Обратная теорема

Информацию об обращении теоремы см. в разделе Обращение (логика) .

В математической теории автоморфных форм обратная теорема дает достаточные условия для того, чтобы ряд Дирихле был преобразованием Меллина модулярной формы. В более общем смысле обратная теорема утверждает, что представление алгебраической группы над аделями является автоморфным, если L-функции различных ее поворотов ведут себя корректно.

Вейля

Первые обратные теоремы были доказаны Гамбургером ( 1921 ), который охарактеризовал дзета-функцию Римана ее функциональным уравнением, и Хекке (1936) , который показал, что если ряд Дирихле удовлетворяет определенному функциональному уравнению и некоторым условиям роста, то это преобразование Меллина. модульной формы уровня 1. Вейл (1967) нашел расширение модульных форм более высокого уровня, которое было описано Оггом (1969 , глава V). Расширение Вейля гласит, что если бы не только ряд Дирихле

$L(s)=\sum {\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

но и его особенности

$L_{\chi }(s)=\sum {\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}$

некоторыми характерами Дирихле χ, удовлетворяют подходящим функциональным уравнениям, связывающим значения в точках s и 1− s , то ряд Дирихле по сути является преобразованием Меллина модулярной формы некоторого уровня.

Высшие измерения

Дж. В. Когделл, Х. Жаке, И. И. Пятецкий-Шапиро распространили обратную теорему на автоморфные формы некоторых многомерных групп, в частности GL _n и GL _m ×GL _n и Дж. Шалика в длинной серии статей .

Ссылки

• Когделл, Джеймс В.; Пятецкий-Шапиро, II (1994), «Обратные теоремы для GL _n » , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 79 (79): 157–214, doi : 10.1007/BF02698889 , ISSN   1618-1913 , MR   1307299
• Когделл, Джеймс В.; Пятецкий-Шапиро, II (1999), «Обратные теоремы для GL _n . II», Журнал чистой и прикладной математики , 507 (507): 165–188, doi : 10.1515/crll.1999.507.165 , ISSN   0075-4102 , МР   1670207
• Когделл, Джеймс В.; Пятецкий-Шапиро, II (2002), «Обратные теоремы, функториальность и приложения к теории чисел» , в Ли, Татьен (ред.), Труды Международного конгресса математиков, Vol. II (Пекин, 2002) , Пекин: Высшее изд. Press, стр. 119–128, arXiv : math/0304230 , Bibcode : 2003math......4230C , ISBN.  978-7-04-008690-4 , MR   1957026 , заархивировано из оригинала 20 августа 2011 г. , получено 18 июня 2011 г.
• Когделл, Джеймс В. (2007), «L-функции и обратные теоремы для GL _n » , в Сарнаке, Питере; Шахиди, Фрейдун (ред.), Автоморфные формы и приложения , IAS/Park City Math. Сер., вып. 12, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 97–177, ISBN.  978-0-8218-2873-1 , МР   2331345
• Гамбургер, Ганс (1921), «О функциональном уравнении Римана ζ-функции», Mathematical Journal , 10 (3): 240–254, doi : 10.1007/BF01211612 , ISSN   0025-5874
• Хекке, Э. (1936), «Об определении рядов Дирихле их функциональным уравнением», Mathematical Annals , 112 (1): 664–699, doi : 10.1007/BF01565437 , ISSN   0025-5831
• Огг, Эндрю (1969), Модульные формы и серия Дирихле , WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк-Амстердам, MR   0256993
• Вейль, Андре (1967), «Об определении рядов Дирихле с помощью функциональных уравнений», Mathematical Annals , 168 : 149–156, doi : 10.1007/BF01361551 , ISSN   0025-5831 , MR   0207658

Внешние ссылки

• Статьи Когделла по обратным теоремам