Мультисимплектический интегратор

В математике мультисимплектический интегратор — это численный метод решения определенного класса уравнений в частных производных , которые называются мультисимплектическими. Мультисимплектические интеграторы являются геометрическими интеграторами , что означает, что они сохраняют геометрию задач; в частности, численный метод в некотором смысле сохраняет энергию и импульс, как и само уравнение в частных производных. Примеры мультисимплектических интеграторов включают блочную схему Эйлера и блочную схему Прейссмана.

Мультисимплектические уравнения

Уравнение в частных производных (УЧП) называется мультисимплектическим уравнением, если его можно записать в виде

Kz_{t}+Lz_{x}=\nabla S(z),

где $z(t,x)$ это неизвестное, $K$ и $L$ являются (постоянными) кососимметричными матрицами и $\nabla S$ обозначает градиент $S$ . ^[1] Это естественное обобщение $Jz_{t}=\nabla H(z)$ , форма гамильтонова ОДУ . ^[2]

Примеры мультисимплектических УЧП включают нелинейное уравнение Клейна – Гордона. $u_{tt}-u_{xx}=V'(u)$ или, в более общем плане, нелинейное волновое уравнение $u_{tt}=\partial _{x}\sigma '(u_{x})-f'(u)$ , ^[3] и уравнение КдВ $u_{t}+uu_{x}+u_{xxx}=0$ . ^[4]

Определите 2-формы $\omega$ и $\kappa$ к

\omega (u,v)=\langle Ku,v\rangle \quad {\text{and}}\quad \kappa (u,v)=\langle Lu,v\rangle

где $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ обозначает скалярное произведение . Дифференциальное уравнение сохраняет симплектичность в том смысле, что

\partial _{t}\omega +\partial _{x}\kappa =0.

^[5]

Взяв скалярное произведение PDE с $u_{t}$ дает локальный закон сохранения энергии:

\partial _{t}E(u)+\partial _{x}F(u)=0\quad {\text{where}}\quad E(u)=S(u)-{\tfrac {1}{2}}\kappa (u_{x},u),\,F(u)={\tfrac {1}{2}}\kappa (u_{t},u).

^[6]

Аналогично выводится локальный закон сохранения импульса:

\partial _{t}I(u)+\partial _{x}G(u)=0\quad {\text{where}}\quad I(u)={\tfrac {1}{2}}\omega (u_{x},u),\,G(u)=S(u)-{\tfrac {1}{2}}\omega (u_{t},u).

^[6]

Схема ящика Эйлера

Мультисимплектический интегратор — это численный метод решения мультисимплектических УЧП, численное решение которого сохраняет дискретную форму симплектичности. ^[7] Одним из примеров является схема ящика Эйлера, которая получается путем применения симплектического метода Эйлера к каждой независимой переменной. ^[8]

Схема ящика Эйлера использует расщепление кососимметричных матриц. $K$ и $L$ формы:

{\begin{aligned}K&=K_{+}+K_{-}\quad {\text{with}}\quad K_{-}=-K_{+}^{T},\\L&=L_{+}+L_{-}\quad {\text{with}}\quad L_{-}=-L_{+}^{T}.\end{aligned}}

Например, можно взять $K_{+}$ и $L_{+}$ быть верхней треугольной частью $K$ и $L$ , соответственно. ^[9]

Теперь введем равномерную сетку и пусть $u_{n,i}$ обозначим приближение к $u(n\Delta {t},i\Delta {x})$ где $\Delta {t}$ и $\Delta {x}$ — это шаг сетки во времени и пространстве. Тогда схема ящика Эйлера имеет вид

K_{+}\partial _{t}^{+}u_{n,i}+K_{-}\partial _{t}^{-}u_{n,i}+L_{+}\partial _{x}^{+}u_{n,i}+L_{-}\partial _{x}^{-}u_{n,i}=\nabla {S}(u_{n,i})

где конечно-разностные операторы определяются формулой

{\begin{aligned}\partial _{t}^{+}u_{n,i}&={\frac {u_{n+1,i}-u_{n,i}}{\Delta {t}}},&\partial _{x}^{+}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i+1}-u_{n,i}}{\Delta {x}}},\\[1ex]\partial _{t}^{-}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i}-u_{n-1,i}}{\Delta {t}}},&\partial _{x}^{-}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i}-u_{n,i-1}}{\Delta {x}}}.\end{aligned}}

^[10]

Схема ящика Эйлера является методом первого порядка. ^[8] который удовлетворяет дискретному закону сохранения

\partial _{t}^{+}\omega _{n,i}+\partial _{x}^{+}\kappa _{n,i}=0\quad {\text{where}}\quad \omega _{n,i}=\mathrm {d} u_{n,i-1}\wedge K_{+}\,\mathrm {d} u_{n,i}\quad {\text{and}}\quad \kappa _{n,i}=\mathrm {d} u_{n-1,i}\wedge L_{+}\,\mathrm {d} u_{n,i}.

^[11]

Схема коробки Прейсмана

Другим мультисимплектическим интегратором является блочная схема Прейссмана, которая была введена Прейссманом в контексте гиперболических УЧП. ^[12] Она также известна как схема центрированных ячеек. ^[13] Схема ящика Прейсмана может быть получена путем применения правила неявной средней точки , которое является симплектическим интегратором, к каждой из независимых переменных. ^[14] Это приводит к схеме

K\partial _{t}^{+}u_{n,i+1/2}+L\partial _{x}^{+}u_{n+1/2,i}=\nabla {S}(u_{n+1/2,i+1/2}),

где конечно-разностные операторы $\partial _{t}^{+}$ и $\partial _{x}^{+}$ определяются, как указано выше, а значения полуцелых чисел определяются формулой

u_{n,i+1/2}={\frac {u_{n,i}+u_{n,i+1}}{2}},\quad u_{n+1/2,i}={\frac {u_{n,i}+u_{n+1,i}}{2}},u_{n+1/2,i+1/2}={\frac {u_{n,i}+u_{n,i+1}+u_{n+1,i}+u_{n+1,i+1}}{4}}.

