Метод конечного множества точек
В прикладной математике термин « метод конечных точек» представляет собой общий подход к численному решению задач механики сплошной среды , таких как моделирование потоков жидкости . В этом подходе (часто сокращенно FPM ) среда представлена конечным набором точек, каждая из которых наделена соответствующими локальными свойствами среды, такими как плотность , скорость , давление и температура . [1]
Точки отбора проб могут перемещаться вместе со средой, как в лагранжевом подходе к гидродинамике, или они могут быть зафиксированы в пространстве, пока среда течет через них, как в эйлеровом подходе. Также можно использовать смешанный лагранжево-эйлеров подход. Лагранжев подход также известен (особенно в области компьютерной графики ) как метод частиц .
Методы конечных наборов точек являются бессеточными методами и поэтому легко адаптируются к областям со сложной и/или изменяющейся во времени геометрией и движущимися фазовыми границами (такими как брызги жидкости в контейнер или выдувание стеклянной бутылки ) без усложнения программного обеспечения, которое могло бы потребуется обрабатывать эти функции с помощью топологических структур данных. Они могут быть полезны в нелинейных задачах, связанных с вязкими жидкостями, тепло- и массообменом , линейными и нелинейными упругими или пластическими деформациями и т. д.
Описание
[ редактировать ]В простейших реализациях конечное множество точек хранится как неструктурированный список точек в среде. В лагранжевом подходе точки движутся вместе со средой, и точки можно добавлять или удалять, чтобы поддерживать заданную плотность выборки. Плотность точек обычно задается длиной сглаживания, определяемой локально. В эйлеровом подходе точки фиксированы в пространстве, но могут быть добавлены новые точки, если требуется повышенная точность. Таким образом, в обоих подходах ближайшие соседи точки не фиксированы, а определяются заново на каждом временном шаге.
Преимущества
[ редактировать ]Этот метод имеет различные преимущества перед методами, основанными на сетке; например, он может обрабатывать текучие области, которые изменяются естественным образом, тогда как методы, основанные на сетке, требуют дополнительных вычислительных усилий. Конечные точки должны полностью покрывать всю область потока, т. е. облако точек должно соответствовать определенным критериям качества (конечным точкам не разрешается образовывать «дырки», что означает, что конечные точки должны находить достаточно многочисленных соседей; кроме того, конечные точки не разрешено кластеризовать и т. д.).
Облако конечных точек представляет собой геометрическую основу, которая позволяет численно формулировать FPM, что делает FPM общей идеей конечных разностей, применяемой к механике сплошной среды. Это особенно означает, что если точка сводится к регулярной кубической сетке точек, то FPM сводится к классическому методу конечных разностей. Идея общих конечных разностей также означает, что FPM не основан на такой слабой формулировке, как подход Галёркина. Скорее, FPM представляет собой сильную формулировку, которая моделирует дифференциальные уравнения путем прямой аппроксимации возникающих дифференциальных операторов. Используемый метод представляет собой идею скользящего метода наименьших квадратов, специально разработанную для FPM.
История
[ редактировать ]Для преодоления недостатков классических методов было разработано множество подходов к моделированию таких течений. [2] [3] [4] [5] [6] [7] Классическим бессеточным лагранжевым методом является гидродинамика сглаженных частиц (SPH), который первоначально был введен для решения задач астрофизики. [8] [9]
С тех пор он был расширен для моделирования сжимаемых уравнений Эйлера в гидродинамике и применен к широкому кругу задач. [10] [11] [12] Метод также был расширен для моделирования невязких несжимаемых течений на свободной поверхности. [13] . Реализация граничных условий является основной проблемой метода SPH.
Другим подходом к решению уравнений гидродинамики в бессеточной системе является метод скользящих наименьших квадратов или метод наименьших квадратов. [1] [14] [15] [16] [17] [7] При таком подходе граничные условия можно реализовать естественным образом, просто разместив конечные точки на границах и задав для них граничные условия. [15] Надежность этого метода показана результатами моделирования срабатывания подушек безопасности в автомобильной промышленности. Здесь мембрана (или граница) подушки безопасности очень быстро меняется во времени и принимает достаточно сложную форму (Кунерт и др., 2000).
