Логарифмический график

В науке и технике логарифмический график или логарифмический график представляет собой двумерный график числовых данных, в котором используются логарифмические масштабы как по горизонтальной, так и по вертикальной оси. Степенные функции – отношения вида $y=ax^{k}$ – отображаются в виде прямых линий на логарифмическом графике, где показатель степени соответствует наклону, а коэффициент соответствует точке пересечения. Таким образом, эти графики очень полезны для распознавания этих взаимосвязей и оценки параметров . Для логарифма можно использовать любое основание, хотя чаще всего используется основание 10 (обычные журналы).

Связь с мономами

Учитывая мономиальное уравнение $y=ax^{k},$ логарифмирование уравнения (с любым основанием) дает: $\log y=k\log x+\log a.$

Параметр $X=\log x$ и $Y=\log y,$ что соответствует использованию логарифмического графика, дает уравнение $Y=mX+b$

где m = k — наклон линии ( gradient ), а b = log a — точка пересечения на оси (log y ), что означает, что log x = 0, поэтому, меняя местами журналы, a — значение y , соответствующее х = 1. ^[1]

Уравнения

Уравнение линии в логарифмическом масштабе будет иметь вид: $\log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,$ $F(x)=x^{m}\cdot 10^{b},$ где m — наклон, а b — точка пересечения на логарифме.

Наклон логарифмической диаграммы

Чтобы найти наклон графика, на оси x выбираются две точки , скажем, x ₁ и x ₂ . Используя приведенное выше уравнение: $\log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,$ и $\log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.$ Наклон m находится по разности: $m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1})}{\log(x_{2})-\log(x_{1})}}={\frac {\log(F_{2}/F_{1})}{\log(x_{2}/x_{1})}},$ где F ₁ — сокращение от F ( x ₁ ), а F ₂ — сокращение от F ( x ₂ ). Рисунок справа иллюстрирует формулу. Обратите внимание, что наклон в примере на рисунке отрицательный . Формула также обеспечивает отрицательный наклон, как видно из следующего свойства логарифма: $\log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).$

Нахождение функции по логарифмическому графику

Вышеописанная процедура теперь меняется на обратную, чтобы найти форму функции F ( x ) с использованием ее (предполагаемого) известного логарифмического графика. Чтобы найти функцию F , выберите некоторую фиксированную точку ( x ₀ , F ₀ ), где F ₀ является сокращением от F ( x ₀ ), где-нибудь на прямой линии на приведенном выше графике, а затем какую-нибудь другую произвольную точку ( x ₁ , F ₁ ) на том же графике. Тогда из приведенной выше формулы наклона: $m={\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}}$ что приводит к $\log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{1}/x_{0})^{m}].$ Обратите внимание, что 10 ^{журнал ₁₀ ( F ₁ )} = Ф ₁ . Таким образом, журналы можно инвертировать, чтобы найти: ${\frac {F_{1}}{F_{0}}}=\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}$ или $F_{1}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}\,x^{m},$ это означает, что $F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.$ Другими словами, F пропорционально x степени наклона прямой линии логарифмического графика. В частности, прямая линия на логарифмическом графике, содержащая точки ( x ₀ , F ₀ ) и ( x ₁ , F ₁ ), будет иметь функцию: $F(x)={F_{0}}\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)^{\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}},$ Конечно, верно и обратное: любая функция вида $F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}$ будет иметь прямую линию в качестве логарифмического представления, где наклон линии равен m .

Нахождение площади под прямолинейным отрезком логарифмического графика.

Чтобы вычислить площадь под непрерывным прямолинейным сегментом логарифмического графика (или оценить площадь почти прямой линии), возьмите определенную ранее функцию $F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.$ и интегрировать его. Поскольку он работает только с определенным интегралом (две определенные конечные точки), площадь A под графиком принимает форму $A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\left.{\frac {\mathrm {constant} }{m+1}}\cdot x^{m+1}\right|_{x_{0}}^{x_{1}}$

Переставляя исходное уравнение и подставляя значения фиксированной точки, обнаруживается, что $\mathrm {constant} ={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}$

