Динамика файлов

Термин «динамика файла» означает движение множества частиц в узком канале.

В науке: в химии , физике , математике и смежных областях файловая динамика (иногда называемая однофайловой динамикой ) — это диффузия N ( N → ∞) одинаковых броуновских твердых сфер в квазиодномерном канале длины L ( L → ∞), такие, что сферы не перепрыгивают друг на друга, а средняя плотность частиц примерно фиксирована. Самым известным статистическим свойством этого процесса является то, что среднеквадратичное смещение (MSD) частицы в файле выглядит следующим образом: $\mathrm {MSD} \approx t^{\frac {1}{2}}$, а его функция плотности вероятности ( PDF ) является гауссовой по положению с отклонением MSD.

Результаты в файлах, которые обобщают базовый файл, включают:

• В файлах с законом плотности, который не фиксирован, а затухает по степенному закону с показателем степени a в зависимости от расстояния от начала координат, частица в начале координат имеет MSD , который масштабируется следующим образом: $MSD\approx t^{\frac {1+a}{2}}$, с гауссовым PDF .
• Когда, кроме того, коэффициенты диффузии частиц распределяются по степенному закону с показателем γ (вокруг начала координат), MSD получается: $MSD\approx t^{\frac {1-\gamma }{2/(1+a)-\gamma }}$, с гауссовым PDF .
• В аномальных файлах, которые являются возобновляемыми, а именно, когда все частицы пытаются прыгнуть вместе, но время прыжка взято из распределения, которое затухает по степенному закону с показателем -1 - α , СКО масштабируется как СКО соответствующего обычный файл, в степени α.
• В аномальных файлах независимых частиц MSD очень медленный и масштабируется следующим образом: $MSD\approx log^{2}(t)$. Еще более интересно то, что в таких файлах частицы образуют кластеры, определяя динамический фазовый переход. Это зависит от мощности аномалии α: следует процент частиц в кластерах ξ: $\xi \approx {\sqrt {1-\alpha ^{3}}}$.
• Другие обобщения включают в себя: когда частицы могут с постоянной вероятностью обходить друг друга при встрече, наблюдается усиленная диффузия. При взаимодействии частиц с каналом наблюдается более медленная диффузия. Файлы, внедренные в двухмерном формате, демонстрируют аналогичные характеристики файлов в одном измерении.

Обобщения базового файла важны, поскольку эти модели гораздо точнее отражают реальность, чем базовый файл. Действительно, файловая динамика используется при моделировании многочисленных микроскопических процессов: диффузия внутри биологических и синтетических пор и пористого материала, диффузия вдоль одномерных объектов, например, биологических дорог, динамика мономера в полимере и т. д.

Математическая формулировка

Простые файлы

В простых броуновских файлах $P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )$, совместная функция плотности вероятности (PDF) для всех частиц в файле подчиняется нормальному уравнению диффузии:

$\partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=D\Sigma _{j=-M}^{M}\partial _{x_{j}}^{2}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ).$ ( 1 )

В $P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )$, $\mathbf {x} =\{x_{-M},x_{-M+1},\ldots ,x_{M}\}$ это набор положений частиц во времени $t$ и $\mathbf {x_{0}}$ - набор начальных положений частиц в начальный момент времени $t_{0}$ (установлено на ноль). Уравнение (1) решается с использованием соответствующих граничных условий, которые отражают природу файла с твердыми сферами:

${\big (}D\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,$ ( 2 )

и с соответствующим начальным условием:

$P(\mathbf {x} ,t\rightarrow \infty \mid x_{0})=\Pi _{j=-M}^{M}\delta (x_{j}-x_{0,j}).$ ( 3 )

В простом файле исходная плотность фиксирована, а именно: $x_{0,j}=j\Delta$, где $\Delta$ — это параметр, который представляет собой микроскопическую длину. Координаты PDF-файлов должны подчиняться следующему порядку: $x_{-M}\leq x_{-M+1}\leq \cdots \leq x_{M}$.

