Альтернативные меры стресса

В механике сплошных сред наиболее часто используемой мерой напряжения является тензор напряжений Коши , часто называемый просто тензором напряжений или «истинным напряжением». Однако можно определить несколько альтернативных мер стресса:

1. Напряжение Кирхгофа ( ${\boldsymbol {\tau }}$).
2. Номинальное напряжение ( ${\boldsymbol {N}}$).
3. . Тензоры напряжений Пиолы – Кирхгофа
   1. Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа ( ${\boldsymbol {P}}$). Этот тензор напряжений представляет собой транспонирование номинального напряжения ( ${\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {N}}^{T}$).
   2. Второе напряжение Пиолы-Кирхгофа или напряжение ПК2 ( ${\boldsymbol {S}}$).
4. Стресс Био ( ${\boldsymbol {T}}$)

Определения

Рассмотрим ситуацию, показанную на следующем рисунке. В следующих определениях используются обозначения, показанные на рисунке.

Количества, используемые при определении показателей стресса

В эталонной конфигурации $\Omega _{0}$, внешняя нормаль к элементу поверхности $d\Gamma _{0}$ является $\mathbf {N} \equiv \mathbf {n} _{0}$ и сила тяги, действующая на эту поверхность (при условии, что она деформируется как общий вектор, принадлежащий деформации), равна $\mathbf {t} _{0}$ что приводит к вектору силы $d\mathbf {f} _{0}$. В деформированной конфигурации $\Omega$, элемент поверхности изменится на $d\Gamma$ с внешним видом нормальный $\mathbf {n}$ и вектор тяги $\mathbf {t}$ приводящий к силе $d\mathbf {f}$. Обратите внимание, что эта поверхность может быть либо гипотетическим разрезом внутри тела, либо реальной поверхностью. Количество ${\boldsymbol {F}}$ – тензор градиента деформации , $J$ является его определяющим фактором.

Коши стресс

Напряжение Коши (или истинное напряжение) является мерой силы, действующей на элемент площади в деформированной конфигурации. Этот тензор симметричен и определяется через

$d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma$

или

$\mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n}$

где $\mathbf {t}$ это тяга и $\mathbf {n}$ – нормаль к поверхности, на которую действует сила тяги.

стресс Кирхгофа

Количество,

${\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}$

называется тензором напряжений Кирхгофа , причем $J$ определитель ${\boldsymbol {F}}$. Он широко используется в численных алгоритмах пластичности металлов (где естьотсутствие изменения объема при пластической деформации). можно назвать взвешенным тензором напряжений Коши Его также .

Напряжение Пиолы – Кирхгофа

Основная статья: Тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа

Номинальное напряжение/первое напряжение Пиолы – Кирхгофа

Номинальное напряжение ${\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}$ представляет собой транспонирование первого напряжения Пиолы – Кирхгофа (напряжение ПК1, также называемое инженерным напряжением) ${\boldsymbol {P}}$ и определяется через

$d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}$

или

$\mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}$

Это напряжение несимметрично и представляет собой двухточечный тензор, подобно градиенту деформации.
Асимметрия возникает из-за того, что, как тензор, он имеет один индекс, привязанный к эталонной конфигурации, и один к деформированной конфигурации.

Второе напряжение Пиолы – Кирхгофа

Если мы отступим $d\mathbf {f}$ к эталонной конфигурации мы получаем силу тяги, действующую на эту поверхность до деформации $d\mathbf {f} _{0}$ предполагая, что он ведет себя как общий вектор, принадлежащий деформации. В частности, у нас есть

$d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f}$

или,

$d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}$

Стресс ПК2 ( ${\boldsymbol {S}}$) симметричен и определяется соотношением

$d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}$

Поэтому,

${\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}$

Био-стресс

Напряжение Био полезно, потому что оно энергетически сопряжено с правильным тензором растяжения. ${\boldsymbol {U}}$. Напряжение Био определяется как симметричная часть тензора ${\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}$ где ${\boldsymbol {R}}$ – тензор вращения, полученный в результате полярного разложения градиента деформации. Поэтому тензор напряжений Био определяется как

${\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.$

Напряжение Био также называют напряжением Яуманна.

