Квантовая система отсчета

См. также: Система координат

Квантовая система отсчета — это система отсчета, которая рассматривается квантово-теоретически. Она, как и любая система отсчета , представляет собой абстрактную систему координат, определяющую физические величины, такие как время , положение, импульс , вращение и так далее. Поскольку она рассматривается в рамках формализма квантовой теории , она обладает некоторыми интересными свойствами, которых нет в обычной классической системе отсчета.

Система отсчета в классической механике и инерциальная система отсчета

См. Также: Система отсчета и Инерциальная система отсчета.

Рассмотрим простую физическую задачу: автомобиль движется так, что преодолевает расстояние в 1 милю за каждые 2 минуты. Какова его скорость в метрах в секунду? После некоторых преобразований и вычислений можно получить ответ: «13,41 м/с»; с другой стороны, вместо этого можно ответить «0 относительно самого себя». Первый ответ правильный, поскольку он признает, что в задаче подразумевается система отсчета. Второй вариант, хотя и педантичный, также верен, поскольку использует тот факт, что в задаче не существует конкретной системы отсчета. Эта простая проблема иллюстрирует важность системы отсчета: система отсчета является квинтэссенцией четкого описания системы, независимо от того, включена ли она неявно или явно.

Когда говорят об автомобиле, движущемся на восток, имеют в виду определенную точку на поверхности Земли; более того, поскольку Земля вращается, автомобиль фактически движется в направлении, меняющемся относительно Солнца. На самом деле, это лучшее, что можно сделать: описать систему относительно некоторой системы отсчета. Описывать систему относительно абсолютного пространства не имеет особого смысла, поскольку абсолютное пространство, если оно существует, ненаблюдаемо. Следовательно, в приведенном выше примере невозможно описать путь автомобиля относительно некоторого абсолютного пространства. Идея абсолютного пространства на протяжении веков беспокоила многих физиков, включая Ньютона. Действительно, Ньютон полностью осознавал это и утверждал, что все инерциальные системы отсчёта эквивалентны друг другу. Проще говоря, относительные движения системы тел не зависят от инерционного движения всей системы.

Инерциальная ) — это система , система отсчета (или, короче, инерциальная система отсчета в которой выполняются все физические законы. Например, во вращающейся системе отсчета законы Ньютона необходимо изменить, поскольку существует дополнительная сила Кориолиса (такая система является примером неинерциальной системы отсчета). Здесь «вращение» означает «вращение относительно некоторой инерциальной системы отсчета». Следовательно, хотя верно, что для удобства всегда можно выбрать любую физическую систему в качестве системы отсчета, любая система в конечном итоге должна быть описана инерциальной системой отсчета, прямо или косвенно. Наконец, можно спросить, как можно найти инерциальную систему отсчета, и ответ лежит в законах Ньютона , по крайней мере, в ньютоновской механике : первый закон гарантирует существование инерциальной системы отсчета, тогда как второй и третий законы используются для проверки того, существует ли инерциальная система отсчета. является ли данная система отсчета инерциальной или нет.

Может показаться, что инерциальную систему отсчета теперь можно легко найти с учетом законов Ньютона, поскольку доступны эмпирические тесты. Совсем наоборот; абсолютно инерциальная система отсчета неизвестна и, скорее всего, никогда не будет известна. Вместо этого аппроксимируется инерциальная система отсчета. Пока ошибка аппроксимации не обнаруживается измерениями, приблизительно инерциальная система отсчета (или просто «эффективная система отсчета») достаточно близка к абсолютно инерциальной системе отсчета. При наличии эффективной системы координат и предположении, что в такой системе действуют физические законы, описания систем будут такими же хорошими, как если бы использовалась абсолютно инерционная система координат. В качестве отступления, эффективная система координат, которую используют астрономы, — это система под названием « Международная небесная система отсчета » (ICRF), определяемая 212 радиоисточниками и с точностью около $10^{-5}$ радианы. Однако вполне вероятно, что когда потребуется более точное приближение, потребуется более лучший вариант.

