Уравнение скорости влажности почвы

Уравнение скорости влажности почвы описывает скорость, с которой вода движется вертикально через ненасыщенную почву под действием силы тяжести и капиллярности, процесс, известный как инфильтрация . Уравнение является альтернативной формой уравнения Ричардсона/Ричардса . Ключевое отличие состоит в том, что зависимой переменной является положение фронта смачивания. $z$, которая является функцией времени, содержания воды и свойств среды. Уравнение скорости влажности почвы состоит из двух слагаемых. Первый термин, подобный адвекции, был разработан для моделирования поверхностной инфильтрации. и был продлен до уровня грунтовых вод, что было подтверждено с использованием данных, собранных в ходе эксперимента на колонке, построенного по образцу знаменитого эксперимента Чайлдса и Пуловассилиса (1962). и против точных решений.

Уравнение скорости влажности почвы

Уравнение скорости влажности почвы или SMVE - это лагранжева интерпретация уравнения Эйлера Ричардса, в котором зависимой переменной является положение z фронта смачивания с определенным содержанием влаги. $\theta$ со временем.

$\left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}$

где:

$z$ – вертикальная координата [L] (положительная вниз),

$\theta$ - содержание воды в почве в точке [-]

$K(\theta )$ – ненасыщенная гидравлическая проводимость [LT ⁻¹ ],

$\psi (\theta )$ - капиллярный напор [л],

$D(\theta )$ – коэффициент диффузии почвенной воды, который определяется как: $K(\theta )\partial \psi /\partial \theta$, [Л ² Т]

$t$ это время [Т].

Первый член в правой части SMVE называется термином «адвективного типа», а второй член называется термином «диффузионного типа». Подобный адвекции член уравнения скорости влажности почвы особенно полезен для расчета продвижения фронтов смачивания жидкости, проникающей в ненасыщенную пористую среду под совместным действием силы тяжести и капиллярности, поскольку его можно преобразовать в обыкновенное дифференциальное уравнение, пренебрегая диффузией. -подобный термин. и это позволяет избежать проблемы репрезентативного элементарного объема за счет использования метода точной дискретизации содержания воды и метода решения.

Это уравнение было преобразовано в систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). используя метод линий преобразовать частные производные в правой части уравнения в соответствующие конечно-разностные формы. Эти три ОДУ представляют динамику просачивающейся воды, падающих слизней и капиллярных грунтовых вод соответственно.

Вывод

Этот вывод одномерного уравнения скорости влажности почвы для расчета вертикального потока $q$ воды в вадозной зоне начинается с сохранения массы для ненасыщенной пористой среды без источников и стоков:

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}+{\frac {\partial q}{\partial z}}=0.$

Затем вставим ненасыщенный поток Букингема – Дарси:

$q=-K(\theta ){\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}+K(\theta ),$

что дает уравнение Ричардса в смешанной форме, поскольку она включает в себя как содержание воды, так и содержание воды $\theta$и головка капилляра $\psi (\theta )$:

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K(\theta )\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right)\right]$.

Применяя цепное правило дифференцирования к правой части уравнения Ричардса:

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t)){\frac {\partial }{\partial z}}\psi (\theta (z,t))+K(\theta ){\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\psi (\theta (z,t))-{\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t))$.

Предполагая, что определяющие соотношения для ненасыщенной гидравлической проводимости и капиллярности почвы являются исключительно функциями содержания воды, $K=K(\theta )$и $\psi =\psi (\theta )$, соответственно:

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}=K'(\theta )\psi '(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+K(\theta )\left[\psi ''(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial z^{2}}}\right]-K'(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}$.

Это уравнение неявно определяет функцию $Z_{R}(\theta ,t)$который описывает положение определенного содержания влаги в почве с использованием конечной дискретности содержания влаги. Используя теорему о неявной функции , которая по циклическому правилу требовала деления обеих частей этого уравнения на ${-\partial \theta }/{\partial z}$ выполнить изменение переменной, в результате чего:

${\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}+K'(\theta )$,

что можно записать как:

${\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-K(\theta )\left[\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}\right]$.

