Неравенство Гарнака

В математике неравенство Гарнака — неравенство, связывающее значения положительной гармонической функции в двух точках, введенное А. Гарнаком ( 1887 ). Неравенство Гарнака используется для доказательства теоремы Гарнака о сходимости последовательностей гармонических функций. Дж. Серрин ( 1955 ) и Дж. Мозер ( 1961 , 1964 ) обобщили неравенство Гарнака на решения эллиптических или параболических уравнений в частных производных . Такие результаты можно использовать для показа внутренней регулярности слабых решений .

Решение Перельманом гипотезы Пуанкаре использует версию неравенства Харнака, найденную Р. Гамильтоном ( 1993 ), для потока Риччи .

Заявление [ править ]

Неравенство Гарнака применимо к неотрицательной функции f, определенной на замкнутом шаре в R. ^н с радиусом R и центром x ₀ . Он утверждает, что если f непрерывна на замкнутом шаре и гармонична внутри него, то для каждой точки x с | Икс - Икс ₀ | знак равно р < р ,

{\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).

В самолете Р ² ( n = 2) неравенство можно записать:

{R-r \over R+r}f(x_{0})\leq f(x)\leq {R+r \over R-r}f(x_{0}).

Для общих доменов $\Omega$ в $\mathbf {R} ^{n}$ неравенство можно сформулировать следующим образом: если $\omega$ представляет собой ограниченную область с ${\bar {\omega }}\subset \Omega$ , то существует константа $C$ такой, что

\sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u(x)

для каждой дважды дифференцируемой, гармонической и неотрицательной функции $u(x)$ . Константа $C$ не зависит от $u$ ; это зависит только от доменов $\Omega$ и $\omega$ .

Доказательство неравенства Гарнака в шаре [ править ]

По формуле Пуассона

f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\cdot f(y)\,dy,

где ω _{n − 1} — площадь единичной сферы в R ^н и р = | Икс - Икс ₀ |.

С

R-r\leq |x-y|\leq R+r,

ядро в подынтегральном выражении удовлетворяет

{\frac {R-r}{R(R+r)^{n-1}}}\leq {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\leq {\frac {R+r}{R(R-r)^{n-1}}}.

Неравенство Гарнака получается путем подстановки этого неравенства в приведенный выше интеграл и использования того факта, что среднее значение гармонической функции по сфере равно ее значению в центре сферы:

f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy.

уравнения в производных частных Эллиптические

Для эллиптических уравнений в частных производных неравенство Харнака утверждает, что верхняя грань положительного решения в некоторой связной открытой области ограничена некоторым постоянным умножением нижней нижней границы, возможно, с добавленным членом, содержащим функциональную норму данных:

\sup u\leq C(\inf u+\|f\|)

Константа зависит от эллиптичности уравнения и связанной открытой области.

уравнения в производных частных Параболические

Существует версия неравенства Гарнака для линейных параболических УЧП, таких как уравнение теплопроводности .

Позволять ${\mathcal {M}}$ быть гладкой (ограниченной) областью в $\mathbb {R} ^{n}$ и рассмотрим линейный эллиптический оператор

{\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u

с гладкими и ограниченными коэффициентами и положительно определенной матрицей $(a_{ij})$ . Предположим, что $u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})$ является решением

{\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u=0

в

(0,T)\times {\mathcal {M}}

такой, что

\quad u(t,x)\geq 0{\text{ in }}(0,T)\times {\mathcal {M}}.

Позволять $K$ компактно содержаться в ${\mathcal {M}}$ и выбери $\tau \in (0,T)$ . Тогда существует константа C > 0 (зависящая только от K , $\tau$ , $t-\tau$ , а коэффициенты ${\mathcal {L}}$ ) такой, что для каждого $t\in (\tau ,T)$ ,

\sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Каффарелли, Луис А.; Кабре, Ксавье (1995), Полностью нелинейные эллиптические уравнения , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 31–41, ISBN. 0-8218-0437-5
Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения в частных производных (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (1988), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Springer, ISBN 3-540-41160-7
Гамильтон, Ричард С. (1993), «Оценка Харнака для потока Риччи», Журнал дифференциальной геометрии , 37 (1): 225–243, doi : 10.4310/jdg/1214453430 , ISSN 0022-040X , MR 1198607
Гарнак, А. (1887), Основы теории логарифмического потенциала и единственной потенциальной функции на плоскости , Лейпциг: В. Г. Тойбнер
Джон, Фриц (1982), Уравнения в частных производных , Applied Mathematical Sciences, vol. 1 (4-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6
Камынин, Л.И. (2001) [1994], «Теорема Гарнака» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Кассманн, Мориц (2007), Граничные задачи «Неравенства Гарнака: Введение», 2007 : 081415, doi : 10.1155/2007/81415 , MR 2291922
Мозер, Юрген (1961), «О теореме Гарнака для эллиптических дифференциальных уравнений», Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 577–591, doi : 10.1002/cpa.3160140329 , MR 0159138
Мозер, Юрген (1964), «Неравенство Харнака для параболических дифференциальных уравнений», Communications on Pure and Applied Mathematics , 17 (1): 101–134, doi : 10.1002/cpa.3160170106 , MR 0159139
Серрин, Джеймс (1955), «О неравенстве Гарнака для линейных эллиптических уравнений», Journal d'Analyse Mathématique , 4 (1): 292–308, doi : 10.1007/BF02787725 , MR 0081415
LC Эванс (1998), Уравнения в частных производных . Американское математическое общество, США. Об эллиптических УЧП см. теорему 5, с. 334, а для параболических УЧП см. теорему 10, с. 370.