Вновь рассматривая задачу в самом начале, в ней, конечно, можно найти изъян неоднозначности, но обычно понимают, что в задаче неявно используется стандартная система отсчета. Фактически, когда система отсчета является классической, включать ее в физическое описание системы или нет не имеет значения. Тот же прогноз можно получить, обрабатывая систему отсчета внутри или снаружи.

Чтобы проиллюстрировать это далее, используется простая система с мячом, отскакивающим от стены. В этой системе стенку можно рассматривать либо как внешний потенциал , либо как динамическую систему, взаимодействующую с шаром. Первый предполагает включение внешнего потенциала в уравнения движения шара, а второй рассматривает положение стенки как динамическую степень свободы . Оба метода лечения дают один и тот же прогноз, и ни один из них не является особенно предпочтительным по сравнению с другим. Однако, как будет показано ниже, такая свобода выбора перестает существовать, когда система является квантовомеханической.

Квантовая система отсчета

Система отсчета может рассматриваться в формализме квантовой теории, и в данном случае она называется квантовой системой отсчета. Несмотря на другое название и трактовку, квантовая система отсчета по-прежнему имеет много общих понятий с системой отсчета в классической механике . Он связан с некоторой физической системой и является реляционным .

Например, если говорят, что частица со спином 1/2 находится в состоянии $\left|\uparrow z\right\rangle$, подразумевается система отсчета, и ее можно понимать как некоторую систему отсчета относительно устройства в лаборатории. Очевидно, что описание частицы не помещает ее в абсолютное пространство, и это не имело бы никакого смысла, поскольку, как уже говорилось выше, абсолютное пространство эмпирически ненаблюдаемо. С другой стороны, если сказать, что магнитное поле вдоль оси y задано, тогда можно описать поведение частицы в таком поле. В этом смысле y и z — просто относительные направления. Они не имеют и не должны иметь абсолютного значения.

Можно заметить, что направление Z , используемое в лаборатории в Берлине, обычно полностью отличается от направления Z , используемого в лаборатории в Мельбурне. Две лаборатории, пытающиеся создать единую общую систему отсчета, столкнутся с важными проблемами, связанными с согласованием. Изучение такого рода коммуникации и координации является основной темой квантовой теории информации .

Как и в этом примере частицы со спином 1/2 , квантовые системы отсчета почти всегда неявно рассматриваются при определении квантовых состояний, а процесс включения системы отсчета в квантовое состояние называется квантованием/интернализацией системы отсчета, в то время как процесс исключения системы отсчета из квантового состояния называется деквантованием. /экстернализация системы отсчета. В отличие от классического случая, когда внутренняя или внешняя обработка ссылки является чисто эстетическим выбором, интернализация и экстернализация системы отсчета действительно имеют значение в квантовой теории.

Можно сделать еще одно последнее замечание по поводу существования квантовой системы отсчета. В конце концов, система отсчета по определению имеет четко определенные положение и импульс, а квантовая теория, а именно принцип неопределенности , утверждает, что невозможно описать какую-либо квантовую систему с четко определенными положением и импульсом одновременно, поэтому кажется, что существует некоторая противоречие между ними. Оказывается, в качестве системы отсчета используется эффективная система отсчёта, в данном случае классическая, точно так же, как в ньютоновской механике используется почти инерциальная система, и предполагается, что в этой эффективной системе действуют физические законы. Другими словами, не имеет значения, является ли движение в выбранной системе отсчета инерциальным или нет.

Следующее рассмотрение атома водорода, предложенное Ахарановым и Кауфгерром, может пролить свет на этот вопрос. Предположим, что атом водорода находится в четко определенном состоянии движения, как можно описать положение электрона? Ответ не в том, чтобы описать положение электрона относительно тех же координат, в которых движется атом, поскольку это нарушит принцип неопределенности, а в том, чтобы описать его положение относительно ядра. В результате из этого можно сказать больше об общем случае: вообще допустимо даже в квантовой теории иметь систему с четко определенным положением в одной системе отсчета и четко определенным движением в какой-то другой системе отсчета. .

