Натяжитель Кодацци

В математической области дифференциальной геометрии тензор Кодацци (названный в честь Дельфино Кодацци ) представляет собой симметричный 2-тензор, ковариантная производная которого также симметрична. Такие тензоры естественным образом возникают при изучении римановых многообразий с гармонической кривизной или гармонического тензора Вейля . Фактически существование тензоров Кодацци накладывает строгие условия на тензор кривизны многообразия. Кроме того, второй фундаментальной формой погруженной гиперповерхности в пространственной форме (относительно локального выбора нормального поля) является тензор Кодацци.

Определение

Позволять $(M,g)$ — n-мерное риманово многообразие для $n\geq 3$, позволять $T$ — симметричное 2- тензорное поле, и пусть $\nabla$ быть связью Леви-Чивита . Мы говорим, что тензор $T$ является тензором Кодацци, если

$(\nabla _{X}T)(Y,Z)=(\nabla _{Y}T)(X,Z)$

для всех $X,Y,Z\in T_{p}M.$

Примеры

• Любое параллельное (0,2) -тензорное поле тривиально является Кодацци.
• Позволять $(N,{\overline {g}})$ быть пространственной формой , пусть $M$ быть гладким многообразием с $1+\dim M=\dim N,$ и пусть $F:M\to N$ быть погружением. Если существует глобальный выбор единичного нормального векторного поля, то относительно этого выбора вторая фундаментальная форма представляет собой тензор Кодацци на $M.$ Это непосредственное следствие уравнений Гаусса-Кодацци.
• Позволять $(M,g)$ быть пространственной формой с постоянной кривизной $\kappa .$ Учитывая любую функцию $f$ на $M,$ тензор $\operatorname {Hess} ^{g}f+\kappa fg$ это Кодацци. Это следствие формулы коммутации ковариантного дифференцирования.
• Позволять $(M,g)$ — двумерное риманово многообразие, и пусть $K$ быть гауссовой кривизной . Затем $2\operatorname {Hess} ^{g}K+K^{2}g$ является тензором Кодацци. Это следствие формулы коммутации ковариантного дифференцирования.
• Обозначим через Rm тензор кривизны Римана . Тогда div(Rm)=0 (« g имеет тензор гармонической кривизны») тогда и только тогда, когда тензор Риччи является тензором Кодацци. Это непосредственное следствие контрактной идентичности Бьянки.
• Обозначим через W тензор кривизны Вейля . Затем $\operatorname {div} W=0$ (« g имеет гармонический тензор Вейля») тогда и только тогда, когда «тензор Схоутена»

$\operatorname {Ric} -{\frac {1}{2n-2}}Rg$

является тензором Кодацци. Это непосредственное следствие определения тензора Вейля и сокращенного тождества Бьянки.

Жесткость

Мацусима и Танно показали, что на кэлеровом многообразии любой эрмитовый тензор Кодацци параллелен. Бергер показал, что на компактном многообразии неотрицательной секционной кривизны любой тензор Кодацци h с константой tr _g h должен быть параллельным. Более того, на компактном многообразии неотрицательной секционной кривизны, если секционная кривизна строго положительна хотя бы в одной точке, то каждый симметричный параллельный 2-тензор является постоянным кратным метрики.

См. также

• Теорема Вейля – Схоутена

Ссылки

• Артур Бесс, Многообразия Эйнштейна , Спрингер (1987).