Киральная алгебра

В математике киральная алгебра — это алгебраическая структура, введенная Бейлинсоном и Дринфельдом (2004) как строгая версия довольно расплывчатого понятия киральной алгебры в физике. В книге «Киральные алгебры» Бейлинсон и Дринфельд ввели понятие киральной алгебры, основанное на псевдотензорной категории D-модулей . Они дают «независимое от координат» понятие вершинных алгебр , которые основаны на формальных степенных рядах . Киральные алгебры на кривых по существу являются конформными вершинными алгебрами .

Определение

Киральная алгебра на гладкой алгебраической кривой $X$ является правым D-модулем ${\mathcal {A}}$, наделенный гомоморфизмом D-модуля

$$\mu :{\mathcal {A}}\boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )\rightarrow \Delta _{!}{\mathcal {A}}$$

на $X^{2}$ и с вложением $\Omega \hookrightarrow {\mathcal {A}}$, удовлетворяющий следующим условиям

• $\mu =-\sigma _{12}\circ \mu \circ \sigma _{12}$ ( Кососимметрия )
• $\mu _{1\{23\}}=\mu _{\{12\}3}+\mu _{2\{13\}}$ ( личность Якоби )
• Отображение единицы совместимо с гомоморфизмом $\mu _{\Omega }:\Omega \boxtimes \Omega (\infty \Delta )\rightarrow \Delta _{!}\Omega$; то есть следующая диаграмма коммутирует

$${\begin{array}{lcl}&\Omega \boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )&\rightarrow &{\mathcal {A}}\boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )&\\&\downarrow &&\downarrow \\&\Delta _{!}{\mathcal {A}}&\rightarrow &\Delta _{!}{\mathcal {A}}&\\\end{array}}$$

Где для снопов ${\mathcal {M}},{\mathcal {N}}$ на $X$, сноп ${\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(\infty \Delta )$ находится ли сноп на $X^{2}$ чьи сечения являются сечениями внешнего тензорного произведения ${\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}$ с произвольными полюсами по диагонали:

$${\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(\infty \Delta )=\varinjlim {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(n\Delta ),$$

$\Omega$ — каноническое расслоение и «диагональное расширение с помощью дельта-функций» $\Delta _{!}$ является

$$\Delta _{!}{\mathcal {M}}={\frac {\Omega \boxtimes {\mathcal {M}}(\infty \Delta )}{\Omega \boxtimes {\mathcal {M}}}}.$$

с

Вертексная алгебра

Категория вершинных алгебр , определенная Борчердсом или Кацем, эквивалентна категории киральных алгебр на $X=\mathbb {A} ^{1}$ эквивариантен относительно группы $T$ переводов ​ .

Алгебра факторизации

Киральные алгебры также можно переформулировать как алгебры факторизации .

См. также

• Хиральная гомология
• Киральная алгебра Ли

Ссылки

• Бейлинсон, Александр ; Дринфельд, Владимир (2004), Киральные алгебры , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 51, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3528-9 , МР   2058353

Дальнейшее чтение

• Фрэнсис, Джон; Гайцгори, Деннис (2012). «Хиральная двойственность Кошуля» . Сел. Математика . Новая серия. 18 (1): 27–87. arXiv : 1103.5803 . дои : 10.1007/s00029-011-0065-z . S2CID   8316715 .