Метод частиц

Методы частиц — это широко используемый класс численных алгоритмов в научных вычислениях. Его применение варьируется от вычислительной гидродинамики (CFD) до молекулярной динамики (MD) и методов дискретных элементов .

История

Одним из самых ранних методов частиц является гидродинамика сглаженных частиц , представленная в 1977 году. ^[1] Либерский и др. ^[2] первыми применили СПГ в механике твердого тела. Основными недостатками SPH являются неточные результаты вблизи границ и нестабильность натяжения, которая впервые была исследована Свеглом. ^[3]

В 1990-х годах появился новый класс методов частиц. Метод воспроизводства ядерных частиц ^[4] (RKPM), аппроксимация частично побудила исправить оценку ядра в SPH: обеспечить точность вблизи границ, при неравномерной дискретизации и точность более высокого порядка в целом. Примечательно, что параллельно с этим методы Материальной точки . примерно в то же время были разработаны ^[5] которые предлагают аналогичные возможности. В течение 1990-х годов и впоследствии было выведено несколько других сортов, в том числе перечисленные ниже.

Список методов и сокращений

Следующие численные методы обычно считаются относящимися к общему классу методов «частиц». Сокращения приведены в скобках.

Гидродинамика сглаженных частиц (SPH) (1977)
Диссипативная динамика частиц (DPD) (1992)
Метод воспроизводства ядерных частиц (РКПМ) (1995)
Полунеявное движение движущихся частиц (MPS)
Частица в ячейке (PIC)
Метод конечных элементов движущихся частиц (MPFEM)
Метод крекинг-частиц (МКП) (2004 г.)
Метод погруженных частиц (IPM) (2006 г.)

Определение

Математическое определение методов частиц отражает структурные сходства всех методов частиц. ^[6] Таким образом, это позволяет проводить формальные рассуждения в разных областях применения. Определение состоит из трех частей:Во-первых, структура алгоритма метода частиц, включая структурные компоненты, а именно структуры данных и функции.Во-вторых, определение экземпляра метода частиц. Экземпляр метода частиц описывает конкретную проблему или ситуацию, которую можно решить или смоделировать с помощью алгоритма метода частиц. В-третьих, определение функции перехода состояний частицы. Функция перехода состояний описывает, как метод частиц переходит от экземпляра к конечному состоянию, используя структуры данных и функции из алгоритма метода частиц. ^[6]

Алгоритм метода частиц представляет собой набор из семи кортежей. $(P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})$ , состоящий из двух структур данных ${\begin{aligned}&P:=A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}&&{\text{the particle space,}}\\&G:=B_{1}\times B_{2}\times ...\times B_{m}&&{\text{the global variable space,}}\end{aligned}}$

такой, что $[G\times P^{*}]$ — пространство состояний метода частиц и пять функций: ${\begin{aligned}&u:[G\times P^{*}]\times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ^{*}&&{\text{the neighborhood function,}}\\&f:G\rightarrow \{\top ,\bot \}&&{\text{the stopping condition,}}\\&i:G\times P\times P\rightarrow P\times P&&{\text{the interact function,}}\\&e:G\times P\rightarrow G\times P^{*}\ &&{\text{the evolve function,}}\\&{\overset {\circ }{e}}:G\rightarrow G&&{\text{the evolve function of the global variable.}}\end{aligned}}$

Начальное состояние определяет экземпляр метода частиц для данного алгоритма метода частиц. $(P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})$ :

$[g^{1},\mathbf {p} ^{1}]\in [G\times P^{*}].$

Экземпляр состоит из начального значения глобальной переменной. $g^{1}\in G$ и исходный кортеж частиц $\mathbf {p} ^{1}\in P^{*}$ .

В конкретном методе частиц элементы кортежа $(P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})$ необходимо указать. Учитывая конкретную отправную точку, определенную экземпляром $[g^{1},\mathbf {p} ^{1}]$ , алгоритм выполняется итерациями.Каждая итерация соответствует одному шагу перехода состояния. $s$ что улучшает текущее состояние метода частиц $[g^{t},\mathbf {p} ^{t}]$ в следующее состояние $[g^{t+1},\mathbf {p} ^{t+1}]$ .Переход состояния использует функции $u,i,e,{\overset {\circ }{e}}$ чтобы определить следующее состояние. Функция перехода состояний $S$ генерирует серию шагов перехода состояний до тех пор, пока функция остановки $f$ является $true$ . Так рассчитанное конечное состояние является результатом функции перехода состояний. Функция перехода состояний идентична для каждого метода частиц.

Функция перехода состояний определяется как

$S:[G\times P^{*}]\rightarrow [G\times P^{*}]$

с

$[g^{T},\mathbf {p} ^{T}]:=S([g^{1},\mathbf {p} ^{1}])$ .

