Потенциал двойной ямы

Так называемый двухямный потенциал — один из ряда потенциалов четвертой ямы , представляющих значительный интерес в квантовой механике , квантовой теории поля и других областях для исследования различных физических явлений или математических свойств, поскольку во многих случаях он позволяет проводить явные вычисления без чрезмерных усилий. упрощение.

Таким образом, «симметричный двухямный потенциал» в течение многих лет служил моделью, иллюстрирующей концепцию инстантонов как псевдоклассической конфигурации в евклидовой теории поля . В более простом квантовомеханическом контексте этот потенциал служил моделью для оценки фейнмановских интегралов по траекториям . или решение уравнения Шредингера различными методами с целью получения в явном виде собственных значений энергии.

С другой стороны, «инвертированный симметричный двухъямный потенциал» служил нетривиальным потенциалом в уравнении Шредингера для расчета скоростей затухания. и исследование в большом порядке поведения асимптотических разложений .

Третья форма потенциала квартики - это форма «возмущенного простого гармонического осциллятора» или «чистого ангармонического осциллятора», имеющего чисто дискретный энергетический спектр.

Четвертый тип возможного квартического потенциала — это «асимметричная форма» одного из первых двух, названных выше.

Двойные ямы и другие потенциалы четвертой степени можно рассматривать различными методами, основными из которых являются (а) метод возмущений (метод Б. Дингла и Х.Ю. Мюллера-Кирстена). ), который требует наложения граничных условий, (б) метод ВКБ и (в) метод интеграла по путям.Все случаи подробно рассмотрены в книге HJW Мюллер-Кирстен. Поведение асимптотических разложений функций Матье и их собственных значений (также называемых характеристическими числами) в большом порядке было получено в дальнейшей статье Р.Б. Дингла и Х.Ю.Мюллера.

Симметричная двойная скважина

Основной интерес в литературе (по причинам, связанным с теорией поля) сосредоточен на симметричной двойной яме (потенциале), а затем на основном квантовомеханическом состоянии. Поскольку речь идет о туннелировании через центральный горб потенциала, расчет собственных энергий уравнения Шредингера для этого потенциала нетривиален. Случай основного состояния опосредован псевдоклассическими конфигурациями, известными как инстантон и антиинстантон. В явном виде это гиперболические функции. Как псевдоклассические конфигурации они естественным образом появляются в квазиклассических рассмотрениях - суммирование (широко разделенных) пар инстантон-антиинстантон известно как приближение разбавленного газа. Наконец полученная собственная энергия основного состояния представляет собой выражение, содержащее экспоненту евклидова действия инстантона. Это выражение, содержащее множитель $1/\hbar$ и поэтому описывается как (классически) непертурбативный эффект.

С помощью уравнения малых колебаний вокруг инстантона исследована устойчивость инстантонной конфигурации в теории интегралов по траекториям скалярной теории поля с симметричным двухямным самодействием. Обнаружено, что это уравнение представляет собой уравнение Пёшля-Теллера (т.е. дифференциальное уравнение второго порядка, подобное уравнению Шрёдингера с потенциалом Пёшля-Теллера ) с неотрицательными собственными значениями. Неотрицательность собственных значений свидетельствует об устойчивости инстантона.

Как указано выше, инстантон — это конфигурация псевдочастиц, определенная на бесконечной линии евклидова времени, которая сообщается между двумя ямами потенциала и отвечает за основное состояние системы. Конфигурации, отвечающие соответственно за высшие, т. е. возбужденные, состояния, представляют собой периодические инстантоны, определенные на круге евклидова времени, которые в явном виде выражаются через эллиптические функции Якоби (обобщение тригонометрических функций). Для вычисления интеграла по путям в этих случаях используются соответственно эллиптические интегралы. Уравнение малых флуктуаций относительно этих периодических инстантонов представляет собой уравнение Ламе, решениями которого являются функции Ламе . В случаях неустойчивости (как в случае обращенного двухямного потенциала) это уравнение имеет отрицательные собственные значения, свидетельствующие об этой неустойчивости, т. е. затухании.

Применение метода возмущений Дингла и Мюллера (первоначально примененного к уравнению Матье, т.е. к уравнению Шредингера с косинусным потенциалом) требует использования симметрии параметров уравнения Шредингера для потенциала четвертой степени. Один расширяется вокруг одного из двух минимумов потенциала. Кроме того, этот метод требует сопоставления различных ветвей решений в областях перекрытия. Применение граничных условий в конечном итоге приводит (как и в случае периодического потенциала) к непертурбативному эффекту.