Дальнейшие соображения о квантовой системе отсчета

Пример трактовки систем отсчета в квантовой теории

Рассмотрим атом водорода. Кулоновский потенциал зависит только от расстояния между протоном и электроном:

$V(r)={\frac {-Ze^{2}}{r}}$

При такой симметрии задача сводится к задаче о частице в центральном потенциале:

$-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {r}})+{\frac {-Ze^{2}}{r}}\psi ({\vec {r}})=E\psi ({\vec {r}})$

Используя разделение переменных , решения уравнения можно записать в радиальную и угловую части:

$\Phi (r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$

где $l,$ $m$, и $n$ – орбитальный угловой момент, магнитное и энергетическое квантовые числа соответственно.

Теперь рассмотрим уравнение Шрёдингера для протона и электрона:

${\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2},t)=-iH\Psi (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2},t)$

Замена переменных на реляционные координаты и координаты центра масс дает

${\frac {\partial \Psi (x,y,z,X,Y,Z)}{\partial t}}=-i[-{\frac {1}{2M}}\nabla _{c.o.m.}^{2}-{\frac {1}{2\mu }}\nabla _{rel}^{2}+V(x,y,z)]\Psi$

где $M$ это общая масса и $\mu$ это приведенная масса. Окончательный переход к сферическим координатам с последующим разделением переменных даст уравнение для $\Phi (r,\theta ,\phi )$ сверху.

Однако, если замену переменных, сделанную ранее, теперь необходимо отменить, центр масс необходимо вернуть обратно в уравнение для $\Phi (r,\theta ,\phi )$:

$r={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}$

$\theta =\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}{z_{1}-z_{2}}}\right)$

$\phi =\tan ^{-1}\left({\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\right)$

$X={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

$Y={\frac {m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

$Z={\frac {m_{1}z_{1}+m_{2}z_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

Важность этого результата заключается в том, что он показывает, что волновая функция сложной системы запутана , вопреки тому, что обычно думают с классической точки зрения. Что еще более важно, это показывает, что энергия атома водорода связана не только с электроном, но и с протоном, и полное состояние не поддается разложению на состояние для электрона и состояние для протона отдельно.

Правила суперотбора

Короче говоря, правила суперотбора — это постулированные правила, запрещающие создание квантовых состояний, которые демонстрируют согласованность между собственными состояниями определенных наблюдаемых. Первоначально оно было введено для того, чтобы наложить на квантовую теорию дополнительные ограничения, помимо ограничений правил отбора . Например, правила суперотбора для электрических зарядов не позволяют подготовить когерентную суперпозицию различных собственных состояний заряда.

Как оказывается, отсутствие системы отсчета математически эквивалентно правилам суперотбора. Это мощное заявление, поскольку долгое время считалось, что правила суперотбора имеют аксиоматическую природу, а теперь их фундаментальное положение и даже необходимость подвергаются сомнению. Тем не менее было показано, что в принципе всегда возможно (хотя и не всегда легко) отменить все правила суперотбора в квантовой системе.

Деградация квантовой системы отсчета

Во время измерения всякий раз, когда запрашивается взаимосвязь между системой и используемой системой отсчета, в них обоих неизбежно возникает нарушение, которое известно как обратное действие измерения . Поскольку этот процесс повторяется, точность результатов измерений снижается, и такое снижение удобства использования системы отсчета называется деградацией квантовой системы отсчета. Способом оценки ухудшения качества эталонной системы является количественная оценка долговечности, а именно количества измерений, которые можно выполнить относительно эталонной системы до тех пор, пока не будет превышена определенная допустимая погрешность.

Например, для спин- $j$ система, максимальное количество измерений, которое может быть выполнено до допуска погрешности, $\epsilon$, превышается по формуле $n_{max}\simeq \epsilon j^{2}$. Таким образом, в данном конкретном случае долговечность и размер системы отсчета имеют квадратичную зависимость.

В этом спин- $j$ системе деградация происходит из-за потери чистоты состояния системы отсчета. С другой стороны, ухудшение также может быть вызвано несовпадением опорного фона. Было показано, что в таком случае долговечность имеет линейную зависимость от размера системы отсчета.

См. также

• Система отсчета
• Теория информации
• Квантовая информация