Разнородные файлы

В таких файлах уравнение движения выглядит следующим образом:

$\partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=\Sigma _{j=-M}^{M}D_{j}\partial _{x_{j}}^{2}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ).$ ( 4 )

с граничными условиями:

${\big (}D_{j}\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D_{j+1}\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,$ ( 5 )

и с начальным условием, уравнение. ( 3 ), где начальные положения частиц подчиняются:

$x0,j=sign(j)\Delta \mid j\mid ^{1/(1-a)};\qquad 0\leq {\mathit {a}}\leq 1.$ ( 6 )

Коэффициенты диффузии файла берутся независимо от PDF,

$W(D)={\frac {1-\gamma }{\Lambda }}(D/\Lambda )^{-\gamma },\qquad 0\leq \gamma \leq 1,$ ( 7 )

где Λ имеет конечное значение, которое представляет собой самый быстрый коэффициент диффузии в файле.

Обновление, аномальные, гетерогенные файлы

В файлах с аномалиями обновления случайный период берется независимо от функции плотности вероятности времени ожидания (WT-PDF; дополнительную информацию см. в Марковском процессе с непрерывным временем ) в форме: $\psi _{\alpha }(t)\sim k(kt)^{-1-\alpha },0<\alpha \leq 1$, где k — параметр. Затем все частицы в файле останавливаются в течение этого случайного периода, а затем все частицы пытаются совершить прыжок в соответствии с правилами файла. Эту процедуру повторяют снова и снова. Уравнение движения для PDF частиц в файле с аномалией восстановления получается при свертке уравнения движения для броуновского файла с ядром $k_{\alpha }(t)$:

$\partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=\Sigma _{j=-M}^{M}D_{j}\partial _{x_{j}}^{2}\int _{0}^{t}k_{\alpha }(t-u)P(\mathbf {x} ,u\mid \mathbf {x_{0}} )\,du.$ ( 8 )

Вот ядро $k_{\alpha }(t)$и WT-PDF $\psi _{\alpha }(t)$ связаны в пространстве Лапласа, ${\bar {k}}_{\alpha }(s)={\frac {s{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}{1-{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}}$. (Преобразование Лапласа функции $f(t)$ читает, ${\bar {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$.) Отражающие граничные условия сопровождали уравнение. ( 8 ) получены при свертке граничных условий броуновского файла с ядром $k_{\alpha }(t)$, где здесь и в броуновском файле начальные условия идентичны.

Аномальные файлы с независимыми частицами

Когда каждой частице в аномальном файле присвоена своя нарисованная форма времени прыжка $\psi _{\alpha }(t)$ ( $\psi _{\alpha }(t)$ одинаков для всех частиц), аномальный файл не является файлом обновления. Основной динамический цикл в таком файле состоит из следующих шагов: частица с самым быстрым временем прыжка в файле, скажем, $t_{i}$ для частицы i предпринимается попытка прыжка. Затем времена ожидания для всех остальных частиц корректируются: вычитаем $t_{i}$ от каждого из них. рисуется новое время ожидания Наконец, для частицы i . Самое важное различие между аномальными файлами обновления и аномальными файлами, которые не являются возобновляемыми, состоит в том, что, когда каждая частица имеет свои собственные часы, частицы фактически связаны также во временной области, и результатом является дальнейшее замедление работы системы (доказано в основной текст). Уравнение движения PDF в аномальных массивах независимых частиц гласит:

$\partial _{t_{i}}P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )=D_{i}\partial _{x_{i}}^{2}\int _{0}^{t_{i}}k_{\alpha }(t_{i}-u_{i})P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} ^{'(i)},u_{i}\mid \mathbf {x_{0}} )\,du_{i};\qquad -M\leq i\leq M.$ ( 9 )

Обратите внимание, что аргумент времени в PDF $P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )$ представляет собой вектор времен: $\mathbf {t} =\{t_{i}\}_{i=-M}^{M}$, и $\mathbf {t} ^{'(i)}=\{t_{c}\}_{c=-M,c\neq i}^{M}$. Сложение всех координат и выполнение интегрирования в порядке наименьших времен (порядок определяется случайным образом из равномерного распределения в пространстве конфигураций) дает полное уравнение движения в аномальных массивах независимых частиц (усреднение уравнения по всем поэтому требуются дополнительные настройки). Действительно, даже уравнение. ( 9 ) очень сложна, и усреднение еще больше усложняет ситуацию.

