Теорема Биркгофа (электромагнетизм)

В физике, в контексте электромагнетизма , теорема Биркгофа касается сферически-симметричных статических решений Максвелла полевых уравнений электромагнетизма .

Теорема принадлежит Джорджу Д. Биркгофу . без источников Он утверждает, что любое сферически симметричное решение уравнений Максвелла обязательно является статическим. Паппас (1984) дает два доказательства этой теоремы: используя уравнения Максвелла и производные Ли . Это предельный случай теоремы Биркгофа (относительности), когда используется плоская метрика без обратной реакции .

Вывод из уравнений Максвелла

без источника Уравнения Максвелла утверждают, что

${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu \varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}$

Поскольку поля сферически симметричны, они зависят только от радиального расстояния в сферических координатах . Поле чисто радиальное, поскольку нерадиальные компоненты не могут быть инвариантными при вращении, что необходимо для симметрии. Поэтому мы можем переписать поля как

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=E(r,t)\mathbf {\hat {r}} ,\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=B(r,t)\mathbf {\hat {r}} .\end{aligned}}$

Мы находим, что завитки должны быть равны нулю, поскольку

${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times E(r,t)\mathbf {\hat {r}} =0,\\\nabla \times \mathbf {B} &=\nabla \times B(r,t)\mathbf {\hat {r}} =0.\end{aligned}}$

без источника Более того, мы можем подставить в уравнения Максвелла и найти, что

${\begin{aligned}\mu \varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}&=0,\\-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}&=0.\end{aligned}}$

Просто разделив на постоянные коэффициенты, мы находим, что и магнитное, и электрическое поле статичны.

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}&=0,\\{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}&=0.\end{aligned}}$

Вывод с использованием производных Ли

Определение 1-формы $E$ и 2-форма $B$ в $\mathbb {R} ^{3}$ как:

${\begin{aligned}E&=E_{i}dr_{i}\\B&=\epsilon _{ijk}B_{i}dr_{j}\wedge dr_{k}\end{aligned}}$

Используя звездный оператор Ходжа , мы можем переписать уравнения Максвелла в этих формах как

${\begin{aligned}dB&=0\\d{\star E}&=0\\\star d{\star E}&={\dot {E}}\\dE&=-{\dot {B}}\end{aligned}}$.

Условие сферической симметрии требует, чтобы производные Ли $E$ и $B$ относительно векторного поля $V$ это означает, что их вращения равны нулю

${\begin{aligned}V_{i}&=\epsilon _{ijk}r_{j}{\frac {\partial }{\partial {r_{k}}}}\\{\mathcal {L}}_{V}(E)&=0\\{\mathcal {L}}_{V}(B)&=0.\end{aligned}}$

По определению производной Ли как производной по направлению вдоль $V$

${\begin{aligned}V_{j}(r_{i})&=\epsilon _{jki}r_{k}\\0&={\mathcal {L}}_{V}E_{i}dr_{i}+E_{i}{\mathcal {L}}_{V}dr_{i}\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+E_{i}V_{j}(dr_{i})\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+E_{i}d(V_{j}(r_{i}))\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+E_{i}\epsilon _{jki}dr_{k}\\&=V_{j}(E_{i})dr_{i}+\epsilon _{jki}E_{k}dr_{i}\\V_{j}(E_{i})&=-\epsilon _{jki}E_{k}\\\end{aligned}}$.

Поэтому, $E$ эквивалентно $r$ при вращении, и мы можем написать для некоторой функции $g$

$E=g(r^{2},t)r_{i}dr_{i}$.

Потому что произведение компонентов вектора равно его длине.

$r_{i}r_{i}=r^{2}$.

И подставим обратно в наше уравнение и перепишем функцию $f$

$E=df(r^{2},t)$.

Взяв внешнюю производную от $E$, мы находим по определению, что,

$dE=0$.

И используя наше уравнение Максвелла , которое $dE=-{\dot {B}}$,

${\dot {B}}=0$.

Таким образом, мы находим, что магнитное поле статично. Аналогично, используя второе уравнение вращательной инвариантности, мы можем обнаружить, что электрическое поле статично. Следовательно, решение должно быть статическим.

Ссылки

Смотрите также: теорема Биркгофа (относительность) и Джордж Дэвид Биркгоф.