, может быть m=3 продуктов, и клиентам требуется 7 единиц Продукта 1 в день, 5 единиц Продукта 2 в день и 2 единицы Продукта 3 в день). клиентов Спрос удовлетворяется за счет запасов, а запасы пополняются за счет нашего производства.

Доступна одна машина, которая может производить все продукты, но не полностью взаимозаменяемыми способами. Вместо этого машину необходимо настроить для производства одного продукта, что потребует затрат на настройку и/или времени на настройку, после чего она будет производить этот продукт с известной скоростью. $P_{j}$. Когда необходимо произвести другой продукт, машину останавливают, и требуется еще одна дорогостоящая установка, чтобы начать производство следующего продукта. Позволять $S_{ij}$ быть стоимость установки при переходе с продукта i на продукт j и стоимость запасов $h_{j}$ взимается на основе среднего уровня запасов каждого товара. N — количество выполненных запусков, U — норма использования, L — размер партии и T — период планирования.

Если привести очень конкретный пример, машина может представлять собой машину для розлива в бутылки , а продуктами могут быть ящики с яблочным соком , апельсиновым соком и молоком в бутылках . Настройка соответствует процессу остановки машины, ее очистки и загрузки бака машины нужной жидкостью. Эту смену продукта не следует производить слишком часто, иначе затраты на установку будут большими, но в равной степени слишком длительный период производства яблочного сока был бы нежелателен, поскольку это привело бы к большим инвестициям в запасы и затратам на содержание непроданных ящиков яблочного сока и, возможно, к большим затратам на содержание непроданных ящиков яблочного сока. дефицит апельсинового сока и молока. ELSP ищет оптимальный компромисс между этими двумя крайностями.

Алгоритм Роджерса

1. Определите:

$\theta =T/N=L/U$ = период использования

с _L = ${\frac {hL(P-U)}{2PU}}+{\frac {S}{L}}$, стоимость единицы партии размера L

$C_{N}=NLc_{L}=UT\left[{\frac {hL\left(P-U\right)}{2PU}}+{\frac {S}{L}}\right]$ общая стоимость N лотов. Чтобы получить оптимум :

${\frac {d(C_{N})}{dL}}={\frac {hT\left(P-U\right)}{2P}}-{\frac {SUT}{L^{2}}}=0$

Что дает $L_{0}={\sqrt {\frac {2USP}{h(P-U)}}}$ как оптимальный размер партии. Теперь позвольте:

$C_{N_{L\pm a}}=UT\left[{\frac {h\left(L\pm a\right)\left(P-U\right)}{2PU}}+{\frac {S}{L\pm a}}\right]$ — общая стоимость N _L±a лотов размером L±a

$+\Delta =C_{N_{L+a}}-C_{N}=UT\left[{\frac {ha\left(P-U\right)}{2PU}}-{\frac {S}{{\frac {L^{2}}{a}}+L}}\right]$ — дополнительные затраты на переход от размера L к L+a.

$-\Delta =C_{N_{L-a}}-C_{N}=UT\left[-{\frac {ha\left(P-U\right)}{2PU}}+{\frac {S}{{\frac {L^{2}}{a}}-L}}\right]$ — дополнительные затраты на переход от размера L к La.

2.

Общее количество необходимого товара = UT

Общее время производства изделия = UT/P

Убедитесь, что производительная мощность удовлетворена:

$\sum _{i=1}^{m}{\frac {U_{i}T}{P_{i}}}\leq T$

$\sum _{i=1}^{m}{\frac {U_{i}}{P_{i}}}\leq 1$

3. Вычислить:

$\theta _{0}={\frac {L_{0}}{U}}$ как целое число

Если для определенного предмета θ ₀ не является четным числом, вычислите:

$L=U\left(\theta _{0}+1\right)$

$L=U\left(\theta _{0}-1\right)$

И измените L ₀ на L в том направлении, которое вызывает наименьшее увеличение затрат между +Δ и -Δ.

4. Вычислите t _p =L/P для каждого элемента и перечислите элементы в порядке возрастания θ=L/U.