Математический анализ

Простые файлы

Решение уравнений ( 1 )-( 2 ) — полный набор перестановок всех начальных координат, входящих в гауссианы,

$P(\mathbf {x} ,\mid \mathbf {x_{0}} )={\frac {1}{c_{N}}}\Sigma _{\{p\}}e^{-1/4Dt\Sigma _{j=-M}^{M}(x_{j}-x_{0,j}(p))^{2}}.$ ( 10 )

Здесь индекс $p$ идет на всех перестановках исходных координат и содержит $N!$ перестановки. Из уравнения. ( 10 ), PDF-файл отмеченной частицы в файле, $P(r,t\mid r_{0})$, рассчитывается

$P(r,t\mid r_{0})\sim {\frac {1}{c_{N}}}e^{-R_{d}^{2}/{\sqrt {2\tau }}},$ ( 11 )

В уравнении ( 11 ), $R_{d}=r_{d}\Delta$, $r_{d}=r-r_{0}$ ( $r_{0}$ — начальное состояние меченой частицы), а $\tau =\Delta ^{-2}Dt$. Среднее стандартное отклонение для меченой частицы получается непосредственно из уравнения. ( 11 ):

$\langle R_{d}^{2}\rangle \sim {\sqrt {\tau }}.$ ( 12 )

Разнородные файлы

Решение уравнений ( 4 )-( 7 ) аппроксимируется выражением

$P(x,t\mid x_{0})\approx {\frac {1}{c_{N}}}\Sigma _{\{p\}}e^{-\Sigma _{j=-M}^{M}(x_{j}-x_{0,j}(p))^{2}/4tD_{j}}.$ ( 13 )

Начиная с уравнения. ( 13 ), следует PDF-файл меченой частицы в гетерогенном файле:

$P(r,t\mid r_{0})\sim {\frac {1}{c_{N}}}e^{-R_{d}^{2}/4\tau \tau ^{(1-a))/(2-\gamma (1+a))}};\qquad \tau =\Delta ^{-2}\Lambda t.$ ( 14 )

СКО меченой частицы в гетерогенном файле взято из уравнения. ( 14 ):

$\langle R_{d}^{2}\rangle =2\tau ^{(1-\gamma )/(2c-\gamma )},\qquad c=1/((1+a)).$ ( 15 )

Обновление аномальных гетерогенных файлов

Результаты файлов с аномалиями обновления просто выводятся из результатов броуновских файлов. Во-первых, PDF в уравнении. ( 8 ) записано в формате PDF , который решает несверточное уравнение, то есть уравнение броуновского файла; это соотношение выполнено в пространстве Лапласа:

${\bar {P}}(x,s\mid x_{0})={\frac {1}{{\bar {k}}_{\alpha }(s)}}{\bar {P}}_{\text{nrml}}(x,s/{\bar {k}}_{\alpha }(s)\mid x_{0}).$ ( 16 )

(Нижний индекс nrml обозначает нормальную динамику.) Из уравнения. ( 16 ), можно легко связать MSD броуновских гетерогенных файлов и гетерогенных файлов с аномалией обновления,

$\langle {\bar {r}}^{2}(s)\rangle ={\frac {1}{{\bar {k}}_{\alpha }(s)}}\langle {\bar {r}}^{2}(s/{\bar {k}}_{\alpha }(s))\rangle _{\text{nrml}}.$ ( 17 )

Из уравнения. ( 18 ) обнаруживается, что MSD файла с нормальной динамикой в ​​степени $\alpha$ — MSD соответствующего файла с аномалией обновления,

$\langle r^{2}(t)\rangle \sim \langle r^{2}(t)\rangle _{\text{nrml}}^{\alpha }.$ ( 19 )

Аномальные файлы с независимыми частицами

Уравнение движения аномальных файлов с независимыми частицами ( 9 ) очень сложное. Решения для таких файлов достигаются путем вывода законов масштабирования и численного моделирования.