Подставив обратно в интеграл, вы обнаружите, что для A от x ₀ до x ₁

${\begin{aligned}A&={\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\[1.2ex]\log A&=\log \left[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\right]\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m}}}+\log(x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\end{aligned}}$

Поэтому, $A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]$

При m = −1 интеграл принимает вид ${\begin{aligned}A_{(m=-1)}&=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\mathrm {constant} }{x}}\,dx={\frac {F_{0}}{x_{0}^{-1}}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{x}}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot {\ln x}{\Big |}_{x_{0}}^{x_{1}}\\A_{(m=-1)}&=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln {\frac {x_{1}}{x_{0}}}\end{aligned}}$

Модели логарифмической линейной регрессии

Логарифмические графики часто используются для визуализации моделей логарифмической линейной регрессии с (примерно) логнормальными или логарифмическими ошибками. В таких моделях после логарифмического преобразования зависимых и независимых переменных можно подобрать модель простой линейной регрессии , при этом ошибки становятся гомоскедастическими . Эта модель полезна при работе с данными, которые демонстрируют экспоненциальный рост или затухание, в то время как ошибки продолжают расти по мере роста независимого значения (т. е. гетероскедастическая ошибка).

Как указано выше, в логарифмической линейной модели связь между переменными выражается в виде степенного закона. Каждое изменение единицы независимой переменной приведет к постоянному процентному изменению зависимой переменной. Модель выражается как:

y=a\cdot x^{b}\cdot e^{\epsilon }

Логарифмируя обе части, получаем:

\log(y)=\log(a)+b\cdot \log(x)+\epsilon

Это линейное уравнение в логарифмах «x» и «y», где «log(a)» — точка пересечения, а «b» — наклон. В котором $\epsilon \sim Normal(\mu ,\sigma ^{2})$ , и $e^{\epsilon }\sim Log-Normal(\mu ,\sigma ^{2})$ .

Рисунок 1 иллюстрирует, как это выглядит. В нем представлены два графика, созданные с использованием 10 000 смоделированных точек. Левый график под названием «Вогнутая линия с логарифмически нормальным шумом» отображает диаграмму рассеяния наблюдаемых данных (y) в зависимости от независимой переменной (x). Красная линия представляет собой «Среднюю линию», а синяя линия — «Среднюю линию». Этот график иллюстрирует набор данных со степенной зависимостью между переменными, представленной вогнутой линией.

Когда обе переменные подвергаются логарифмическому преобразованию, как показано на правом графике рисунка 1, озаглавленном «Линейная логарифмическая линия с нормальным шумом», связь становится линейной. На этом графике также отображается диаграмма рассеяния наблюдаемых данных в зависимости от независимой переменной, но после того, как обе оси находятся в логарифмическом масштабе. Здесь средняя и срединная линии представляют собой одну и ту же (красную) линию. Это преобразование позволяет нам подогнать модель простой линейной регрессии (которая затем может быть преобразована обратно в исходный масштаб — в виде срединной линии).

Преобразование левого графика в правый на рисунке 1 также демонстрирует влияние логарифмического преобразования на распределение шума в данных. На левом графике шум имеет логарифмически нормальное распределение , которое смещено вправо и с ним может быть сложно работать. На правом графике после логарифмического преобразования шум имеет нормальное распределение , что легче рассуждать и моделировать.

Эта нормализация шума дополнительно анализируется на рисунке 2, где представлен линейный график трех показателей ошибок ( средняя абсолютная ошибка – MAE, среднеквадратическая ошибка – RMSE и средняя абсолютная логарифмическая ошибка – MALE), рассчитанных в скользящем окне размером 28. по оси х. По оси Y отложена ошибка, отложенная в зависимости от независимой переменной (x). Каждая метрика ошибки представлена разным цветом, при этом соответствующая сглаженная линия перекрывает исходную линию (поскольку это всего лишь смоделированные данные, оценка ошибки немного неравномерна). Эти показатели ошибок позволяют измерить шум, поскольку он варьируется в зависимости от разных значений x.

Логарифмические линейные модели широко используются в различных областях, включая экономику, биологию и физику, где многие явления демонстрируют степенное поведение. Они также полезны в регрессионном анализе при работе с гетероскедастическими данными, поскольку логарифмическое преобразование может помочь стабилизировать дисперсию.