По параметрам как в уравнении Шрёдингера для симметричного двухямного потенциала в следующем виде

${\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;c^{2}>0,h^{4}>0,$

собственные значения для $q_{0}=1,3,5,...$ оказываются (см. книгу Мюллер-Кирстен, формула (18.175b), стр. 425)

$E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})$

$\;\;\;\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.$

Очевидно, что эти собственные значения асимптотически ( $h^{2}\rightarrow \infty$) вырождаются, как и ожидалось, от гармонической части потенциала. Обратите внимание, что члены пертурбативной части результата попеременно четные или нечетные в $q_{0}$ и $h^{2}$ (как и в соответствующих результатах для функций Матье , функций Ламе , вытянутых сфероидальных волновых функций , сплюснутых сфероидальных волновых функций и других).

В контексте теории поля часто записывают вышеупомянутый симметричный двухямный потенциал ( $\phi$ скалярное поле)

$V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2},$

и инстантон является решением $\phi _{c}(\tau )$ уравнения типа Ньютона

${\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),\;\;\;{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\phi }{d\tau }}\right)^{2}-V(\phi )=-E_{cl}=0$

( $\tau$ являющееся евклидовым временем), т.е.

$\phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right].$

Уравнение малых флуктуаций $\eta$ о $\phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,$— уравнение Пёшля-Теллера (см. потенциал Пёшля-Теллера )

$\left[-{\frac {d^{2}}{d\tau ^{2}}}+V''(\phi _{c})\right]\eta _{n}(\tau )=\omega _{n}^{2}\eta _{n}(\tau ),$

с

$V''(\phi _{c})=4m^{2}-{\frac {6m^{2}}{\cosh ^{2}m(\tau -\tau _{0})}}.$

Поскольку все собственные значения $\omega _{n}^{2}$ положительны или равны нулю, инстантонная конфигурация устойчива и распад отсутствует.

В более общем случае $E_{cl}\neq 0$ классическое решение - периодический инстантон

$\phi _{c}(\tau )={\frac {kb(k)}{g}}sn[b(k)(\tau -\tau _{0})],\;\;\;b(k)=m\left({\frac {2}{1+k^{2}}}\right)^{1/2},$

где $k$ - эллиптический модуль периодической эллиптической функции Якобиана $sn$. Уравнение малых флуктуаций в этом общем случае является уравнением Ламе . В пределе $k=1,E_{cl}=0$ решение $\phi _{c}$ становится вакуумным инстантонным решением,

$\phi _{c}={\frac {m}{g}}\tanh[m(\tau -\tau _{0})].$

Инвертированный двухъямный потенциал

Теория возмущений наряду с согласованием решений в областях перекрытия и наложением граничных условий (отличных от условий для двойной ямы) вновь может быть использована для получения собственных значений уравнения Шредингера для этого потенциала. Однако в этом случае происходит расширение вокруг центральной впадины потенциала. Поэтому результаты отличаются от приведенных выше.

По параметрам как в уравнении Шредингера для обращенного двухямного потенциала в следующем виде

${\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,$

собственные значения для $q_{0}=1,3,5,...$ оказываются (см. книгу Мюллер-Кирстен, формула (18.86), стр. 503)

$E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})+i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.$

Мнимая часть этого выражения согласуется с результатом К.М. Бендера и Т.Т. Ву (см. их формулу (3.36) и положим $\hbar =1$, и в их обозначениях $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$). Этот результат играет важную роль в обсуждении и исследовании поведения теории возмущений в большом порядке.

Чистый ангармонический осциллятор

По параметрам как в уравнении Шредингера для чистого ангармонического осциллятора в следующем виде

${\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,$

собственные значения для $q=q_{0}=1,3,5,...$ оказываются

$E={\frac {1}{2}}qh^{2}+{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q^{2}+1)-{\frac {c^{4}}{h^{10}}}q(4q^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}}).$

Дополнительные условия можно легко вычислить. Обратите внимание, что коэффициенты разложения попеременно четные или нечетные в $q$ и $h^{2}$, как и во всех остальных случаях. Это важный аспект решения дифференциального уравнения для потенциалов четвертой степени.

Общие комментарии

Приведенные выше результаты для двойной ямы и обращенной двойной ямы могут быть получены также методом интеграла по траекториям (здесь через периодические инстантоны, ср. инстантоны ) и методом ВКБ, но с использованием эллиптических интегралов и приближения Стирлинга. гамма -функции , все из которых усложняют расчет. Свойство симметрии пертурбативной части при изменениях q → - q , $h^{2}$ → - $h^{2}$ Результаты могут быть получены только путем вывода из уравнения Шредингера, что, следовательно, является лучшим и правильным способом получения результата. Этот вывод подтверждается исследованиями других дифференциальных уравнений второго порядка, таких как уравнение Матье и уравнение Ламе, которые проявляют аналогичные свойства в своих уравнениях на собственные значения. Более того, в каждом из этих случаев (двухъямная, обращенная двухъямная, косинус-потенциал) уравнение малых флуктуаций относительно классической конфигурации является уравнением Ламе.