Приближение Стирлинга

В математике ( приближение Стирлинга или формула Стирлинга ) является асимптотическим приближением факториалов . Это хорошее приближение, приводящее к точным результатам даже при небольших значениях $n$ . Он назван в честь Джеймса Стирлинга , хотя родственный, но менее точный результат был впервые сформулирован Абрахамом де Муавром . ^[1]^[2]^[3]

Один из способов формулировки аппроксимации включает логарифм факториала: $\ln(n!)=n\ln n-n+O(\ln n),$ где большое обозначение O означает, что для всех достаточно больших значений $n$ , разница между $\ln(n!)$ и $n\ln n-n$ будет не более чем пропорциональна логарифму. В приложениях информатики, таких как нижняя граница наихудшего случая для сортировки сравнением , удобно вместо этого использовать двоичный логарифм , придавая эквивалентную форму $\log _{2}(n!)=n\log _{2}n-n\log _{2}e+O(\log _{2}n).$ Член ошибки в любой базе может быть выражен более точно как ${\tfrac {1}{2}}\log(2\pi n)+O({\tfrac {1}{n}})$ , что соответствует приближенной формуле для самого факториала, $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$ Здесь знак $\sim$ означает, что эти две величины асимптотичны , то есть их отношение стремится к 1 как $n$ стремится к бесконечности. Следующая версия оценки справедлива для всех $n\geq 1$ , а не только асимптотически : ${\sqrt {2\pi n}}\ \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\left({\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}\right)}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\ \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}.$

Вывод

Грубо говоря, простейший вариант формулы Стирлинга можно быстро получить, аппроксимируя сумму $\ln(n!)=\sum _{j=1}^{n}\ln j$ с интегралом : $\sum _{j=1}^{n}\ln j\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1.$

Полную формулу вместе с точными оценками ее погрешности можно вывести следующим образом. Вместо аппроксимации $n!$ , рассматривают ее натуральный логарифм , так как это медленно меняющаяся функция : $\ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.$

Правая часть этого уравнения минус ${\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n)={\tfrac {1}{2}}\ln n$ – аппроксимация по правилу трапеций интеграла $\ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1,$

а погрешность этого приближения определяется формулой Эйлера–Маклорена : ${\begin{aligned}\ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n&={\tfrac {1}{2}}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln n\\&=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n},\end{aligned}}$

где $B_{k}$ — число Бернулли , а $R m, n$ — остаточный член в формуле Эйлера–Маклорена. Возьмите пределы, чтобы найти это $\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n!)-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m,n}.$

Обозначим этот предел как $y$ . Поскольку остаток $R m, n$ в формуле Эйлера–Маклорена удовлетворяет условию $R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),$

где обозначение big-O используется , объединение приведенных выше уравнений дает формулу аппроксимации в логарифмической форме: $\ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).$

Взяв экспоненту от обеих частей и выбрав любое положительное целое число $m$ , получаем формулу с неизвестной величиной $e^{y}$ . Для $m = 1$ формула имеет вид $n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).$

Количество $e^{y}$ можно найти, взяв предел с обеих сторон как $n$ стремится к бесконечности и используя произведение Уоллиса , которое показывает, что $e^{y}={\sqrt {2\pi }}$ . Следовательно, получаем формулу Стирлинга: $n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).$

Альтернативные выводы

Альтернативная формула для $n!$ использование гамма- функции $n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\,{\rm {d}}x.$ (что видно при многократном интегрировании по частям). Переписывая и меняя переменные $x = ny$ , получаем $n!=\int _{0}^{\infty }e^{n\ln x-x}\,{\rm {d}}x=e^{n\ln n}n\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y.$ Применяя метод Лапласа, имеем $\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n},$ который восстанавливает формулу Стирлинга: $n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Высшие заказы

Фактически, дальнейшие поправки можно получить и с помощью метода Лапласа. Из предыдущего результата мы знаем, что $\Gamma (x)\sim x^{x}e^{-x}$ , поэтому мы «отслаиваем» этот доминирующий член, затем выполняем две замены переменных, чтобы получить: $x^{-x}e^{x}\Gamma (x)=\int _{\mathbb {R} }e^{x(1+t-e^{t})}dt$ Чтобы убедиться в этом: $\int _{\mathbb {R} }e^{x(1+t-e^{t})}dt{\overset {t\mapsto \ln t}{=}}e^{x}\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-xt}dt{\overset {t\mapsto t/x}{=}}x^{-x}e^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{x-1}dt=x^{-x}e^{x}\Gamma (x)$ .

