Устойчивость (математика)

Аналогия устойчивости с шаром и долиной. Упругое устойчивое состояние можно рассматривать как мяч в глубокой долине, и требуется большое возмущение, чтобы переместить мяч в альтернативное устойчивое состояние. Стационарное состояние, которое менее устойчиво, можно представить как шар в неглубокой долине, где меньших возмущений может быть достаточно, чтобы сделать систему неустойчивой.

В моделировании математическом устойчивость относится к способности динамической системы восстанавливаться после возмущений и возвращаться в исходное стабильное устойчивое состояние . Это мера стабильности и устойчивости системы перед лицом изменений или возмущений. Если система недостаточно устойчива, она более восприимчива к возмущениям и может легче пережить критический переход . Общая аналогия, используемая для объяснения концепции устойчивости равновесия, — это мяч в долине. Упругое устойчивое состояние соответствует мячу в глубокой впадине, поэтому любой толчок или возмущение очень быстро заставит мяч вернуться в точку покоя, где он начал. С другой стороны, менее упругое устойчивое состояние соответствует шару в неглубокой впадине, поэтому шару потребуется гораздо больше времени, чтобы вернуться в равновесие после возмущения.

Концепция устойчивости особенно полезна в системах, в которых наблюдаются переломные моменты , изучение которых имеет долгую историю, восходящую к теории катастроф . Хотя эта теория изначально была слишком разрекламирована и потеряла популярность, ее математическая основа остается прочной и теперь признана применимой ко многим различным системам.

История

В 1973 году канадский эколог К.С. Холлинг предложил определение устойчивости в контексте экологических систем. По словам Холлинга, устойчивость - это «мера устойчивости систем и их способности поглощать изменения и нарушения и при этом сохранять те же отношения между популяциями или переменными состояния». Холлинг выделил два типа устойчивости: инженерную устойчивость и экологическую устойчивость . Инженерная устойчивость означает способность системы возвращаться в исходное состояние после нарушения, например, мост, который можно отремонтировать после землетрясения. Экологическая устойчивость, с другой стороны, относится к способности системы сохранять свою идентичность и функционирование несмотря на нарушения, например, лес может восстановиться после лесного пожара, сохраняя при этом свое биоразнообразие и экосистемные услуги . Со временем некогда четко определенная и недвусмысленная концепция устойчивости постепенно утратила свою ясность, став более расплывчатой ​​и ближе к общему термину, чем к конкретной конкретной мере.

Определение

Математически устойчивость можно аппроксимировать обратной величиной времени возврата к равновесию. данный

${\text{resilience}}\equiv -{\text{Re}}(\lambda _{1}({\textbf {A}})))$

где ${\textstyle \lambda _{1}}$ — максимальное собственное значение матрицы ${\textstyle {\textbf {A}}}$.

Чем больше это значение, тем быстрее система возвращается в исходное устойчивое стационарное состояние, или, другими словами, тем быстрее затухают возмущения.

Приложения и примеры

В экологии устойчивость может относиться к способности экосистемы восстанавливаться после таких нарушений, как пожары, засухи или внедрение инвазивных видов. Устойчивой экосистемой будет та, которая способна адаптироваться к этим изменениям и продолжать функционировать, в то время как менее устойчивая экосистема может подвергнуться необратимому повреждению или коллапсу. Точное определение устойчивости оставалось расплывчатым для практических вопросов, что привело к медленному и правильному применению его идей для управления экосистемами.

В эпидемиологии устойчивость может относиться к способности здорового сообщества восстановиться после завоза инфицированных людей. То есть устойчивая система с большей вероятностью останется в состоянии безболезненного равновесия после проникновения новой инфекции. Некоторые стабильные системы демонстрируют критическое замедление : по мере приближения к базовому числу воспроизводства , равному 1, их устойчивость снижается, поэтому для возвращения к безболезненному устойчивому состоянию требуется больше времени.

Устойчивость — важная концепция при изучении сложных систем , где существует множество взаимодействующих компонентов, которые могут влиять друг на друга непредсказуемым образом. Математические модели могут использоваться для изучения устойчивости таких систем и определения стратегий повышения их устойчивости перед лицом экологических или других изменений. Например, при моделировании сетей часто важно иметь возможность количественно оценить устойчивость сети или надежность сети при потере узлов. Безмасштабные сети особенно устойчивы поскольку большинство их узлов имеют мало связей. Это означает, что если некоторые узлы будут удалены случайным образом, более вероятно, что будут удалены узлы с меньшим количеством соединений, что сохранит ключевые свойства сети.

См. также

• Инженерная устойчивость
• Экологическая устойчивость
• Критический переход
• Теория бифуркации