Отношение Клеро (дифференциальная геометрия)

Чтобы узнать о других значениях, см. формулу Клеро (значения) .

В классической дифференциальной геометрии соотношение Клеро , названное в честь Алексиса Клода де Клеро , представляет собой формулу, характеризующую траектории большого круга на единичной сфере . Формула гласит, что если γ является параметризацией большого круга, то

$\rho (\gamma (t))\sin \psi (\gamma (t))={\text{constant}},\,$

где ρ ( P ) — расстояние от точки P на большом круге до оси z , а ψ ( P ) — угол между большим кругом и меридианом, через точку P. проходящим

Соотношение остается справедливым для геодезической на произвольной поверхности вращения .

Формулировка общей версии соотношения Клеро такова:

Пусть γ — геодезическая на поверхности вращения S расстояние точки S от оси вращения ψ — угол между γ и меридианом S. , пусть ρ — , и пусть Тогда ρ sin ψ постоянно вдоль γ. Обратно, если ρ sin ψ постоянна вдоль некоторой кривой γ на поверхности и если ни одна часть γ не является частью некоторой параллели S , то γ является геодезической.

- Эндрю Прессли: Элементарная дифференциальная геометрия , с. 183

Прессли (стр. 185) объясняет эту теорему как выражение сохранения углового момента вокруг оси вращения , когда частица движется по геодезической без каких-либо иных сил, кроме тех, которые удерживают ее на поверхности.

Ссылки

• М. ду Карму , Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , стр. 257.