Кососимметричная матрица

Для матриц с антисимметрией над полем комплексных чисел см. Матрицу косого-эрмитова .

В математике , особенно в линейной алгебре , кососимметричный (или антисимметричный , или антиметрический) ) матрица — это квадратная матрица которой , транспонирование равно ее отрицательному значению. То есть удовлетворяет условию

$A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad A^{\textsf {T}}=-A.$

С точки зрения элементов матрицы, если ${\textstyle a_{ij}}$ обозначает запись в ${\textstyle i}$-й ряд и ${\textstyle j}$-го столбца, то условие кососимметричности эквивалентно

$A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad a_{ji}=-a_{ij}.$

Пример

Матрица

$A={\begin{bmatrix}0&2&-45\\-2&0&-4\\45&4&0\end{bmatrix}}$

является кососимметричным, поскольку

$-A={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&0&4\\-45&-4&0\end{bmatrix}}=A^{\textsf {T}}.$

Характеристики

Всюду мы предполагаем, что все элементы матрицы принадлежат полю ${\textstyle \mathbb {F} }$ которого характеристика не равна 2. То есть мы предполагаем, что 1 + 1 ≠ 0 , где 1 обозначает мультипликативное тождество, а 0 — аддитивное тождество данного поля. Если характеристика поля равна 2, то кососимметричная матрица — это то же самое, что и симметричная матрица .

• Сумма двух кососимметричных матриц кососимметрична.
• Скаляр, кратный кососимметричной матрице, является кососимметричным.
• Элементы на диагонали кососимметричной матрицы равны нулю, следовательно, ее след равен нулю.
• Если ${\textstyle A}$ является реальной кососимметричной матрицей и ${\textstyle \lambda }$ является действительным собственным значением , то ${\textstyle \lambda =0}$, т. е. ненулевые собственные значения кососимметричной матрицы недействительны.
• Если ${\textstyle A}$ — действительная кососимметричная матрица, то ${\textstyle I+A}$ обратима , где ${\textstyle I}$ является единичной матрицей.
• Если ${\textstyle A}$ является кососимметричной матрицей, то ${\textstyle A^{2}}$ — симметричная отрицательная полуопределенная матрица .

Структура векторного пространства

В результате первых двух свойств, приведенных выше, набор всех кососимметричных матриц фиксированного размера образует векторное пространство . Пространство ${\textstyle n\times n}$ кососимметричные матрицы имеют размерность ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$

Позволять ${\mbox{Mat}}_{n}$ обозначаем пространство ${\textstyle n\times n}$ матрицы. Кососимметричная матрица определяется формулой ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$ скаляры (количество вхождений над главной диагональю ); определяется симметричная матрица формулой ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ скаляры (количество элементов на главной диагонали или выше нее). Позволять ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ обозначаем пространство ${\textstyle n\times n}$ кососимметричные матрицы и ${\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ обозначаем пространство ${\textstyle n\times n}$ симметричные матрицы. Если ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ затем $$A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).$$

Обратите внимание, что ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$ и ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.}$ Это верно для любой квадратной матрицы. ${\textstyle A}$ с записями из любого поля, которого характеристика отлична от 2. Тогда, поскольку ${\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}}$ и ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=\{0\},}$$${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},$$где $\oplus$ обозначает прямую сумму .

Обозначим через ${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ стандартный внутренний продукт на $\mathbb {R} ^{n}.$ Настоящий $n\times n$ матрица ${\textstyle A}$ кососимметричен тогда и только тогда, когда $$\langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} ^{n}.$$

Это также эквивалентно ${\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}$ для всех $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (один из выводов очевиден, другой — простое следствие ${\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0}$ для всех $x$ и $y$).

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса , кососимметрия является свойством, зависящим только от линейного оператора $A$ и выбор внутреннего продукта .

$3\times 3$ Кососимметричные матрицы можно использовать для представления перекрестных произведений в виде умножения матриц.

Кроме того, если $A$ — кососимметричная (или косоэрмитова ) матрица, то $x^{T}Ax=0$для всех $x\in \mathbb {C} ^{n}$.

Определитель

Позволять $A$ быть $n\times n$ кососимметричная матрица. Определитель ​ ​ $A$ удовлетворяет

$\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).$

В частности, если $n$ нечетно, и поскольку основное поле не имеет характеристики 2, определитель обращается в нуль. Следовательно, все кососимметричные матрицы нечетной размерности являются сингулярными, поскольку их определители всегда равны нулю. Этот результат называется теоремой Якоби в честь Карла Густава Якоби (Eves, 1980).

Четномерный случай более интересен. Оказывается, определитель $A$ для $n$ даже можно записать как квадрат полинома в записях $A$, что впервые было доказано Кэли:

$\det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.$

называется пфаффианом Этот многочлен $A$ и обозначается $\operatorname {Pf} (A)$. Таким образом, определитель вещественной кососимметричной матрицы всегда неотрицательен. Однако этот последний факт элементарно можно доказать следующим образом: собственные значения вещественной кососимметричной матрицы чисто мнимые (см. ниже) и каждому собственному значению соответствует сопряженное собственное значение той же кратности; следовательно, поскольку определитель является произведением собственных значений, каждое из которых повторяется в соответствии со своей кратностью, из этого сразу следует, что определитель, если он не равен 0, является положительным действительным числом.

