Теорема отражения

В теории алгебраических чисел теорема отражения или Spiegelungssatz ( -немецки по «теорема отражения» — см. «Шпигель и Сац» ) — это одна из совокупности теорем, связывающих размеры различных групп идеальных классов (или групп лучевых классов ) или размеры различных изотипических компонентов. классной группы. Оригинальный пример принадлежит Эрнсту Эдуарду Куммеру , который показал, что номер класса кругового поля $\mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)$ , где p — простое число, будет делиться на p, если номер класса максимального вещественного подполя $\mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)^{+}$ является. Другой пример принадлежит Шольцу. ^[1] Упрощенная версия его теоремы гласит, что если 3 делит номер класса действительного квадратичного поля $\mathbb {Q} \left({\sqrt {d}}\right)$ , то 3 также делит номер класса мнимого квадратичного поля $\mathbb {Q} \left({\sqrt {-3d}}\right)$ .

Теорема Леопольдта об отражении

Оба приведенных выше результата обобщены «Spiegelungssatz» Леопольдта , который связывает p-ранги различных изотипических компонентов группы классов числового поля, рассматриваемого как модуль над группой Галуа расширения Галуа.

Пусть L / K — конечное расширение Галуа числовых полей с группой G степени, простой с p , и L, содержащей корни p -й степени из единицы. Пусть A — p -силовская подгруппа группы классов L . Пусть φ пробегает неприводимые характеры группового кольца Qp _Aφ [ G ] и пусть соответствующие _{обозначает} прямые слагаемые A. кольца Для любого φ пусть q = p ^е(1) и пусть G -ранг e _φ — показатель степени в индексе

[A_{\phi }:A_{\phi }^{p}]=q^{e_{\phi }}.

Пусть ω — характер G

\zeta ^{g}=\zeta ^{\omega (g)}{\text{ for }}\zeta \in \mu _{p}.

Отражение φ ^* определяется

\phi ^{*}(g)=\omega (g)\phi (g^{-1}).

Пусть E — единичная группа K . Мы говорим, что ε «первично», если $K({\sqrt[{p}]{\epsilon }})/K$ неразветвлена, и пусть E ₀ обозначает группу первичных единиц по модулю E ^п. через δφ _G Обозначим - -компоненты E0 _. ранг φ

В Spiegelungssatz говорится, что

|e_{\phi ^{*}}-e_{\phi }|\leq \delta _{\phi }.

Расширения

Расширения этого Spiegelungssatz были даны Ориатом и Ориат-Сатже, где группы классов больше не ассоциировались с характерами группы Галуа группы K / k , а скорее с идеалами в групповом кольце над группой Галуа группы K / k . Spiegelungssatz Леопольдта был обобщен в другом направлении Куродой, который распространил его на утверждение о группах классов лучей . В дальнейшем это было развито в очень общую « теорему T - S -отражения» Жоржа Гра . ^[2] Кенкичи Ивасава также представил теорему отражения теории Ивасавы .

Ссылки

^ , О взаимосвязи между числами классов квадратичных полей, Math. J. А. Шольц pure
^ Жорж Гра, Теория поля классов: от теории к практике , Springer-Verlag, Берлин, 2004, стр. 157–158.

Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. наук. Том. 62 (2-е издание 1-го изд.). Спрингер-Верлаг . стр. 147–149. ISBN 3-540-63003-1 . Збл 0819.11044 .

[1] , О взаимосвязи между числами классов квадратичных полей, Math. J. А. Шольц pure

[2] Жорж Гра, Теория поля классов: от теории к практике , Springer-Verlag, Берлин, 2004, стр. 157–158.

[1]

[2]