Парадокс Бореля – Колмогорова

В теории вероятностей парадокс Бореля-Колмогорова (иногда известный как парадокс Бореля ) — это парадокс, относящийся к условной вероятности относительно события с нулевой вероятностью (также известного как нулевое множество ). Он назван в честь Эмиля Бореля и Андрея Колмогорова .

Отличная головоломка в виде круга

Предположим, что случайная величина имеет равномерное распределение на единичной сфере. Каково его условное распределение по большому кругу ? Ввиду симметрии сферы можно было бы ожидать, что распределение будет равномерным и независимым от выбора координат. Однако два анализа дают противоречивые результаты. Во-первых, заметим, что выбор точки равномерно на сфере эквивалентен выбору долготы. $\lambda$ равномерно от $[-\pi ,\pi ]$ и выбираем широту $\varphi$ от ${\textstyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$ с плотностью ${\textstyle {\frac {1}{2}}\cos \varphi }$. Затем мы можем рассмотреть два разных больших круга:

1. Если координаты выбраны так, что большой круг представляет собой экватор (широта $\varphi =0$), условная плотность по долготе $\lambda$ определенное на интервале $[-\pi ,\pi ]$ является $$f(\lambda \mid \varphi =0)={\frac {1}{2\pi }}.$$
2. Если большой круг представляет собой линию долготы с $\lambda =0$, условная плотность для $\varphi$ на интервале ${\textstyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$ является $$f(\varphi \mid \lambda =0)={\frac {1}{2}}\cos \varphi .$$

Одно распределение равномерно по окружности, другое — нет. Однако оба, похоже, относятся к одному и тому же большому кругу в разных системах координат.

Между компетентными специалистами по теории вероятностей разгорелось множество совершенно бесполезных споров о том, какой из этих результатов «правильный».

— Э. Т. Джейнс

Объяснение и последствия

В приведенном выше случае (1) условная вероятность того, что долгота λ лежит в множестве E при условии, что φ = 0, может быть записана как P ( λ ∈ E | φ = 0). Элементарная теория вероятностей предполагает, что это можно вычислить как P ( λ ∈ E и φ = 0)/ P ( φ = 0), но это выражение не является четко определенным, поскольку P ( φ = 0) = 0. Теория меры предлагает способ чтобы определить условную вероятность, используя семейство событий Rab _φ = { между : a < φ < b }, которые представляют собой горизонтальные кольца, состоящие из всех точек с широтой a и b .

Разрешение парадокса состоит в том, чтобы заметить, что в случае (2) P ( φ ∈ F | λ = 0) определяется с использованием событий L _ab = { λ : a < λ < b }, которые являются лунками (вертикальными клиньями). , состоящий из всех точек, долгота которых варьируется между a и b . Таким образом, хотя P ( λ ∈ E | φ = 0) и P ( φ ∈ F | λ = 0) каждый обеспечивает распределение вероятностей на большом круге, один из них определяется с помощью колец, а другой — с помощью лунок. Поэтому неудивительно, что P ( λ ∈ E | φ = 0) и P ( φ ∈ F | λ = 0) имеют разные распределения.

Понятие условной вероятности в отношении изолированной гипотезы, вероятность которой равна 0, недопустимо. Ибо мы можем получить распределение вероятностей для [широты] на меридиональной окружности, только если рассматривать эту окружность как элемент разложения всей сферической поверхности на меридианные окружности с заданными полюсами

—  Andrey Kolmogorov

… термин «большой круг» неоднозначен, пока мы не укажем, какая ограничивающая операция должна его создать. Аргумент интуитивной симметрии предполагает экваториальный предел; однако один человек, поедающий дольки апельсина, может предполагать другого.

— Э. Т. Джейнс

Математическое объяснение

Измерьте теоретическую перспективу

Чтобы понять проблему, нам нужно признать, что распределение непрерывной случайной величины описывается плотностью f только относительно некоторой меры µ . Оба важны для полного описания распределения вероятностей. Или, что то же самое, нам нужно полностью определить пространство, в котором мы хотим определить f .