Псевдокод иллюстрирует функцию перехода состояний метода частиц:

 1  $[g,\mathbf {p} ]=[g^{1},\mathbf {p} ^{1}]$  2 while  $f(g)=false$  3   for  $j=1$  to  $|\mathbf {p} |$  4      $\mathbf {k} =u([g,\mathbf {p} ],j)$  5     for  $l=1$  to  $|\mathbf {k} |$  6        $(p_{j},p_{k_{j}})=i(g,p_{j},p_{k_{j}})$  7    $\mathbf {q} =()$  8   for  $j=1$  to  $|\mathbf {p} |$  9      $(g,{\overline {\mathbf {q} }})=e(g,p_{j})$ 10      $\mathbf {q} =\mathbf {q} \circ {\overline {\mathbf {q} }}$ 11    $\mathbf {p} =\mathbf {q}$ 12    $g={\overset {\circ }{e}}(g)$ 13  $[g^{T},\mathbf {p} ^{T}]=[g,\mathbf {p} ]$

Жирные символы представляют собой кортежи, $\mathbf {p} ,\mathbf {q}$ представляют собой кортежи частиц и $\mathbf {k}$ является индексным кортежем. $()$ это пустой кортеж. Оператор $\circ$ - это объединение кортежей частиц, например $(p_{1},p_{2})\circ (p_{3},p_{4},p_{5})=(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5})$ . И $|\mathbf {p} |$ количество элементов в кортеже $\mathbf {p}$ , например $|(p_{1},p_{2})|=2$ .

См. также

Ссылки

^ Джингольд Р.А., Монаган Дж.Дж. (1977). Гидродинамика сглаженных частиц – теория и применение к несферическим звездам. Пн Не Р Astron Soc 181:375–389
^ Либерски, Л.Д., Петчек, А.Г., Карни, Т.К., Хипп, младший, Аллахдади, Ф.А. (1993). Лагранжева гидродинамика высоких напряжений. Журнал вычислительной физики .
^ Свегл, Дж.В., Хикс, Д.Л., Аттауэй, SW (1995). Анализ гидродинамической устойчивости сглаженных частиц. Журнал вычислительной физики . 116(1), 123-134
^ Лю, В.К., Цзюнь, С., Чжан, Ю.Ф. (1995), Методы воспроизведения ядерных частиц, Международный журнал численных методов в жидкостях . 20, 1081–1106.
^ Д. Сульский, З., Чен, Х. Шрейер (1994). Метод частиц для материалов, зависящих от истории. Компьютерные методы в прикладной механике и технике (118) 1, 179-196.
^ Перейти обратно: ^а ^б Пальке, Йоханнес; Сбальцарини, Иво Ф. (март 2023 г.). «Единое математическое определение методов частиц» . Открытый журнал IEEE Компьютерного общества . 4 : 97–108. дои : 10.1109/OJCS.2023.3254466 . S2CID 257480034 . В эту статью включен текст, доступный по лицензии CC BY 4.0 .

Дальнейшее чтение

Лю МБ, Лю Г.Р., Цзун Цзун, ОБЗОР СГЛАЖЕННОЙ ГИДРОДИНАМИКИ ЧАСТИЦ, МЕЖДУНАРОДНЫЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ Vol. 5 Выпуск: 1, 135–188, 2008.
Лю, Г.Р., Лю, М.Б. (2003). Гидродинамика сглаженных частиц, бессеточный метод и метод частиц , World Scientific, ISBN 981-238-456-1 .

Внешние ссылки

Методы частиц

[1] Джингольд Р.А., Монаган Дж.Дж. (1977). Гидродинамика сглаженных частиц – теория и применение к несферическим звездам. Пн Не Р Astron Soc 181:375–389

[2] Либерски, Л.Д., Петчек, А.Г., Карни, Т.К., Хипп, младший, Аллахдади, Ф.А. (1993). Лагранжева гидродинамика высоких напряжений. Журнал вычислительной физики .

[3] Свегл, Дж.В., Хикс, Д.Л., Аттауэй, SW (1995). Анализ гидродинамической устойчивости сглаженных частиц. Журнал вычислительной физики . 116(1), 123-134

[4] Лю, В.К., Цзюнь, С., Чжан, Ю.Ф. (1995), Методы воспроизведения ядерных частиц, Международный журнал численных методов в жидкостях . 20, 1081–1106.

[5] Д. Сульский, З., Чен, Х. Шрейер (1994). Метод частиц для материалов, зависящих от истории. Компьютерные методы в прикладной механике и технике (118) 1, 179-196.

[pahlke-6] Перейти обратно: ^а ^б Пальке, Йоханнес; Сбальцарини, Иво Ф. (март 2023 г.). «Единое математическое определение методов частиц» . Открытый журнал IEEE Компьютерного общества . 4 : 97–108. дои : 10.1109/OJCS.2023.3254466 . S2CID 257480034 . В эту статью включен текст, доступный по лицензии CC BY 4.0 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]