Количество различных терминов $s(n)$ в разложении определителя кососимметричной матрицы порядка $n$ рассматривался еще Кэли, Сильвестром и Пфаффом. Из-за сокращений это число весьма мало по сравнению с количеством членов определителя общей матрицы порядка $n$, что $n!$. Последовательность $s(n)$ (последовательность A002370 в OEIS )

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

и это закодировано в экспоненциальной производящей функции

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).$

Последнее подчиняется асимптотике (при $n$ даже)

$s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).$

Число положительных и отрицательных членов составляет примерно половину от общего числа, хотя их разность принимает все большие положительные и отрицательные значения, поскольку $n$ увеличивается (последовательность A167029 в OEIS ).

Перекрестное произведение

Кососимметричные матрицы размером три на три можно использовать для представления векторных произведений в виде умножения матриц. Рассмотрим векторы ${\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}}$ и ${\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}.}$ Тогда, определив матрицу

$[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},$

векторное произведение можно записать как

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} .$

В этом можно сразу убедиться, вычислив обе части предыдущего уравнения и сравнив каждый соответствующий элемент результатов.

Смотрите также: матрица Плюкера

На самом деле у одного есть

$[\mathbf {a\times b} ]_{\times }=[\mathbf {a} ]_{\times }[\mathbf {b} ]_{\times }-[\mathbf {b} ]_{\times }[\mathbf {a} ]_{\times };$

т.е. коммутатор кососимметричных матриц размером три на три можно отождествить с векторным произведением трехвекторов. Поскольку кососимметричные матрицы размером три на три являются алгеброй Ли группы вращений ${\textstyle SO(3)}$ это проясняет связь между трехмерным пространством ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$, векторное произведение и трехмерные вращения. Более подробную информацию о бесконечно малых вращениях можно найти ниже.

Спектральная теория

Поскольку матрица аналогична своей собственной транспонированной, они должны иметь одинаковые собственные значения. Отсюда следует, что собственные значения кососимметричной матрицы всегда входят в пары ± λ (за исключением нечетномерного случая, когда имеется дополнительное неспарное собственное значение 0). Согласно спектральной теореме для действительной кососимметричной матрицы все ненулевые собственные значения являются чисто мнимыми и, следовательно, имеют вид $\lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots$ где каждый из $\lambda _{k}$ реальны.

Реальные кососимметричные матрицы являются нормальными матрицами (они коммутируют со своими сопряженными ) и, таким образом, подчиняются спектральной теореме , которая утверждает, что любая действительная кососимметричная матрица может быть диагонализирована унитарной матрицей . Поскольку собственные значения вещественной кососимметричной матрицы мнимые, диагонализировать их с помощью действительной матрицы невозможно. Однако любую кососимметричную матрицу можно привести к блочно-диагональной форме специальным ортогональным преобразованием . В частности, каждый $2n\times 2n$ действительная кососимметричная матрица может быть записана в виде $A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}$ где $Q$ является ортогональным и

$\Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

для реального положительно-определенного $\lambda _{k}$. Ненулевые собственные значения этой матрицы равны ±λ _k i . В нечетномерном случае Σ всегда имеет хотя бы одну строку и столбец нулей.

В более общем смысле, любую комплексную кососимметричную матрицу можно записать в виде $A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }$ где $U$ является унитарным и $\Sigma$ имеет приведенную выше блочно-диагональную форму с $\lambda _{k}$ еще настоящий положительно-определенный. Это пример разложения Юлы комплексной квадратной матрицы.

Кососимметричные и чередующиеся формы

Кососимметричная форма $\varphi$ в векторном пространстве $V$ над полем $K$ произвольной характеристики определяется как билинейная форма

$\varphi :V\times V\mapsto K$

такой, что для всех $v,w$ в $V,$

$\varphi (v,w)=-\varphi (w,v).$

Это определяет форму с желаемыми свойствами для векторных пространств над полями с характеристикой, отличной от 2, но в векторном пространстве над полем с характеристикой 2 это определение эквивалентно определению симметричной формы, поскольку каждый элемент является собственным аддитивным обратным. .

Где векторное пространство $V$ находится над полем произвольной характеристики , включая характеристику 2, мы можем определить знакопеременную форму как билинейную форму $\varphi$ такой, что для всех векторов $v$ в $V$

$\varphi (v,v)=0.$

Это эквивалентно кососимметричной форме, когда поле не имеет характеристики 2, как видно из

$0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\varphi (v,w)+\varphi (w,v),$

откуда

$\varphi (v,w)=-\varphi (w,v).$

Билинейная форма $\varphi$ будет представлена ​​матрицей $A$ такой, что $\varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw$, однажды основе на $V$ выбирается и, наоборот, $n\times n$ матрица $A$ на $K^{n}$ приводит к отправке формы $(v,w)$ к $v^{\textsf {T}}Aw.$ Для каждой из симметричной, кососимметричной и знакопеременной форм представляющие матрицы являются симметричными, кососимметричными и знакопеременными соответственно.

