Полоидально-тороидальный распад

В векторном исчислении , теме чистой и прикладной математики , полоидально-тороидальное разложение является ограниченной формой разложения Гельмгольца . Его часто используют при сферических координат анализе соленоидальных векторных полей , например, магнитных полей и несжимаемых жидкостей .

Определение

Дополнительная информация: Векторный оператор.

Для трехмерного векторного поля F с нулевой дивергенцией

$\nabla \cdot \mathbf {F} =0,$

это F можно выразить как сумму тороидального поля T и полоидального векторного поля P

$\mathbf {F} =\mathbf {T} +\mathbf {P}$

где r — радиальный вектор в сферических координатах ( r , θ , φ ). Тороидальное поле получается из поля скалярного Ψ ( r , θ , φ ), как следующий локон ,

$\mathbf {T} =\nabla \times (\mathbf {r} \Psi (\mathbf {r} ))$

а полоидальное поле получается из другого скалярного поля Φ( r , θ , φ ), как дважды повторенный завиток,

$\mathbf {P} =\nabla \times (\nabla \times (\mathbf {r} \Phi (\mathbf {r} )))\,.$

Это разложение симметрично в том смысле, что ротор тороидального поля является полоидальным, а ротор полоидального поля является тороидальным, что известно как функция Чандрасекара – Кендалла .

Геометрия

Тороидальное векторное поле касается сфер вокруг начала координат.

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {T} =0$

а ротор полоидального поля касается этих сфер

$\mathbf {r} \cdot (\nabla \times \mathbf {P} )=0.$

Полоидально-тороидальное разложение является единственным, если требуется, чтобы среднее скалярных полей Ψ и Φ обращалось в нуль на каждой сфере радиуса r .

Декартово разложение

Полоидально-тороидальное разложение также существует в декартовых координатах , но в этом случае необходимо учитывать поток среднего поля. Например, каждое соленоидальное векторное поле можно записать как

$\mathbf {F} (x,y,z)=\nabla \times g(x,y,z){\hat {\mathbf {z} }}+\nabla \times (\nabla \times h(x,y,z){\hat {\mathbf {z} }})+b_{x}(z){\hat {\mathbf {x} }}+b_{y}(z){\hat {\mathbf {y} }},$

где ${\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }},{\hat {\mathbf {z} }}$ обозначим единичные векторы в координатных направлениях.

См. также

• Тороидальный и полоидальный
• Функция Чандрасекара – Кендалла

Ссылки

• Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость , Чандрасекхар, Субрахманян; Международная серия монографий по физике, Оксфорд: Кларендон, 1961, стр. 622.
• Разложение соленоидальных полей на полоидальные поля, тороидальные поля и средний поток. Приложения к уравнениям Буссинеска , Шмитт Б.Дж. и фон Валь В.; в Уравнениях Навье – Стокса II — Теория и численные методы , стр. 291–305; Конспекты лекций по математике, Springer Berlin/Heidelberg, Vol. 1530/1992.
• Неупругие магнитогидродинамические уравнения для моделирования зон солнечной и звездной конвекции , Ланц, С.Р. и Фан, Ю.; Серия приложений к астрофизическому журналу, том 121, выпуск 1, март 1999 г., стр. 247–264.
• Плоское полоидально-тороидальное разложение двоякопериодических векторных полей: Часть 1. Поля с дивергенцией и Часть 2. Уравнения Стокса . Г. Д. Макбейн. АНЗИАМ Дж. 47 (2005)
• Бэкус, Джордж (1986), «Полоидальные и тороидальные поля в моделировании геомагнитного поля», Обзоры геофизики , 24 : 75–109, Бибкод : 1986RvGeo..24...75B , doi : 10.1029/RG024i001p00075 .
• Бэкус, Джордж; Паркер, Роберт; Констебль, Кэтрин (1996), Основы геомагнетизма , издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-41006-1 .
• Джонс, Крис (2008), Теория Динамо (PDF) .