Пространство Зариского – Римана
В алгебраической геометрии пространство Зариского–Римана или пространство Зариского подкольца k поля K содержащимися , — это окольцованное пространство точки которого являются кольцами нормирования, и содержащими k в K. локально Они обобщают риманову поверхность комплексной кривой.
Пространства Зарисского-Римана были введены Зариским ( 1940 , 1944 ), который (довольно сбивчиво) назвал их римановыми многообразиями или римановыми поверхностями . назвал их пространствами Зарисского-Римана в честь Оскара Зарисского и Бернхарда Римана Нагата (1962) , которые использовали их, чтобы показать, что алгебраические многообразия могут быть вложены в полные .
Локальную униформизацию (доказанную Зариским в характеристике 0) можно интерпретировать как утверждение, что пространство Зарисского–Римана многообразия в некотором смысле неособо, а значит, является своего рода довольно слабым разрешением особенностей . Это не решает проблему разрешения особенностей, поскольку в размерностях больше 1 пространство Зарисского–Римана не является локально аффинным и, в частности, не является схемой.
Определение
[ редактировать ]Пространство Зариского–Римана K поля над базовым полем k — это локально окольцованное пространство , точками которого являются кольца нормирования, содержащие k и содержащиеся в K . Иногда само кольцо нормирования K исключается, а иногда точки ограничиваются нульмерными кольцами нормирования (тех, у которых поле вычетов имеет нулевую степень трансцендентности над k ).
Если S — пространство Зарисского–Римана подкольца k поля K , оно имеет топологию, определенную путем взятия в качестве базиса открытых множеств колец нормирования, содержащих заданное конечное подмножество K . Пространство S квазикомпактно. Его превращают в локально окольцованное пространство путем присвоения любому открытому подмножеству пересечения колец нормирования точек подмножества. Локальное кольцо в любой точке является соответствующим кольцом нормирования.
Пространство Зарисского–Римана функционального поля также можно построить как обратный предел всех полных (или проективных) моделей функционального поля.
Примеры
[ редактировать ]Пространство Римана–Зариского кривой
[ редактировать ]Пространство Римана–Зарисского кривой над алгебраически замкнутым полем k с функциональным полем K совпадает с его неособой проективной моделью. Он имеет одну общую незамкнутую точку, соответствующую тривиальному нормированию с кольцом нормирования K , а остальные его точки являются кольцами нормирования ранга 1 в K, содержащими k . В отличие от многомерных случаев, пространство кривой Зариского – Римана является схемой.
Пространство Римана–Зариского поверхности
[ редактировать ]Кольца нормирования поверхности S над k с функциональным полем K можно классифицировать по размерности (степени трансцендентности поля вычетов) и рангу (числу ненулевых выпуклых подгрупп группы нормирования). Зариский (1939) дал следующую классификацию:
- Размерность 2. Единственная возможность - это тривиальное нормирование с рангом 0, группой нормирования 0 и кольцом нормирования K .
- Размерность 1, ранг 1. Они соответствуют дивизорам на некотором раздутии или , другими словами, дивизорам и бесконечно близким точкам S S . Они все дискретны. Центром S может быть точка или кривая. Группа оценки Z. —
- Размерность 0, ранг 2. Они соответствуют росткам алгебраических кривых, проходящих через точку нормальной модели S . Группа нормирования изоморфна Z + Z с лексикографическим порядком.
- Размерность 0, ранг 1, дискретно. Они соответствуют росткам неалгебраических кривых (задаваемых, например, y = неалгебраическим формальным степенным рядом по x ) через точку нормальной модели. Группа оценки Z. —
- Размерность 0, ранг 1, недискретная, группа значений имеет несоизмеримые элементы. Они соответствуют росткам трансцендентных кривых, таких как y = x п через точку нормальной модели. Группа значений изоморфна упорядоченной группе, порожденной двумя несоизмеримыми действительными числами.
- Размерность 0, ранг 1, недискретный, элементы группы значений соизмеримы. Группа значений может быть изоморфна любой плотной подгруппе рациональных чисел. Им соответствуют ростки кривых вида y =Σ a n x б н где числа b n рациональны с неограниченными знаменателями.
Ссылки
[ редактировать ]- Нагата, Масаёси (1962), «Вложение абстрактного многообразия в полное многообразие» , Журнал математики Киотского университета , 2 : 1–10, doi : 10.1215/kjm/1250524969 , ISSN 0023-608X , MR 0142549
- Зариский, Оскар (1939), «Уменьшение особенностей алгебраической поверхности», Ann. математики. , 2, 40 (3): 639–689, Bibcode : 1939AnMat..40..639Z , doi : 10.2307/1968949 , JSTOR 1968949
- Зариски, Оскар (1940), «Локальная униформизация алгебраических многообразий», Ann. математики. , 2, 41 (4): 852–896, doi : 10.2307/1968864 , JSTOR 1968864 , MR 0002864.
- Зариски, Оскар (1944), «Компактность риманова многообразия абстрактного поля алгебраических функций», Бюллетень Американского математического общества , 50 (10): 683–691, doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08206 -2 , ISSN 0002-9904 , МР 0011573
- Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Том. II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8 , МР 0389876