Факторизационная алгебра

В математике и математической физике факторизационная алгебра — это алгебраическая структура, впервые введенная Бейлинсоном и Дринфельдом в алгебро-геометрической среде как переформулировка киральных алгебр . ^[1] а также изученный в более общей обстановке Костелло для изучения квантовой теории поля . ^[2]

Определение

Алгебры префакторизации

Алгебра факторизации — это алгебра префакторизации, удовлетворяющая некоторым свойствам, например, пучки являются предпучками с дополнительными условиями.

Если $M$ — топологическое пространство , алгебра префакторизации ${\mathcal {F}}$ векторных пространств на $M$ — это задание векторных пространств ${\mathcal {F}}(U)$ открывать наборы $U$ из $M$ , а также следующие условия по заданию:

За каждое включение $U\subset V$ , есть линейная карта $m_{V}^{U}:{\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)$
Есть линейная карта $m_{V}^{U_{1},\cdots ,U_{n}}:{\mathcal {F}}(U_{1})\otimes \cdots \otimes {\mathcal {F}}(U_{n})\rightarrow {\mathcal {F}}(V)$ для каждого конечного набора открытых множеств с каждым $U_{i}\subset V$ и $U_{i}$ попарно непересекающиеся.
Карты составляются очевидным образом: для коллекций открытий $U_{i,j}$ , $V_{i}$ и открытый $W$ удовлетворяющий $U_{i,1}\sqcup \cdots \sqcup U_{i,n_{i}}\subset V_{i}$ и $V_{1}\sqcup \cdots V_{n}\subset W$ , следующая диаграмма коммутирует.

${\begin{array}{lcl}&\bigotimes _{i}\bigotimes _{j}{\mathcal {F}}(U_{i,j})&\rightarrow &\bigotimes _{i}{\mathcal {F}}(V_{i})&\\&\downarrow &\swarrow &\\&{\mathcal {F}}(W)&&&\\\end{array}}$

Так ${\mathcal {F}}$ напоминает предпучок , за исключением того, что векторные пространства тензорированы, а не (прямо) суммируются .

Категорию векторных пространств можно заменить любой симметричной моноидальной категорией .

Алгебры факторизации

Чтобы определить факторизационные алгебры, необходимо определить накрытие Вейсса . Для $U$ открытый набор, коллекция открытий ${\mathfrak {U}}=\{U_{i}|i\in I\}$ это кавер Вайса на песню $U$ если для любого конечного набора точек $\{x_{1},\cdots ,x_{k}\}$ в $U$ , есть открытый набор $U_{i}\in {\mathfrak {U}}$ такой, что $\{x_{1},\cdots ,x_{k}\}\subset U_{i}$ .

Тогда факторизационная алгебра векторных пространств на $M$ является алгеброй префакторизации векторных пространств на $M$ так что для каждого открытия $U$ и все каверы Weiss $\{U_{i}|i\in I\}$ из $U$ , последовательность $\bigoplus _{i,j}{\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})\rightarrow \bigoplus _{k}{\mathcal {F}}(U_{k})\rightarrow {\mathcal {F}}(U)\rightarrow 0$ это точно . То есть, ${\mathcal {F}}$ является факторизационной алгеброй, если она является ко-пучком относительно топологии Вейсса.

Факторизационная алгебра мультипликативна , если, кроме того, для каждой пары непересекающихся $U,V\subset M$ , карта структуры $m_{U\sqcup V}^{U,V}:{\mathcal {F}}(U)\otimes {\mathcal {F}}(V)\rightarrow {\mathcal {F}}(U\sqcup V)$ является изоморфизмом.

Алгебро-геометрическая формулировка

Хотя эта формулировка связана с приведенной выше, связь не является непосредственной.

Позволять $X$ быть гладкой комплексной кривой . Факторизационная алгебра на $X$ состоит из

Квазикогерентный пучок ${\mathcal {V}}_{X,I}$ над $X^{I}$ для любого конечного множества $I$ , без поддержки ненулевого локального сечения при объединении всех частичных диагоналей
Функториальные изоморфизмы квазикогерентных пучков $\Delta _{J/I}^{*}{\mathcal {V}}_{X,J}\rightarrow {\mathcal {V}}_{X,I}$ над $X^{I}$ для сюръекций $J\rightarrow I$ .
( Факторизация ) Функториальные изоморфизмы квазикогерентных пучков

$j_{J/I}^{*}{\mathcal {V}}_{X,J}\rightarrow j_{J/I}^{*}(\boxtimes _{i\in I}{\mathcal {V}}_{X,p^{-1}(i)})$ над $U^{J/I}$ .

( Единица ) Пусть ${\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{X,\{1\}}$ и ${\mathcal {V}}_{2}={\mathcal {V}}_{X,\{1,2\}}$ . Глобальный раздел ( модуль ) $1\in {\mathcal {V}}(X)$ со свойством, что для каждого локального раздела $f\in {\mathcal {V}}(U)$ ( $U\subset X$ ), раздел $1\boxtimes f$ из ${\mathcal {V}}_{2}|_{U^{2}\Delta }$ распространяется по диагонали и ограничивается $f\in {\mathcal {V}}\cong {\mathcal {V}}_{2}|_{\Delta }$ .

Пример

Ассоциативная алгебра

Любая ассоциативная алгебра $A$ может быть реализована как алгебра префакторизации $A^{f}$ на $\mathbb {R}$ . К каждому открытому интервалу $(a,b)$ , назначать $A^{f}((a,b))=A$ . Произвольный интервал — это непересекающееся объединение счетного числа открытых интервалов. $U=\bigsqcup _{i}I_{i}$ , а затем установите $A^{f}(U)=\bigotimes _{i}A$ . Карты структуры просто берутся из карты умножения на $A$ . Для бесконечных тензорных произведений требуется некоторая осторожность, но для конечного числа открытых интервалов картина проста.

См. также

Вертексная алгебра

Ссылки

^ Бейлинсон, Александр; Дринфельд, Владимир (2004). Киральные алгебры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3528-9 . Проверено 21 февраля 2023 г.
^ Костелло, Кевин; Гвиллиам, Оуэн (2017). Факторизационные алгебры в квантовой теории поля, Том 1 . Кембридж. ISBN 9781316678626 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[BD-1] Бейлинсон, Александр; Дринфельд, Владимир (2004). Киральные алгебры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3528-9 . Проверено 21 февраля 2023 г.

[CG-2] Костелло, Кевин; Гвиллиам, Оуэн (2017). Факторизационные алгебры в квантовой теории поля, Том 1 . Кембридж. ISBN 9781316678626 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1]

[2]