Вставляем определение коэффициента диффузии почвенной воды:

$D(\theta )\equiv K(\theta ){\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}$

в предыдущее уравнение дает:

${\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}$

Если мы рассмотрим скорость определенного содержания воды $\theta$, то мы можем записать уравнение в виде уравнения скорости влажности почвы :

$\left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}$

Физическое значение

Одномерное уравнение Ричардса , записанное в форме содержания влаги, имеет вид

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(D(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial K(\theta )}{\partial z}}$

Где D ( θ ) [L ² /T] — это «коэффициент диффузии почвенной воды», определенный ранее.

Обратите внимание, что с $\theta$ В качестве зависимой переменной физическая интерпретация затруднена, поскольку все факторы, влияющие на расхождение потока, заключены в коэффициенте диффузии влаги в почве. $D(\theta )$. Однако в SMVE три фактора, управляющие потоком, рассматриваются в отдельных терминах и имеют физическое значение.

Основные допущения, использованные при выводе уравнения скорости влажности почвы, заключаются в том, что $K=K(\theta )$ и $\psi =\psi (\theta )$ не являются слишком ограничительными. Аналитические и экспериментальные результаты показывают, что эти допущения приемлемы в большинстве условий естественных почв. В этом случае уравнение скорости влажности почвы эквивалентно одномерному уравнению Ричардса, хотя и с изменением зависимой переменной. Эта замена зависимой переменной удобна, поскольку снижает сложность проблемы, поскольку по сравнению с уравнением Ричардса , которое требует расчета дивергенции потока, SMVE представляет собой расчет потока, а не расчет дивергенции. Первый член в правой части SMVE представляет собой две скалярные движущие силы потока: гравитацию и интегрированную капиллярность фронта смачивания. Учитывая только этот термин, SMVE становится:

${\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]$

где ${\partial \psi (\theta )}/{\partial z}$ - градиент капиллярной головки, который определяет поток и оставшуюся часть проводимости $K'(\theta )$ представляет собой способность силы тяжести проводить поток через почву. Этот термин отвечает за истинную адвекцию воды через почву под совместным действием силы тяжести и капиллярности. Таким образом, это называется термином, подобным адвекции.

Пренебрегая гравитацией и скалярной капиллярностью фронта смачивания, мы можем рассматривать только второе слагаемое в правой части SMVE. В этом случае уравнение скорости влажности почвы принимает вид:

${\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}$

Этот термин поразительно похож на второй закон диффузии Фика . По этой причине этот член называют «диффузионным» членом СМВЭ.

Этот член представляет собой поток, обусловленный формой фронта смачивания. $-D(\theta ){\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}$, разделенное на пространственный градиент головки капилляра ${\partial \psi /\partial z}$. Глядя на этот термин, похожий на диффузию, разумно задаться вопросом, когда этот член может быть незначительным? Первый ответ заключается в том, что этот член будет равен нулю, когда первая производная $<\partial \psi /\partial z=C$, поскольку вторая производная будет равна нулю. Одним из примеров, когда это происходит, является случай равновесного гидростатического профиля влажности, когда $\partial \psi /\partial z=-1$ где z определяется как положительное вверх. Это физически реалистичный результат, поскольку известно, что равновесный гидростатический профиль влажности не создает потоков.

Другой случай, когда диффузионный член будет близок к нулю, - это случай острых фронтов смачивания, когда знаменатель диффузионного члена $\partial \psi /\partial z\to \infty$, в результате чего термин исчезает. Примечательно, что острые фронты смачивания, как известно, трудно разрешить и точно решить с помощью традиционных численных решателей уравнений Ричардса.

Наконец, в случае сухих почв $K(\theta )$ имеет тенденцию к $0$, что делает диффузию почвенной воды $D(\theta )$ также стремится к нулю. В этом случае член, подобный диффузии, не будет создавать потока.

Сравнение с точными решениями уравнения Ричардса для инфильтрации в идеализированные почвы, разработанного Россом и Парланжем (1994). раскрытый что действительно, игнорирование термина, подобного диффузии, привело к точности> 99% при расчете кумулятивной инфильтрации. Этот результат указывает на то, что адвективный член СМВЭ, преобразованный в обыкновенное дифференциальное уравнение с использованием метода прямых, является точным решением ОДУ задачи инфильтрации. Это согласуется с результатом, опубликованным Ogden et al. которые обнаружили ошибки в моделировании кумулятивной инфильтрации в размере 0,3% с использованием 263 см тропических осадков в течение 8-месячного моделирования, чтобы провести моделирование инфильтрации, в котором сравнивалось решение SMVE, подобное адвекции, с численным решением уравнения Ричардса.