Количество ${\boldsymbol {T}}$ не имеет никакой физической интерпретации. Однако несимметричное напряжение Био имеет интерпретацию

${\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}$

Отношения

Связь между напряжением Коши и номинальным напряжением

Из формулы Нансона, связывающей площади в опорной и деформированной конфигурациях:

$\mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}$

Сейчас,

${\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}$

Следовательно,

${\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}$

или,

${\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}$

или,

${\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}$

В индексной записи

$N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}$

Поэтому,

$J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.$

Обратите внимание, что ${\boldsymbol {N}}$ и ${\boldsymbol {P}}$ (обычно) не симметричны, потому что ${\boldsymbol {F}}$ (вообще) не симметричен.

Связь между номинальным напряжением и вторым напряжением P – K

Напомним, что

${\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f}$

и

$d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})$

Поэтому,

${\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}$

или (используя симметрию ${\boldsymbol {S}}$),

${\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}$

В индексной записи

$N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}$

Альтернативно мы можем написать

${\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}$

Связь между напряжением Коши и вторым напряжением P – K

Напомним, что

${\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$

Что касается 2-го ПК-напряжения, мы имеем

${\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$

Поэтому,

${\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}$

В индексной записи

$S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}$

Поскольку напряжение Коши (и, следовательно, напряжение Кирхгофа) симметрично, 2-е напряжение ПК также симметрично.

Альтернативно мы можем написать

${\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}$

или,

${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.$

Очевидно, что из определения операций продвижения вперед и возврата мы имеем

${\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}$

и

${\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.$

Поэтому, ${\boldsymbol {S}}$ это откат назад ${\boldsymbol {\tau }}$ к ${\boldsymbol {F}}$ и ${\boldsymbol {\tau }}$ это толчок вперед ${\boldsymbol {S}}$.

Краткое изложение формулы преобразования

Ключ: $$J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},$$ $${\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}$$

Формулы преобразования

Уравнение для	${\boldsymbol {\sigma }}$	${\boldsymbol {\tau }}$	${\boldsymbol {P}}$	${\boldsymbol {S}}$	${\boldsymbol {T}}$	${\boldsymbol {M}}$
${\boldsymbol {\sigma }}=\,$	${\boldsymbol {\sigma }}$	$J^{-1}{\boldsymbol {\tau }}$	$J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}$	$J^{-1}{\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}$	$J^{-1}{\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}$	$J^{-1}{\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}$ (неизотропия)
${\boldsymbol {\tau }}=\,$	$J{\boldsymbol {\sigma }}$	${\boldsymbol {\tau }}$	${\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}$	${\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}$	${\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}$	${\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}$ (неизотропия)
${\boldsymbol {P}}=\,$	$J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}$	${\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}$	${\boldsymbol {P}}$	${\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}$	${\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}$	${\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}$
${\boldsymbol {S}}=\,$	$J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}$	${\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}$	${\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {P}}$	${\boldsymbol {S}}$	${\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {T}}$	${\boldsymbol {C}}^{-1}{\boldsymbol {M}}$
${\boldsymbol {T}}=\,$	$J{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}$	${\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}$	${\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}}$	${\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {S}}$	${\boldsymbol {T}}$	${\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {M}}$
${\boldsymbol {M}}=\,$	$J{\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}$ (неизотропия)	${\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}$ (неизотропия)	${\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {P}}$	${\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}$	${\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {T}}$	${\boldsymbol {M}}$

См. также

• Стресс (физика)
• Теория конечной деформации
• Механика сплошных сред
• Гиперэластичный материал
• Эластичный материал Коши.
• Анализ критической плоскости