Бесконечно малые вращения

Этот раздел представляет собой отрывок из бесконечно малой матрицы вращения § Связь с кососимметричными матрицами . [ редактировать ]

Кососимметричные матрицы над полем действительных чисел образуют касательное пространство к вещественной ортогональной группе. $O(n)$ в единичной матрице; формально — специальная ортогональная алгебра Ли . В этом смысле кососимметричные матрицы можно рассматривать как бесконечно малые вращения .

Другой способ сказать это состоит в том, что пространство кососимметричных матриц образует алгебру Ли $o(n)$ Лия группы $O(n).$ Скобка Ли в этом пространстве задается коммутатором :

$[A,B]=AB-BA.\,$

Легко проверить, что коммутатор двух кососимметричных матриц снова кососимметричен:

${\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}$

Матричная экспонента кососимметричной матрицы $A$ тогда является ортогональной матрицей $R$:

$R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.$

Образ экспоненциального отображения алгебры Ли всегда лежит в компоненте связности группы Ли, содержащей единицу. В случае группы Ли $O(n),$ этот связный компонент является специальной ортогональной группой $SO(n),$ состоящая из всех ортогональных матриц с определителем 1. Итак $R=\exp(A)$ будет иметь определитель +1. Более того, поскольку экспоненциальное отображение связной компактной группы Ли всегда сюръективно, оказывается, что любую ортогональную матрицу с единичным определителем можно записать как экспоненту некоторой кососимметричной матрицы. В особо важном случае размерности $n=2,$ экспоненциальное представление ортогональной матрицы сводится к известной полярной форме комплексного числа единичного модуля. Действительно, если $n=2,$ специальная ортогональная матрица имеет вид

${\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},$

с $a^{2}+b^{2}=1$. Поэтому, поставив $a=\cos \theta$ и $b=\sin \theta ,$ это можно написать

${\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),$

что в точности соответствует полярной форме $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ комплексного числа единичного модуля.

Экспоненциальное представление ортогональной матрицы порядка $n$ можно получить также исходя из того, что в размерности $n$ любая специальная ортогональная матрица $R$ можно записать как $R=QSQ^{\textsf {T}},$ где $Q$ ортогональна, а S — блочно-диагональная матрица с ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$ блоки порядка 2 плюс один порядка 1, если $n$ является странным; поскольку каждый отдельный блок порядка 2 также является ортогональной матрицей, он допускает экспоненциальную форму. Соответственно, матрица S записывается как экспонента кососимметричной блочной матрицы $\Sigma$ формы выше, $S=\exp(\Sigma ),$ так что $R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),$ экспонента кососимметричной матрицы $Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.$ И наоборот, сюръективность экспоненциального отображения вместе с упомянутой выше блочной диагонализацией для кососимметричных матриц влечет за собой блочную диагонализацию для ортогональных матриц.

без координат

Более существенно (т. е. без использования координат) кососимметричные линейные преобразования в векторном пространстве. $V$ со скалярным произведением можно определить как бивекторы в пространстве, которые представляют собой суммы простых бивекторов ( 2-лопасти ) ${\textstyle v\wedge w.}$ Переписка дана по карте ${\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes w-w^{*}\otimes v,}$ где ${\textstyle v^{*}}$ – ковектор, двойственный вектору ${\textstyle v}$; в ортонормированных координатах это в точности элементарные кососимметричные матрицы. Эта характеристика используется при интерпретации ротора векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малого вращения или «роторца», отсюда и название.

Кососимметризуемая матрица

Ан $n\times n$ матрица $A$ называется кососимметризуемой, если существует обратимая диагональная матрица $D$ такой, что $DA$ является кососимметричным. Серьезно ​ $n\times n$ матрицы, иногда условие $D$ добавлено наличие положительных записей.

См. также

• Преобразование Кэли
• Симметричная матрица
• Косо-эрмитова матрица
• Симплектическая матрица
• Симметрия в математике

Дальнейшее чтение

• Ивс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц . Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-63946-8 .
• Супруненко, Д.А. (2001) [1994], «Кососимметричная матрица» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Эйткен, AC (1944). «О числе различных членов в разложении симметричных и косых определителей» . Эдинбургская математика. Примечания . 34 : 1–5. дои : 10.1017/S0950184300000070 .

Внешние ссылки

• «Антисимметричная матрица» . Вольфрам Математический мир .
• Беннер, Питер; Кресснер, Дэниел. «HAPACK - Программное обеспечение для решения (косых) гамильтоновых задач на собственные значения» .
• Уорд, Колорадо; Грей, ЖЖ (1978). «Алгоритм 530: Алгоритм вычисления собственной системы кососимметричных матриц и класса симметричных матриц [F2]» . Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 4 (3): 286. дои : 10.1145/355791.355799 . S2CID   8575785 . Фортран Фортран90