Решение

Адвективный член SMVE может быть решен с использованием метода прямых и конечной дискретизации содержания влаги . Это решение члена, подобного адвекции SMVE, заменяет одномерное уравнение Ричардса PDE набором из трех обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Эти три ОДУ:

Фронты проникновения

Фронты инфильтрации в области конечной водности

Как показано на рисунке 1, вода, проникающая на поверхность земли, может течь через поровое пространство между $\theta _{d}$ и $\theta _{i}$. Использование метода линий для преобразования термина, подобного адвекции SMVE, в ОДУ:

${\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.$

Учитывая, что любая глубина водоема на поверхности земли $h_{p}$, Зеленый и широкий (1911) используется предположение,

${\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}},$

представляет собой градиент капиллярного напора, который управляет потоком в $j^{th}$ дискретизация или «бин». Следовательно, конечное уравнение водосодержания в случае фронтов инфильтрации имеет вид:

$\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\right).$

Падающие слизни

Падающие снаряды в области конечного содержания воды. Вода в каждом контейнере считается отдельным слизнем.

После прекращения осадков и инфильтрации всех поверхностных вод вода в бункерах, содержащих фронты инфильтрации, отрывается от поверхности земли. Если предположить, что капиллярность на переднем и заднем краях этой «падающей порции» воды уравновешена, тогда вода падает через среду с возрастающей проводимостью, связанной с $j^{\text{th}}\ \Delta \theta$ мусорное ведро:

$\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}$.

Этот подход к решению бескапиллярного решения очень похож на кинематическое волновое приближение.

Капиллярные фронты подземных вод

Капиллярные фронты подземных вод в области конечной водности

В этом случае приток воды к $j^{\text{th}}$ bin находится между bin j и i . Следовательно, в контексте метода линий :

${\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},$

и

${\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}$

что дает:

$\left({\frac {dH}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).$

Обратите внимание на цифру «-1» в скобках, обозначающую тот факт, что гравитация и капиллярность действуют в противоположных направлениях. Работоспособность этого уравнения была проверена, используя эксперимент с колонкой, разработанный на основе этого Чайлдсом и Пуловассилисом (1962). Результаты этой проверки показали, что метод расчета потока вадозной зоны с конечным содержанием воды работает сравнимо с численным решением уравнения Ричардса. На фото представлен аппарат. Данные этого эксперимента с колонкой доступны, нажав на этот DOI с прямой ссылкой . Эти данные полезны для оценки моделей динамики уровня приповерхностных вод.

Примечательно, что адвективный член SMVE, решаемый методом конечного влагосодержания, полностью избавляет от необходимости оценки удельного выхода . Расчет удельной урожайности по мере приближения уровня грунтовых вод к поверхности земли усложняется из-за нелинейностей. Однако SMVE, решаемый с использованием конечной дискретизации содержания влаги, по существу, делает это автоматически в случае динамического уровня приповерхностных грунтовых вод.

Колоночный эксперимент, используемый для наблюдения за реакцией на влажность мелкого песка над движущимся уровнем грунтовых вод. Обратите внимание на резервуар с постоянным напором, управляемый шаговым двигателем (белое ведро).

Уведомление и награды

Статья об уравнении скорости влажности почвы была освещена редактором в выпуске J. Adv. Моделирование систем Земли , когда статья была впервые опубликована и находится в свободном доступе. Статью может свободно скачать здесь любой желающий.Статья, описывающая решение для конечного содержания влаги адвекционного члена уравнения скорости влажности почвы, была выбрана для получения награды «Самая крутая бумага 2015 года » от первых членов Международной ассоциации гидрогеологов .

Внешние ссылки

• Видео на YouTube о решении на основе SMVE, замедленное во время дождя, чтобы продемонстрировать поведение, с фиксированным уровнем грунтовых вод на уровне 1,0 м и суммарным испарением из корневой зоны 0,5 м.