Полунеявный метод Эйлера

В математике полунеявный метод Эйлера , также называемый симплектическим Эйлером , полуявным Эйлером , Эйлером-Кромером и Ньютоном-Стормером-Верле (NSV) , является модификацией метода Эйлера для решения уравнений Гамильтона , системы обычных уравнений . дифференциальные уравнения , возникающие в классической механике . Это симплектический интегратор и, следовательно, он дает лучшие результаты, чем стандартный метод Эйлера.

Источник

Этот метод был случайно открыт старшеклассницей средней школы Ньютон-Норт Эбби Аспел в 1980 году. Во время лабораторного задания по моделированию орбит с использованием закона Кеплера, который требовал вычислений на BASIC : она случайно перевернула две строки кода, вычислив скорость перед положением. Ее моделирование сходилось быстрее и привело к более точным и реальным результатам, чем ожидалось. Затем Алан Кромер доказал, почему ее алгоритм более стабилен, чем предыдущие методы вычислений. .

Параметр

Полунеявный метод Эйлера можно применить к паре дифференциальных уравнений вида

${\begin{aligned}{dx \over dt}&=f(t,v)\\{dv \over dt}&=g(t,x),\end{aligned}}$

где f и g — заданные функции. Здесь x и v могут быть либо скалярами, либо векторами. Уравнения движения в гамильтоновой механике принимают такой вид, если гамильтониан имеет вид

$H=T(t,v)+V(t,x).\,$

Дифференциальные уравнения решаются с начальным условием

$x(t_{0})=x_{0},\qquad v(t_{0})=v_{0}.$

Метод

Полунеявный метод Эйлера дает приближенное дискретное решение путем итерации

${\begin{aligned}v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n})\,\Delta t\\[0.3em]x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}$

где Δ t — временной шаг, а t _n = t ₀ + n Δ t — время после n шагов.

Отличие от стандартного метода Эйлера состоит в том, что полунеявный метод Эйлера использует v _{n +1} в уравнении для x _{n +1} , а метод Эйлера использует v _n .

Применение метода с отрицательным шагом по времени для расчета $(x_{n},v_{n})$ от $(x_{n+1},v_{n+1})$ и перестановка приводит ко второму варианту полунеявного метода Эйлера

${\begin{aligned}x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n})\,\Delta t\\[0.3ex]v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}$

который имеет аналогичные свойства.

Полунеявный метод Эйлера является интегратором первого порядка , как и стандартный метод Эйлера. Это означает, что он допускает глобальную ошибку порядка Δt. Однако полунеявный метод Эйлера является симплектическим интегратором , в отличие от стандартного метода. Как следствие, полунеявный метод Эйлера почти сохраняет энергию (когда гамильтониан не зависит от времени). Часто энергия постоянно увеличивается при применении стандартного метода Эйлера, что делает его гораздо менее точным.

Чередование двух вариантов полунеявного метода Эйлера приводит в одном упрощении к интегрированию Штёрмера-Верле и в несколько другом упрощении к интегрированию через чехарду , увеличивая как порядок ошибки, так и порядок сохранения энергии.

Область устойчивости полунеявного метода была представлена ​​Ниираненом. хотя полунеявный Эйлер в его статье ошибочно был назван симметричным Эйлером. Полунеявный метод моделирует моделируемую систему правильно, если комплексные корни характеристического уравнения находятся внутри круга, показанного ниже. Для вещественных корней область устойчивости выходит за пределы круга, для которого критерий равен $s>-2/\Delta t$

Как видно, полунеявный метод позволяет правильно моделировать как устойчивые системы, корни которых находятся в левой полуплоскости, так и неустойчивые системы, корни которых находятся в правой полуплоскости. Это явное преимущество перед прямым (стандартным) Эйлером и обратным Эйлером. Прямой Эйлер имеет тенденцию иметь меньшее затухание, чем реальная система, когда отрицательные вещественные части корней приближаются к мнимой оси, а обратный Эйлер может показать, что система устойчива, даже когда корни находятся в правой полуплоскости.

Пример

Движение пружины, удовлетворяющее закону Гука, определяется выражением

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=v(t)\\[0.2em]{\frac {dv}{dt}}&=-{\frac {k}{m}}\,x=-\omega ^{2}\,x.\end{aligned}}$

Полунеявный Эйлер для этого уравнения равен

${\begin{aligned}v_{n+1}&=v_{n}-\omega ^{2}\,x_{n}\,\Delta t\\[0.2em]x_{n+1}&=x_{n}+v_{n+1}\,\Delta t.\end{aligned}}$

Замена $v_{n+1}$ во втором уравнении с выражением, заданным первым уравнением, итерация может быть выражена в следующей матричной форме

${\begin{bmatrix}x_{n+1}\\v_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-\omega ^{2}\Delta t^{2}&\Delta t\\-\omega ^{2}\Delta t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\v_{n}\end{bmatrix}},$

и поскольку определитель матрицы равен 1, преобразование сохраняет площадь.

Итерация сохраняет модифицированный функционал энергии $E_{h}(x,v)={\tfrac {1}{2}}\left(v^{2}+\omega ^{2}\,x^{2}-\omega ^{2}\Delta t\,vx\right)$ именно, что приводит к устойчивым периодическим орбитам (при достаточно малом размере шага), которые отклоняются на $O(\Delta t)$ с точных орбит. Точная круговая частота $\omega$ увеличивается в численном приближении в раз $1+{\tfrac {1}{24}}\omega ^{2}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})$.

Ссылки

• Николич, Бранислав К. «Метод Эйлера-Кромера» . Университет штата Делавэр . Проверено 29 сентября 2021 г.
• Веселый, Франц Дж. (2001). Вычислительная физика: Введение (2-е изд.). Спрингер. стр. 117 . ISBN  978-0-306-46631-1 .
• Джордано, Николас Дж.; Хисао Наканиси (июль 2005 г.). Вычислительная физика (2-е изд.). Бенджамин Каммингс. ISBN  0-13-146990-8 .