Приложения

Эти графики полезны, когда параметры a и b необходимо оценить на основе числовых данных. Подобные спецификации часто используются в экономике .

Одним из примеров является оценка функций спроса на деньги на основе теории запасов , в которой можно предположить, что спрос на деньги в момент времени t определяется выражением $M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},$ где M — реальное количество денег, принадлежащих населению, R — норма доходности альтернативного, более высокодоходного актива, превышающая доходность денег, Y населения — реальный доход , U — член ошибки, предполагающий логарифмически нормальное распределение. , A — оцениваемый параметр масштаба, а b и c — эластичности оцениваемые параметры . Сбор бревен дает урожай $m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},$ где m = log M , a = log A , r = log R , y = log Y и u = log U , где u нормально распределено . Это уравнение можно оценить с помощью обычного метода наименьших квадратов .

фирмы Другим экономическим примером является оценка производственной функции Кобба – Дугласа , которая является правой частью уравнения. $Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta }U_{t},$ где Q — количество продукции, которое может быть произведено в месяц, N — количество часов труда, задействованных в производстве в месяц, K — количество часов физического капитала, использованного в месяц, U — погрешность, предполагаемая равной логнормально распределенные, и A , $\alpha$ , и $\beta$ являются параметрами, подлежащими оценке. Журналы дают уравнение линейной регрессии $q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}$ где q = журнал Q , a = журнал A , n журнал N , k = журнал K и u = журнал U. =

Логарифмическая регрессия также может использоваться для оценки фрактальной размерности естественного фрактала .

Однако идти в другом направлении – наблюдать, что данные выглядят как приблизительная линия в логарифмическом масштабе, и делать вывод, что данные подчиняются степенному закону – не всегда верно. ^[2]

Фактически, многие другие функциональные формы выглядят приблизительно линейными в логарифмическом масштабе и просто оценивают степень соответствия линейной регрессии зарегистрированным данным с использованием коэффициента детерминации ( R ²) может быть недействительным, поскольку предположения модели линейной регрессии, такие как ошибка Гаусса, могут не выполняться; кроме того, тесты на соответствие логарифмической формы могут демонстрировать низкую статистическую мощность , поскольку эти тесты могут иметь низкую вероятность отклонения степенных законов в присутствии других истинных функциональных форм. Хотя простые логарифмические графики могут быть поучительны для обнаружения возможных степенных законов и использовались еще Парето в 1890-х годах, проверка степенных законов требует более сложной статистики. ^[2]

Эти графики также чрезвычайно полезны, когда данные собираются путем изменения управляющей переменной вдоль экспоненциальной функции, и в этом случае управляющая переменная x более естественно представлена в логарифмическом масштабе, так что точки данных расположены равномерно, а не сжимаются в начале. низкий конец. Выходная переменная y может быть либо представлена линейно, получая график линейного логарифма (log x , y ), либо ее логарифм также может быть взята, что дает график логарифмического значения (log x , log y ).

График Боде ( график частотной характеристики системы) также представляет собой логарифмический график.

В химической кинетике общий вид зависимости скорости реакции от концентрации принимает форму степенного закона ( закона действия масс ), поэтому логарифмический график полезен для оценки параметров реакции из эксперимента.

См. также

Ссылки

^ Графики М. Борна на логарифмической и полулогарифмической бумаге (www.intmath.com)
^ Jump up to: ^а ^б Клозе, А.; Шализи, ЧР; Ньюман, МЭД (2009). «Степенное распределение в эмпирических данных». Обзор СИАМ . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Бибкод : 2009SIAMR..51..661C . дои : 10.1137/070710111 . S2CID 9155618 .

Внешние ссылки

Сайт неньютоновского исчисления

[1] Графики М. Борна на логарифмической и полулогарифмической бумаге (www.intmath.com)

[clauset-2] Jump up to: ^а ^б Клозе, А.; Шализи, ЧР; Ньюман, МЭД (2009). «Степенное распределение в эмпирических данных». Обзор СИАМ . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Бибкод : 2009SIAMR..51..661C . дои : 10.1137/070710111 . S2CID 9155618 .

[1]

[2]