Тивари и др. (2003) выполнили моделирование несжимаемых течений как предела сжимаемых уравнений Навье – Стокса с некоторым жестким уравнением состояния. [18] Этот подход был впервые использован Монаганом (1992) для моделирования потоков несжимаемой свободной поверхности с помощью SPH. Предел несжимаемости получается выбором очень большой скорости звука в уравнении состояния, при которой число Маха становится малым. Однако большое значение скорости звука ограничивает шаг по времени очень маленьким из-за условия КЛЛ . [10]
Проекционный метод Хорина — это широко используемый подход для решения задач , определяемых уравнением Навье – Стокса несжимаемой жидкости в сеточной структуре. [19] В Тивари и др. (2001) этот метод был применен к системе без сетки с помощью метода взвешенных наименьших квадратов. Схема дает точные результаты для уравнений Навье–Стокса несжимаемой жидкости . Возникающее уравнение Пуассона для поля давления решается бессеточным методом. Показано, что уравнение Пуассона может быть точно решено с помощью этого подхода для любых граничных условий. Решатель Пуассона может быть адаптирован к процедуре взвешенной аппроксимации методом наименьших квадратов с условием, что уравнение Пуассона и граничные условия должны выполняться в каждой конечной точке. Это локальная итерационная процедура. [17]
Программное обеспечение
[ редактировать ]- Ногрид-очки
- БЕСПЛАТНО
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Т., Беличко; Ю., Кронгауз; М., Флемминг; Д., Орган; С., Лю В.К. (1996), «Сглаживание и ускорение вычислений в безэлементном методе Галеркина», Журнал вычислительной и прикладной математики , 74 : 111–126, doi : 10.1016/0377-0427(96)00020-9
- ^ П., Хансбо (1992), «Метод характеристической диффузии линий тока для уравнений Навье-Стокса, зависящих от времени», Компьютерные методы в прикладной механике и технике , 99 : 171–186, doi : 10.1016/0045-7825(92) 90039-М
- ^ Харлоу, Фрэнсис Х .; Э., Уэлч Дж. (1965), «Численное исследование движений свободной поверхности с большой амплитудой», Физика жидкостей , 8 : 2182, doi : 10.1063/1.1761784
- ^ Дж., Келеси Ф.; Х., Плетчер Р. (1997), «Разработка подхода захвата свободной поверхности для многомерных потоков свободной поверхности в закрытых контейнерах», Журнал вычислительной физики , 138 : 939, doi : 10.1006/jcph.1997.5847
- ^ Б., Коте Д.; К., Мьолснесс Р. (1992), «RIPPLE: новая модель несжимаемых течений со свободными поверхностями», AIAA Journal , 30 (11): 2694–2700, doi : 10.2514/3.11286
- ^ В., Маронье; М., Пикассо; Дж., Раппаз (1999), «Численное моделирование потоков на свободной поверхности», Журнал вычислительной физики , 155 : 439, номер документа : 10.1006/jcph.1999.6346.
- ^ Перейти обратно: а б С., Тивари; С., Мансервиси (2000), Моделирование несжимаемых течений Навье-Стокса с помощью LSQ-SPH, отчеты Fraunhofer ITWM, Кайзерслаутерн, Германия.
