Тройная система
В алгебре ( тройная система или тернар ) — это векторное пространство V над полем F вместе с F -трилинейным отображением.
Важнейшими примерами являются системы троек Ли и системы троек Жордана . Они были введены Натаном Джейкобсоном в 1949 году для изучения подпространств ассоциативных алгебр, замкнутых относительно тройных коммутаторов [[ u , v ], w ] и тройных антикоммутаторов { u , { v , w }}. В частности, любая алгебра Ли определяет систему троек Ли, а любая йордановая алгебра определяет систему йордановых троек. Они важны в теориях симметрических пространств , особенно эрмитовых симметричных пространств и их обобщений ( симметричных R-пространств и их некомпактных двойственных пространств).
Тройные системы лжи
[ редактировать ]Тройная система называется системой троек Ли , если трилинейное отображение, обозначаемое , удовлетворяет следующим тождествам:
Первые два тождества абстрагируют косую симметрию и тождество Якоби для тройного коммутатора, а третье тождество означает, что линейное отображение L u , v : V → V , определенное формулой L u , v ( w ) = [ u , v , w ], является производным тройного произведения. Тождество также показывает, что пространство k = span {L u , v : u , v ∈ V } замкнуто относительно скобки-переключателя и, следовательно, является алгеброй Ли.
Записывая m вместо V , следует, что
можно превратить в алгебра Ли, стандартное вложение m -градуированная со скобкой
Разложение g , очевидно, является симметричным разложением для этой скобки Ли, и, следовательно, если G — связная группа Ли с алгеброй Ли g , а K — подгруппа с алгеброй Ли k , то G / K — симметрическое пространство .
И наоборот, для данной алгебры Ли g с таким симметричным разложением (т. е. это алгебра Ли симметричного пространства) тройная скобка [[ u , v ], w ] превращает m в систему троек Ли.
Тройные системы Иордании
[ редактировать ]Тройная система называется жордановой тройной системой, если трилинейное отображение, обозначаемое {.,.,.}, удовлетворяет следующим тождествам:
Первое тождество абстрагирует симметрию тройного антикоммутатора, а второе тождество означает, что если L u , v : V → V определяется формулой L u , v ( y ) = { u , v , y }, то
так что пространство линейных отображений span {L u , v : u , v ∈ V } замкнуто относительно коммутаторной скобки и, следовательно, является алгеброй Ли g 0 .
Любая система троек Жордана является системой троек Ли относительно произведения
Система троек Жордана называется положительно определенной (соответственно невырожденной ), если билинейная форма на V, определяемая следом L u , v , положительно определена (соответственно невырождена). В любом случае имеет место отождествление V с его двойственным пространством и соответствующая инволюция на g 0 . Они вызывают инволюцию
что в положительно определенном случае является инволюцией Картана. Соответствующее симметрическое пространство является симметричным R-пространством . Он имеет некомпактный двойственный вариант, заданный заменой инволюции Картана на его композицию с инволюцией, равной +1 на g 0 и −1 на V и V. * . Особый случай этой конструкции возникает, когда сохраняет g0 структуру на V. комплексную В этом случае мы получаем двойственные эрмитовые симметрические пространства компактного и некомпактного типа (последние являются ограниченными симметрическими областями ).
Джорданская пара
[ редактировать ]Жорданова пара — это обобщение жордановой системы троек, включающей два векторных пространства V + и V − . Затем трилинейная карта заменяется парой трилинейных карт.
которые часто рассматриваются как квадратичные отображения V + → Hom( V − , V + ) и V − → Hom( V + , V − ). Другая аксиома Жордана (кроме симметрии) аналогичным образом заменяется двумя аксиомами, одна из которых
а другой - аналог с поменянными индексами + и -.
Как и в случае жордановых систем троек, для u в V − и v в V + можно определить линейное отображение
и аналогично Л − . Тогда аксиомы Джордана (кроме симметрии) можно записать
из чего следует, что образы L + и Л − замкнуты в коммутаторных скобках в End( V + ) и End( V − ). Вместе они определяют линейную карту
чей образ является подалгеброй Ли , а тождества Жордана становятся тождествами Якоби для градуированной скобки Ли на
так что, наоборот, если
является градуированной алгеброй Ли, то пара является жордановой парой со скобками
Жордановые тройные системы представляют собой жордановые пары с V + = V − и равными трилинейными отображениями. Другой важный случай имеет место, когда V + и V − двойственны друг другу, при этом двойственные трилинейные отображения определяются элементом
Они возникают, в частности, тогда, когда выше, является полупростым, когда форма Киллинга обеспечивает двойственность между и .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Бертрам, Вольфганг (2000), Геометрия жордановых и лиевых структур , Конспект лекций по математике, том. 1754, Спрингер, ISBN 978-3-540-41426-1
- Хельгасон, Сигурдур (2001) [1978], Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Аспирантура по математике, том. 34, Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-2848-9
- Джейкобсон, Натан (1949), «Тройные системы Ли и Джордана», American Journal of Mathematics , 71 (1): 149–170, doi : 10.2307/2372102 , JSTOR 2372102
- Камия, Нориаки (2001) [1994], «Система тройки Ли» , Энциклопедия математики , EMS Press .
- Камия, Нориаки (2001) [1994], «Тройная система Иордана» , Энциклопедия математики , EMS Press .
- Кечер, М. (1969), Элементарный подход к ограниченным симметричным областям , Конспект лекций, Университет Райса.
- Лоос, Оттмар (1969), Общая теория , Симметрические пространства, том. 1, Вашингтон, Бенджамин, OCLC 681278693
- Лоос, Оттмар (1969), Компактные пространства и классификация , Симметричные пространства, том. 2, Вашингтон, Бенджамин
- Лоос, Оттмар (1971), «Тройные системы Джордана, R- пространства и ограниченные симметричные области», Бюллетень Американского математического общества , 77 (4): 558–561, doi : 10.1090/s0002-9904-1971-12753- 2
- Лоос, Оттмар (2006) [1975], Иорданские пары , Конспекты лекций по математике, том. 460, Спрингер, ISBN 978-3-540-37499-2
- Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметричные области и жордановые пары (PDF) , Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, заархивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г.
- Мейберг, К. (1972), Лекции по алгебрам и системам троек (PDF) , Университет Вирджинии
- Розенфельд, Борис (1997), Геометрия групп Ли , Математика и ее приложения, том. 393, Клювер, с. 92, ISBN 978-0792343905 , Збл 0867.53002
- Тевелев, Э. (2002), «Обратные Мура-Пенроуза, параболические подгруппы и йордановые пары» , Journal of Lie Theory , 12 : 461–481, arXiv : math/0101107 , Bibcode : 2001math...... 1107T