Оператор-домохозяин

В линейной алгебре следующим оператор Хаусхолдера определяется образом. Позволять $V\,$ быть конечномерным пространством внутреннего продукта с внутренним продуктом $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ и единичный вектор $u\in V$. Затем

$H_{u}:V\to V\,$

определяется

$H_{u}(x)=x-2\,\langle x,u\rangle \,u\,.$

Этот оператор отражает вектор $x$ через плоскость, заданную вектором нормали $u$.

Также часто выбирают неединичный вектор. $q\in V$и нормализуйте его непосредственно в выражении оператора Householder:

$H_{q}\left(x\right)=x-2\,{\frac {\langle x,q\rangle }{\langle q,q\rangle }}\,q\,.$

Характеристики

Оператор Householder удовлетворяет следующим свойствам:

• Оно линейно ; если $V$ это векторное пространство над полем $K$, затем

$\forall \left(\lambda ,\mu \right)\in K^{2},\,\forall \left(x,y\right)\in V^{2},\,H_{q}\left(\lambda x+\mu y\right)=\lambda \ H_{q}\left(x\right)+\mu \ H_{q}\left(y\right).$

• Он самосопряженный .
• Если $K=\mathbb {R}$, то оно ортогонально ; в противном случае, если $K=\mathbb {C}$, то оно унитарно .

Особые случаи

В реальном или комплексном векторном пространстве оператор Хаусхолдера также известен как преобразование Хаусхолдера .

Ссылки

• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, ISBN  978-0-387-72828-5