^[14]

Схема ящика Прейссмана представляет собой мультисимплектический интегратор второго порядка, удовлетворяющий дискретному закону сохранения.

\partial _{t}^{+}\omega _{n,i}+\partial _{x}^{+}\kappa _{n,i}=0\quad {\text{where}}\quad \omega _{n,i}=\mathrm {d} u_{n,i+1/2}\wedge K\,\mathrm {d} u_{n,i+1/2}\quad {\text{and}}\quad \kappa _{n,i}=\mathrm {d} u_{n+1/2,i}\wedge L\,\mathrm {d} u_{n+1/2,i}.

^[15]

Примечания

^ Мосты 1997 , с. 1374; Леймкулер и Райх 2004 , с. 335–336.
^ Бриджес и Райх 2001 , с. 186.
^ Леймкулер и Райх 2004 , с. 335.
^ Леймкулер и Райх 2004 , с. 339–340.
^ Бриджес и Райх 2001 , с. 186; Леймкулер и Райх 2004 , с. 336.
^ Jump up to: ^а ^б Мосты и Райх 2001 , с. 187; Леймкулер и Райх 2004 , с. 337–338.
^ Бриджес и Райх 2001 , с. 187; Леймкулер и Райх 2004 , с. 341.
^ Jump up to: ^а ^б Мур и Райх 2003 .
^ Мур и Райх 2003 ; Леймкулер и Райх 2004 , с. 337.
^ Мур и Райх 2003 ; Леймкулер и Райх 2004 , с. 342.
^ Мур и Райх 2003 ; Леймкулер и Райх 2004 , с. 343.
^ Bridges & Reich (2001 , стр. 190) ссылается на Abbott & Basco (1989) в отношении работы Прейссмана.
^ Ислас и Шобер 2004 , стр. 591–593.
^ Jump up to: ^а ^б Мосты и Райх 2001 , с. 190; Леймкулер и Райх 2004 , с. 344.
^ Bridges & Reich 2001 , Thm 1; Леймкулер и Райх 2004 , с. 345.

Ссылки

Эбботт, МБ; Баско, Д.Р. (1989), Вычислительная гидродинамика , Longman Scientific .
Бриджес, Томас Дж. (1997), «Геометрическая формулировка сохранения волнового действия и ее последствия для сигнатуры и классификации нестабильностей» (PDF) , Proc. Р. Сок. Лонд. A , 453 (1962): 1365–1395, Bibcode : 1997RSPSA.453.1365B , doi : 10.1098/rspa.1997.0075 , S2CID 122524451 .
Бриджес, Томас Дж.; Райх, Себиастиан (2001), «Мультисимплектические интеграторы: численные схемы для гамильтоновых УЧП, сохраняющих симплектичность», Phys. Летт. A , 284 (4–5): 184–193, Bibcode : 2001PhLA..284..184B , CiteSeerX 10.1.1.46.2783 , doi : 10.1016/S0375-9601(01)00294-8 .
Леймкулер, Бенедикт; Райх, Себастьян (2004), Моделирование гамильтоновой динамики , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-77290-7 .
Ислас, Алабама; Шобер, CM (2004), «О сохранении структуры фазового пространства при мультисимплектической дискретизации», J. Comput. Физ. , 197 (2): 585–609, Бибкод : 2004JCoPh.197..585I , doi : 10.1016/j.jcp.2003.12.010 .
Мур, Брайан; Райх, Себастьян (2003), «Обратный анализ ошибок для мультисимплектических методов интегрирования», Numer. Математика. , 95 (4): 625–652, CiteSeerX 10.1.1.163.8683 , doi : 10.1007/s00211-003-0458-9 , S2CID 9669195 .

[1] Мосты 1997 , с. 1374; Леймкулер и Райх 2004 , с. 335–336.

[2] Бриджес и Райх 2001 , с. 186.

[3] Леймкулер и Райх 2004 , с. 335.

[4] Леймкулер и Райх 2004 , с. 339–340.

[5] Бриджес и Райх 2001 , с. 186; Леймкулер и Райх 2004 , с. 336.

[BR187-6] Jump up to: ^а ^б Мосты и Райх 2001 , с. 187; Леймкулер и Райх 2004 , с. 337–338.

[7] Бриджес и Райх 2001 , с. 187; Леймкулер и Райх 2004 , с. 341.

[MR-8] Jump up to: ^а ^б Мур и Райх 2003 .

[9] Мур и Райх 2003 ; Леймкулер и Райх 2004 , с. 337.

[10] Мур и Райх 2003 ; Леймкулер и Райх 2004 , с. 342.

[11] Мур и Райх 2003 ; Леймкулер и Райх 2004 , с. 343.

[12] Bridges & Reich (2001 , стр. 190) ссылается на Abbott & Basco (1989) в отношении работы Прейссмана.

[13] Ислас и Шобер 2004 , стр. 591–593.

[BR190-14] Jump up to: ^а ^б Мосты и Райх 2001 , с. 190; Леймкулер и Райх 2004 , с. 344.

[15] Bridges & Reich 2001 , Thm 1; Леймкулер и Райх 2004 , с. 345.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]