Пространственная описательная статистика

Пространственная описательная статистика представляет собой пересечение пространственной статистики и описательной статистики ; эти методы используются для различных целей в географии , особенно при количественном анализе данных с использованием географических информационных систем (ГИС) .

Типы пространственных данных

Простейшими формами пространственных данных являются данные с координатной сеткой , в которых скалярная величина измеряется для каждой точки в регулярной сетке точек, и наборы точек , в которых наблюдается набор координат (например, точек на плоскости). Примером данных с привязкой к координатной сетке может служить спутниковое изображение плотности леса, оцифрованное на сетке. Примером набора точек могут служить координаты широты и долготы всех вязов на определенном участке земли. Более сложные формы данных включают наборы отмеченных точек и пространственные временные ряды.

Меры пространственной центральной тенденции

Среднее значение набора точек по координатам — это центроид , который решает ту же вариационную задачу на плоскости (или в многомерном евклидовом пространстве ), которую знакомое среднее решает на реальной линии — то есть центроид имеет наименьшее возможное среднее значение. квадрат расстояния до всех точек множества.

Меры пространственной дисперсии

Дисперсия отражает степень, в которой точки в наборе точек отделены друг от друга. Для большинства приложений пространственная дисперсия должна определяться количественно способом, инвариантным к вращениям и отражениям. Несколько простых мер пространственной дисперсии для набора точек можно определить с помощью ковариационной матрицы координат точек. След . , определитель и наибольшее собственное значение ковариационной матрицы могут использоваться в качестве мер пространственной дисперсии

Мерой пространственной дисперсии, не основанной на ковариационной матрице, является среднее расстояние между ближайшими соседями.

Меры пространственной однородности

Однородный набор точек на плоскости — это набор, распределенный так, что примерно одинаковое количество точек встречается в любой круговой области данной площади. Набор точек, которому не хватает однородности, может быть пространственно сгруппирован в определенном пространственном масштабе. Простая вероятностная модель для пространственно однородных точек — это процесс Пуассона на плоскости с постоянной функцией интенсивности.

Рипли K и L Функции

Функции Рипли K и L, представленные Брайаном Д. Рипли Это тесно связанные описательные статистики для обнаружения отклонений от пространственной однородности. Функция K (технически ее оценка на основе выборки) определяется как

${\widehat {K}}(t)=\lambda ^{-1}\sum _{i\neq j}{\frac {I(d_{ij}<t)}{n}},$

где d _ij — евклидово расстояние между i ^й и Дж ^й точек в наборе данных из n точек, t — радиус поиска, λ — средняя плотность точек (обычно оценивается как n / A , где A — площадь области, содержащей все точки), а I — индикаторная функция (т. е. 1, если его операнд истинен, и 0 в противном случае). В двух измерениях, если точки примерно однородны, ${\widehat {K}}(t)$ должно быть примерно равно π t ² .

Для анализа данных стабилизированная дисперсией функция Рипли K , называемая функцией L. обычно используется Пример версии функции L определяется как

${\widehat {L}}(t)=\left({\frac {{\widehat {K}}(t)}{\pi }}\right)^{1/2}.$

Для приблизительно однородных данных функция L имеет ожидаемое значение t , а ее дисперсия примерно постоянна по t . Общий график представляет собой график $t-{\widehat {L}}(t)$ против t , который будет приблизительно следовать горизонтальной нулевой оси с постоянной дисперсией, если данные подчиняются однородному процессу Пуассона.

Используя функцию Рипли K , можно определить, имеют ли точки случайный, рассредоточенный или кластерный характер распределения в определенном масштабе.

См. также

• Геостатистика
• Вариограмма
• Коррелограмма
• Кригинг
• Тест Кьюзика-Эдвардса для кластеризации субпопуляций внутри кластерных популяций
• Пространственная автокорреляция