Пусть Φ и Λ обозначают две случайные величины, принимающие значения в Ω ₁ = ${\textstyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ соответственно Ω ₂ = [− π , π ]. Событие {Φ = φ , Λ = λ } дает точку на сфере S ( r ) с радиусом r . Определим преобразование координат

${\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \cos \lambda \\y&=r\cos \varphi \sin \lambda \\z&=r\sin \varphi \end{aligned}}$

для чего получаем элемент объема

$\omega _{r}(\varphi ,\lambda )=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \varphi }\times {\partial (x,y,z) \over \partial \lambda }\right\|=r^{2}\cos \varphi \ .$

Более того, если φ или λ фиксированы, мы получаем элементы объема

${\begin{aligned}\omega _{r}(\lambda )&=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \varphi }\right\|=r\ ,\quad {\text{respectively}}\\[3pt]\omega _{r}(\varphi )&=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \lambda }\right\|=r\cos \varphi \ .\end{aligned}}$

Позволять

$\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )=f_{\Phi ,\Lambda }(\varphi ,\lambda )\omega _{r}(\varphi ,\lambda )\,d\varphi \,d\lambda$

обозначим совместную меру по ${\mathcal {B}}(\Omega _{1}\times \Omega _{2})$, который имеет плотность $f_{\Phi ,\Lambda }$ относительно $\omega _{r}(\varphi ,\lambda )\,d\varphi \,d\lambda$ и пусть

${\begin{aligned}\mu _{\Phi }(d\varphi )&=\int _{\lambda \in \Omega _{2}}\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )\ ,\\\mu _{\Lambda }(d\lambda )&=\int _{\varphi \in \Omega _{1}}\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )\ .\end{aligned}}$

Если предположить, что плотность $f_{\Phi ,\Lambda }$ является однородным, то

${\begin{aligned}\mu _{\Phi \mid \Lambda }(d\varphi \mid \lambda )&={\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda ) \over \mu _{\Lambda }(d\lambda )}={\frac {1}{2r}}\omega _{r}(\varphi )\,d\varphi \ ,\quad {\text{and}}\\[3pt]\mu _{\Lambda \mid \Phi }(d\lambda \mid \varphi )&={\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda ) \over \mu _{\Phi }(d\varphi )}={\frac {1}{2r\pi }}\omega _{r}(\lambda )\,d\lambda \ .\end{aligned}}$

Следовательно, $\mu _{\Phi \mid \Lambda }$ имеет однородную плотность по отношению к $\omega _{r}(\varphi )\,d\varphi$ но не относительно меры Лебега. С другой стороны, $\mu _{\Lambda \mid \Phi }$ имеет однородную плотность по отношению к $\omega _{r}(\lambda )\,d\lambda$ и мера Лебега.

Доказательство противоречия

Рассмотрим случайный вектор $(X,Y,Z)$ равномерно распределенный на единичной сфере $S^{2}$.

Начнем с параметризации сферы обычными сферическими полярными координатами :

${\begin{aligned}x&=\cos(\varphi )\cos(\theta )\\y&=\cos(\varphi )\sin(\theta )\\z&=\sin(\varphi )\end{aligned}}$

где ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \varphi \leq {\frac {\pi }{2}}}$ и $-\pi \leq \theta \leq \pi$.

Мы можем определить случайные переменные $\Phi$, $\Theta$ как ценности $(X,Y,Z)$ под обратной этой параметризацией или, более формально, с использованием функции arctan2 :

${\begin{aligned}\Phi &=\arcsin(Z)\\\Theta &=\arctan _{2}\left({\frac {Y}{\sqrt {1-Z^{2}}}},{\frac {X}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)\end{aligned}}$

Используя формулы для площади поверхности сферического колпачка и сферического клина , поверхность сферического клина определяется выражением

$\operatorname {Area} (\Theta \leq \theta ,\Phi \leq \varphi )=(1+\sin(\varphi ))(\theta +\pi )$

С $(X,Y,Z)$ распределено равномерно, вероятность пропорциональна площади поверхности, что дает совместную кумулятивную функцию распределения

$F_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )=P(\Theta \leq \theta ,\Phi \leq \varphi )={\frac {1}{4\pi }}(1+\sin(\varphi ))(\theta +\pi )$

Тогда совместная функция плотности вероятности определяется выражением

$f_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )={\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi \partial \theta }}F_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )={\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )$

Обратите внимание, что $\Phi$ и $\Theta$ являются независимыми случайными величинами.

Для простоты мы не будем рассчитывать полное условное распределение по большому кругу, а только вероятность того, что случайный вектор лежит в первом октанте. То есть попытаемся вычислить условную вероятность $\mathbb {P} (A|B)$ с

${\begin{aligned}A&=\left\{0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right\}&&=\{0<X<1,0<Y<X\}\\B&=\{\Phi =0\}&&=\{Z=0\}\end{aligned}}$

Мы пытаемся оценить условную вероятность как предел обусловленности событий.

$B_{\varepsilon }=\{|\Phi |<\varepsilon \}$

Как $\Phi$ и $\Theta$ независимы, как и события $A$ и $B_{\varepsilon }$, поэтому

$P(A\mid B)\mathrel {\stackrel {?}{=}} \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {P(A\cap B_{\varepsilon })}{P(B_{\varepsilon })}}=\lim _{\varepsilon \to 0}P(A)=P\left(0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1}{8}}.$

Теперь повторяем процесс с другой параметризацией сферы:

${\begin{aligned}x&=\sin(\varphi )\\y&=\cos(\varphi )\sin(\theta )\\z&=-\cos(\varphi )\cos(\theta )\end{aligned}}$

Это эквивалентно предыдущей параметризации, повернутой на 90 градусов вокруг оси Y.