Законы масштабирования для аномальных файлов независимых частиц

Во-первых, мы запишем закон масштабирования для среднего абсолютного смещения ( MAD ) в файле обновления с постоянной плотностью:

$\langle \mid r\mid \rangle \sim \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}/n.$ ( 20 )

Здесь, $n$ количество частиц на покрытой длине $\langle \mid r\mid \rangle$, и $\langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}$ – MAD свободной аномальной частицы, $\langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}\sim t^{\alpha /2})$. В уравнении ( 20 ), $n$ входит в расчеты, поскольку все частицы на расстоянии $\langle \mid r\mid \rangle$ от меченой надо двигаться в том же направлении, чтобы меченая частица достигла определенного расстояния $\langle \mid r\mid \rangle$ из своего исходного положения. На основании уравнения. ( 20 ) запишем обобщенный закон масштабирования для аномальных массивов независимых частиц:

$\langle |r|\rangle \sim {\frac {\langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}}{n}}f(n);\qquad 0<f(n)<1.$ ( 21 )

Первое слагаемое в правой части уравнения. ( 21 ) также появляется в файлах продления; тем не менее, термин f(n) уникален. f(n) — это вероятность, которая объясняет тот факт, что аномальные независимые частицы движутся в одном и том же направлении, когда эти частицы действительно пытаются прыгнуть в одном и том же направлении (выраженное с помощью термина ( $\langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}/n)$), частицы на периферии должны двигаться первыми, чтобы у частиц в середине файла было свободное пространство для движения, что требует более быстрого прыжка для частиц на периферии. f(n) появляется из-за того, что в аномальных файлах нет типичного временного масштаба для скачка, а частицы независимы, и поэтому конкретная частица может стоять на месте очень долго, существенно ограничивая варианты прогресса для частиц вокруг него. , за это время. Четко, $0<f(n)<1$, где f ( n ) = 1 для файлов обновления, поскольку частицы прыгают вместе, но также и в файлах независимых частиц с $\alpha >1$, поскольку в таких файлах указана типичная временная шкала перехода, считающаяся временем синхронного перехода. Мы вычисляем f(n) по числу конфигураций, в которых порядок времени прыжка частиц обеспечивает движение; то есть порядок, в котором более быстрые частицы всегда расположены ближе к периферии. Для n частиц существует n! разные конфигурации, одна из которых является оптимальной; так, $(1/n!)\leq f(n)$. Тем не менее, хотя и не оптимально, распространение возможно и во многих других конфигурациях; когда m - количество движущихся частиц, тогда

$f(n)\sim {\dbinom {n}{m}}(n-m)!1/n!,$ ( 22 )

где ${\dbinom {n}{m}}(n-m)!$ подсчитывает количество конфигураций, в которых те m частиц вокруг помеченной имеют оптимальный порядок прыжков. Теперь, даже когда m~n/2, $f(n)\sim e^{-n/2}$. Используя в уравнении ( 21 ), $f(n)\sim e^{-n/n_{0}}$ ( $n_{0}$ небольшое число больше 1), мы видим,

$\mathrm {MSD} \sim \left({\frac {\alpha }{n_{0}}}\right)^{2}\ln ^{2}(t).$ ( 23 )

(В уравнении ( 23 ) мы используем $MSD\sim \mid MAD\mid ^{2}$.) Уравнение ( 23 ) показывает, что асимптотически частицы чрезвычайно медленны в аномальных массивах независимых частиц.

Численные исследования аномальных файлов независимых частиц

Рисунок 1. Траектории моделирования 501 аномальной независимой частицы с $\alpha =0.9,0.1$ (рекомендуется: открыть файл в новом окне)

При численных исследованиях видно, что аномальные массивы независимых частиц образуют кластеры. Это явление определяет динамический фазовый переход. В устойчивом состоянии процент частиц в кластере, $\xi (\alpha )$, следует,

$\xi (\alpha )\approx {\sqrt {1-\alpha ^{3}}}$ ( 24 )

На рисунке 1 мы показываем траектории 9 частиц в файле из 501 частицы. (Рекомендуется открыть файл в новом окне). На верхних панелях показаны траектории движения $\alpha =0.9$ а на нижних панелях показаны траектории движения $\alpha =0.1$. Для каждого значения $\alpha$ показаны траектории на ранних этапах моделирования (слева) и на всех этапах моделирования (справа). Панели демонстрируют явление кластеризации, когда траектории притягиваются друг к другу, а затем движутся практически вместе.

См. также

• Броуновское движение
• Динамика Ланжевена
• Системная динамика