- ^ Б., Люси Л. (1977), «Численный подход к проверке гипотезы деления», Astronomical Journal , 82 : 1013–1024, doi : 10.1086/112164
- ^ А., Джингольд Р.; Дж., Монаган Дж. (1977), «Гидродинамика сглаженных частиц: теория и применение к несферическим звездам», Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 181 : 375–389, doi : 10.1093/mnras/181.3.375
- ^ Перейти обратно: а б Дж., Монаган Дж. (1992), «Гидродинамика сглаженных частиц», Ежегодный обзор астрономии и астрофизики , 30 : 543–574, doi : 10.1146/annurev.aa.30.090192.002551
- ^ Дж., Монаган Дж.; А., Гинголд Р. (1983), «Моделирование ударов методом частиц SPH», Журнал вычислительной физики , 52 (2): 374–389, doi : 10.1016/0021-9991(83)90036-0
- ^ П., Моррис Дж.; Дж., Фокс П.; Ю., Чжу (1997), «Моделирование несжимаемых потоков с малым числом Рейнольдса с использованием SPH», Журнал вычислительной физики , 136 : 214–226, doi : 10.1006/jcph.1997.5776
- ^ Дж., Монаган Дж. (1994), «Моделирование потоков на свободной поверхности с помощью SPH», Журнал вычислительной физики , 110 : 399–406, doi : 10.1006/jcph.1994.1034
- ^ А., Дилтс Г. (1996), Гидродинамика движущихся частиц по методу наименьших квадратов. I: последовательность и стабильность, отчет группы гидродинамических методов, Национальная лаборатория Лос-Аламоса , doi : 10.1002/(SICI)1097-0207(19990320)44:8<1115::AID-NME547>3.0.CO;2-L
- ^ Перейти обратно: а б Дж., Кунерт (1999), Общая гидродинамика сглаженных частиц, доктор философии. диссертация, Университет Кайзерслаутерна, Германия
- ^ Дж., Кунерт (2000), Метод конечных точек против ветра для сжимаемых уравнений Эйлера и Навье-Стокса, препринт, ITWM, Кайзерслаутерн, Германия
- ^ Перейти обратно: а б С., Тивари С.; Дж., Кунерт Дж. (2001), Бессеточный метод решения уравнения Пуассона, Berichte des Fraunhofer ITWM, Кайзерслаутерн, Германия , ISSN 1434-9973
- ^ С., Тивари; Дж., Кунерт (2003), «Метод частиц для моделирования течений на свободной поверхности», Хоу, Томас Ю.; Тадмор, Эйтан (ред.), Гиперболические проблемы: теория, числовые вычисления, приложения: материалы девятой Международной конференции по гиперболическим проблемам, состоявшейся в Калифорнийском технологическом институте, Пасадена, 25–29 марта 2002 г. , номер документа : 10.1007/978-3-642-55711 -8 , ISBN 978-3-642-55711-8
- ^ А., Чорин А. (1968), «Численное решение уравнений Навье-Стокса», Journal of Mathematics of Computation , 22 : 745–762, doi : 10.2307/2004575 , JSTOR 2004575
- Н., Эш; Ю., Пу Дж. (1990), «Слияние и разделение при бинарных столкновениях капель жидкости», Journal of Fluid Mechanics , 221 : 183–204.
- И., Гинзбург; Г., Виттум (2001), «Двухфазные потоки на сетках интерфейса, смоделированных с помощью VOF, смещенными конечными объемами и сплайн-интерполянтами», Journal of Computational Physics , 166 : 302–335, doi : 10.1006/jcph.2000.6655
- В., Хирт К.; Д., Николс Б. (1981), «Метод объема жидкости (VOF) для динамики свободных границ», Журнал вычислительной физики , 39 : 201, doi : 10.1016/0021-9991(81)90145-5
- Дж., Кунерт; А., Трамекон; П., Ульрих, Усовершенствованное моделирование, связанное со структурой жидкости воздушной подушки, применяемое к случаям вне рабочего положения, Материалы конференции EUROPAM 2000, ESI Group , Париж, Франция
- Д., Ландау Л.; М., Лифшиц Э. (1959), Механика жидкости, Пергамон, Нью-Йорк.
- Б., Лафори Б.; К., Нардоне; Р., Скардовелли; С., Залесский; Г., Занетти (1994), «Моделирование слияния и фрагментации в многофазных потоках с помощью SURFER», Журнал вычислительной физики , 113 : 134–147, doi : 10.1006/jcph.1994.1123
- К., Мартин Дж.; Дж., Мойс М. (1952), «Часть IV. Экспериментальное исследование коллапса столбов жидкости на жидкой горизонтальной пластине», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки , 244 : 312–324.
- С. Тивари С., Кунерт Дж. (2003), «Метод конечного множества точек, основанный на методе проекции для моделирования несжимаемых уравнений Навье-Стокса», в Грибеле, М.; Швейцер, Массачусетс (ред.), Бессеточные методы для уравнений в частных производных , Springer-Verlag, стр. 373–387, номер документа : 10.1007/978-3-642-56103-0
- С., Тивари (2000), «Подход LSQ-SPH для сжимаемых вязких течений», Гиперболические проблемы: теория, численные расчеты, приложения: Восьмая международная конференция в Магдебурге, февраль/март 2000 г. , том. 141, стр. 901–910, номер документа : 10.1007/978-3-0348-8372-6 , ISBN. 978-3-0348-8372-6