Определите новые случайные величины

${\begin{aligned}\Phi '&=\arcsin(X)\\\Theta '&=\arctan _{2}\left({\frac {Y}{\sqrt {1-X^{2}}}},{\frac {-Z}{\sqrt {1-X^{2}}}}\right).\end{aligned}}$

Вращение сохраняет меру, поэтому плотность $\Phi '$ и $\Theta '$ то же самое:

$f_{\Phi ',\Theta '}(\varphi ,\theta )={\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )$.

Выражения для A и B :

${\begin{aligned}A&=\left\{0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right\}&&=\{0<X<1,\ 0<Y<X\}&&=\left\{0<\Theta '<\pi ,\ 0<\Phi '<{\frac {\pi }{2}},\ \sin(\Theta ')<\tan(\Phi ')\right\}\\B&=\{\Phi =0\}&&=\{Z=0\}&&=\left\{\Theta '=-{\frac {\pi }{2}}\right\}\cup \left\{\Theta '={\frac {\pi }{2}}\right\}.\end{aligned}}$

Снова попытка оценить условную вероятность как предел обусловленности событий.

$B_{\varepsilon }^{\prime }=\left\{\left|\Theta '+{\frac {\pi }{2}}\right|<\varepsilon \right\}\cup \left\{\left|\Theta '-{\frac {\pi }{2}}\right|<\varepsilon \right\}.$

Используя правило Лопиталя и дифференцирование под знаком интеграла :

${\begin{aligned}P(A\mid B)&\mathrel {\stackrel {?}{=}} \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {P(A\cap B_{\varepsilon }^{\prime })}{P(B_{\varepsilon }^{\prime })}}\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\frac {4\varepsilon }{2\pi }}}P\left({\frac {\pi }{2}}-\varepsilon <\Theta '<{\frac {\pi }{2}}+\varepsilon ,\ 0<\Phi '<{\frac {\pi }{2}},\ \sin(\Theta ')<\tan(\Phi ')\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}\int _{{\pi }/{2}-\epsilon }^{{\pi }/{2}+\epsilon }\int _{0}^{{\pi }/{2}}1_{\sin(\theta )<\tan(\varphi )}f_{\Phi ',\Theta '}(\varphi ,\theta )\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} \theta \\&=\pi \int _{0}^{{\pi }/{2}}1_{1<\tan(\varphi )}f_{\Phi ',\Theta '}\left(\varphi ,{\frac {\pi }{2}}\right)\mathrm {d} \varphi \\&=\pi \int _{\pi /4}^{\pi /2}{\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )\mathrm {d} \varphi \\&={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\neq {\frac {1}{8}}\end{aligned}}$

Это показывает, что условную плотность нельзя рассматривать как обусловленность событием с нулевой вероятностью, как объяснено в разделе Условная вероятность#Обусловление события с нулевой вероятностью .

См. также

• Теорема о дезинтеграции - Теорема теории меры

Ссылки

• Джейнс, ET (2003). «15.7 Парадокс Бореля-Колмогорова». Теория вероятностей: логика науки . Издательство Кембриджского университета. стр. 467–470. ISBN  0-521-59271-2 . МР   1992316 .
  • Фрагментарное издание (1994) (стр. 1514–1517). Архивировано 30 сентября 2018 г. в Wayback Machine ( PostScript ). формат
• Колмогоров, Андрей (1933). Основные понятия расчета вероятностей (на немецком языке). Берлин: Юлиус Шпрингер.
  • Перевод: Колмогоров, Андрей (1956). «Глава V, § 2. Объяснение парадокса Бореля» . Основы теории вероятностей (2-е изд.). Нью-Йорк: Челси. стр. 50–51. ISBN  0-8284-0023-7 . Архивировано из оригинала 14 сентября 2018 г. Проверено 12 марта 2009 г.
• Поллард, Дэвид (2002). «Глава 5. Кондиционирование, пример 17.». Руководство пользователя по измерению теоретической вероятности . Издательство Кембриджского университета. стр. 122–123. ISBN  0-521-00289-3 . МР   1873379 .
• Мозегор, Клаус; Тарантола, Альберт (2002). «16 Вероятностный подход к обратным задачам». Международный справочник по землетрясениям и инженерной сейсмологии . Международная геофизика. Том. 81. С. 237–265. дои : 10.1016/S0074-6142(02)80219-4 . ISBN  9780124406520 .
• Галь, Ярин. «Парадокс Бореля – Колмогорова» (PDF) .