5. Для каждой пары предметов ij проверьте:

$\theta _{i}-t_{p_{i}}\geq t_{p_{j}}$

$\theta _{j}-t_{p_{j}}\geq t_{p_{i}}$

Чтобы сформировать пары, возьмите i ^й с i+1-м, i+2-м и т. д. Если какое-либо из этих неравенств нарушается, вычислите +Δ и -Δ для приращений размера партии 2U и в порядке изменения размера стоимости выполните поэтапное изменение размера партии. Повторяйте этот шаг до тех пор, пока оба неравенства не будут удовлетворены.

6. $e_{ij}=d-t_{p_{i}}\leq \theta _{i}-t_{p_{i}}-t_{p_{j}}$

1. Сформируйте все возможные пары, как в шаге 5.
2. Для каждой пары выберите _θi < _θj
3. Определите, является ли t _{p i} > t _{p j} , t _{p i} < t _{p j} или t _{p i} = t _{p j}
4. Выберите значение для e _ij (e _ij =0,1,2,3,...,θ _i - t _{p i} - t _{p j} ) и вычислите t _pi +e и t _pj +e
5. Вычислите M _i θ _i -M _j θ _j, установив M _i =k и M _j =1,2,3,...,T/θ _j ; ∀kε(1,2,...,T/θi ₎ . Затем проверьте, удовлетворено ли одно из следующих граничных условий:

для $t_{p_{i}}>t_{p_{j}}$ или $t_{p_{i}}<t_{p_{j}}$${\begin{cases}t_{p_{i}}+e\geq M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}\geq t_{p_{i}}+e\\t_{p_{j}}+e\geq M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>t_{p_{i}}+e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}\geq t_{p_{j}}+e\end{cases}}$

для $t_{p_{i}}=t_{p_{j}}$ ${\begin{cases}t_{p_{i}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>t_{p_{j}}+e\\t_{p_{i}}+e=M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}=t_{p_{j}}+e\end{cases}}$

Если ни одно из граничных условий не удовлетворено, то e _ij не мешает: если i=1 в e _ij , выберите следующее большее e на подэтапе 4, если i≠1, вернитесь к подэтапу 2. Если какая-то граница условие выполнено, переходим к подэтапу 4. Если для какой-либо пары не появляется не мешающее е, возвращаемся к п. 5.

7.Введите позиции в график и проверьте их осуществимость.

Стохастический ЭЛСП

На практике большое значение имеет проектирование, планирование и эксплуатация общих мощностей для нескольких продуктов с учетом времени и затрат на переналадку в условиях неопределенного спроса. Помимо выбора (ожидаемого) времени цикла с некоторым запасом, предусмотренным в («время безопасности»), необходимо также учитывать объем страхового запаса (буферного запаса), который необходим для достижения желаемого уровня обслуживания.

Статус проблемы

Эта проблема хорошо известна в сообществе исследователей операций, и был проведен большой объем академических исследований для улучшения модели и создания новых вариантов, решающих конкретные проблемы.

Модель известна как NP-трудная задача, поскольку в настоящее время невозможно найти оптимальное решение без проверки почти всех возможностей. То, что было сделано, следует двум подходам: ограничение решения конкретным типом (что позволяет найти оптимальное решение для более узкой задачи) или приближенное решение полной проблемы с использованием эвристики или генетических алгоритмов .

См. также

• Бесконечная скорость заполнения производимой детали: экономичный объем заказа
• Постоянная скорость заполнения производимой детали: экономичный объем производства.
• Спрос случайен: классическая модель Newsvendor
• Спрос меняется со временем: модель динамического размера партии

Дальнейшее чтение

• С. Е. Эльмаграби: Проблема планирования экономических лотов (ELSP): обзор и расширение, Наука управления, Vol. 24, № 6, февраль 1978 г., стр. 587–598.
• М. А. Лопес, Б. Г. Кингсман: Проблема планирования экономических партий: теория и практика, Международный журнал экономики производства, Vol. 23 октября 1991 г., стр. 147–164.
• Майкл Пинедо, Планирование и составление графиков в производстве и сфере услуг, Springer, 2005. ISBN   0-387-22198-0

Внешние ссылки

• Гальего: ELSP, Колумбийский университет, 2004 г.