Преобразование Эшера

В актуарной науке ( преобразование Эшера Gerber & Shiu 1994 ) представляет собой преобразование, которое принимает плотность вероятности f ( x ) и преобразует ее в новую плотность вероятности f ( x ; h ) с параметром h . Он был введен Ф. Эшером в 1932 году ( Esscher 1932 ).

Определение

Пусть f ( x ) — плотность вероятности. Его преобразование Эшера определяется как

$f(x;h)={\frac {e^{hx}f(x)}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{hx}f(x)dx}}.\,$

В более общем смысле, если µ является вероятностной мерой , преобразование Эшера µ является новой вероятностной мерой E _h ( µ ), которая имеет плотность

${\frac {e^{hx}}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{hx}d\mu (x)}}$

относительно ц .

Основные свойства

Комбинация

Преобразование Эшера преобразования Эшера снова является преобразованием Эшера: E _{h 1}   E _{h 2} = E _{h 1 + h 2} .

Обратный

Обратным преобразованию Эшера является преобразование Эшера с отрицательным параметром: E ⁻¹
_час = Е _{- час}

Средний ход

Влияние преобразования Эшера на нормальное распределение смещает среднее значение:

$E_{h}({\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}))={\mathcal {N}}(\mu +h\sigma ^{2},\,\sigma ^{2}).\,$

Примеры

Распределение	Преобразование Эшера
Бернулли Бернулли( р )	$\,{\frac {e^{hk}p^{k}(1-p)^{1-k}}{1-p+pe^{h}}}$
Бином B( n , p )	$\,{\frac {{n \choose k}e^{hk}p^{k}(1-p)^{n-k}}{(1-p+pe^{h})^{n}}}$
Нормальный Н ( м , р 2 )	$\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu -\sigma ^{2}h)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
Пуассон Пуа( λ )	$\,{\frac {e^{hk-\lambda e^{h}}\lambda ^{k}}{k!}}$

См. также

• Принцип Эшера
• Экспоненциальный наклон

Ссылки

• Гербер, Ханс У.; Шиу, Элиас С.В. (1994). «Ценообразование опционов с помощью преобразований Эшера» (PDF) . Сделки Общества актуариев . 46 : 99–191.

• Эшер, Ф. (1932). «О функции вероятности в коллективной теории риска». Скандинависк Актуариетидскрифт . 15 (3): 175–195. дои : 10.1080/03461238.1932.10405883 .