Теперь функция $t\mapsto 1+t-e^{t}$ является унимодальным, с максимальным значением, равным нулю. Локально около нуля это выглядит так $-t^{2}/2$ , поэтому мы можем применить метод Лапласа. Чтобы распространить метод Лапласа на более высокие порядки, мы выполним еще одну замену переменных: $1+t-e^{t}=-\tau ^{2}/2$ . Это уравнение нельзя решить в замкнутой форме, но его можно решить путем последовательного разложения, что дает нам $t=\tau -\tau ^{2}/6+\tau ^{3}/36+a_{4}\tau ^{4}+O(\tau ^{5})$ . Теперь подключитесь к уравнению и получите $x^{-x}e^{x}\Gamma (x)=\int _{\mathbb {R} }e^{-x\tau ^{2}/2}(1-\tau /3+\tau ^{2}/12+4a_{4}\tau ^{3}+O(\tau ^{4}))d\tau ={\sqrt {2\pi }}(x^{-1/2}+x^{-3/2}/12)+O(x^{-5/2})$ обратите внимание, что нам не нужно на самом деле найти $a_{4}$ , поскольку оно сокращается интегралом. Более высокие порядки могут быть достигнуты путем вычисления большего количества членов в $t=\tau +\cdots$ , который можно получить программным путем. ^{[примечание 1]}

Таким образом, мы получаем формулу Стирлинга для двух порядков: $n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\right).$

Комплексно-аналитическая версия

Версия этого метода для комплексного анализа. ^[4] это рассмотреть ${\frac {1}{n!}}$ как коэффициент Тейлора показательной функции $e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$ , вычисляемый по интегральной формуле Коши как ${\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|z|=r}{\frac {e^{z}}{z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z.$

Этот линейный интеграл затем можно аппроксимировать с помощью метода перевала с соответствующим выбором радиуса контура. $r=r_{n}$ . Преобладающая часть интеграла вблизи седловой точки затем аппроксимируется действительным интегралом и методом Лапласа, тогда как оставшаяся часть интеграла может быть ограничена сверху, чтобы дать погрешность.

Скорость сходимости и оценки ошибок

Формула Стирлинга фактически является первым приближением следующего ряда (теперь называемого рядом Стирлинга ): ^[5] $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right).$

Явную формулу для коэффициентов этого ряда дал Г. Немес. ^[6] Дальнейшие термины перечислены в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей как A001163 и A001164 . На первом графике в этом разделе показана относительная ошибка по сравнению с $n$ , для 1–5 условий, перечисленных выше. (Бендер и Орзаг ^[7] п. 218) дает асимптотическую формулу для коэффициентов: $A_{2j+1}\sim (-1)^{j}2(2j)!/(2\pi )^{2(j+1)}$ который показывает, что он растет суперэкспоненциально и что согласно тесту отношения радиус сходимости равен нулю.

При $n \to \infty$ ошибка усеченного ряда асимптотически равна первому пропущенному члену. Это пример асимптотического разложения . Это не сходящийся ряд ; за любую конкретную стоимость $n$ существует лишь определенное количество членов ряда, которые повышают точность, после чего точность ухудшается. Это показано на следующем графике, который показывает относительную ошибку в зависимости от количества терминов в ряду для большего количества терминов. Точнее, пусть $S (n, t)$ будет рядом Стирлинга для $t$ сроки оцениваются в $n$ . Графики показывают $\left|\ln \left({\frac {S(n,t)}{n!}}\right)\right|,$ что, когда оно мало, по существу является относительной ошибкой.

Запись ряда Стирлинга в виде $\ln(n!)\sim n\ln n-n+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots ,$ известно, что ошибка усечения ряда всегда имеет противоположный знак и не более того же значения, что и первый пропущенный член.

Другие границы, предложенные Роббинсом, ^[8] действительно для всех положительных целых чисел $n$ являются ${\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n+1}}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}.$ Эта верхняя граница соответствует остановке приведенного выше ряда для $\ln(n!)$ после ${\frac {1}{n}}$ срок. Нижняя оценка слабее, чем оценка, полученная при остановке ряда после ${\frac {1}{n^{3}}}$ срок. Более свободная версия этой границы состоит в том, что ${\frac {n!e^{n}}{n^{n+{\frac {1}{2}}}}}\in ({\sqrt {2\pi }},e]$ для всех $n\geq 1$ .

Формула Стирлинга для гамма-функции

Для всех положительных целых чисел $n!=\Gamma (n+1),$ где $Γ$ обозначает гамма-функцию .

Однако гамма-функция, в отличие от факториала, определяется в более широком смысле для всех комплексных чисел, кроме неположительных целых чисел; тем не менее, формулу Стирлинга все еще можно применять. Если $Re(z) > 0$ , то $\ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{z}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t.$

Повторное интегрирование по частям дает $\ln \Gamma (z)\sim z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}},$

где $B_{n}$ это $n$ -е число Бернулли (обратите внимание, что предел суммы как $N\to \infty$ не сходится, поэтому эта формула представляет собой всего лишь асимптотическое разложение ). Формула действительна для $z$ достаточно велик по абсолютной величине, когда $| арг(z) | < π - ε$ , где $ε$ положительно, с ошибкой $O (z -2N + 1)$ . Соответствующее приближение теперь можно записать: $\Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\,{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right).$

где разложение идентично разложению ряда Стирлинга выше для $n!$ , за исключением того, что $n$ заменяется на $z - 1$ . ^[9]

Дальнейшее применение этого асимптотического разложения касается комплексного аргумента $z$ с константой $Re(z)$ . См., например, формулу Стирлинга, примененную в $Im(z) = t$ тета-функции Римана – Зигеля на прямой. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1/4 ⁠ + оно$ .

Границы ошибок

Для любого положительного целого числа $N$ , вводятся следующие обозначения: $\ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum \limits _{n=1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n\left({2n-1}\right)z^{2n-1}}}+R_{N}(z)$ и $\Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left({\sum \limits _{n=0}^{N-1}{\frac {a_{n}}{z^{n}}}+{\widetilde {R}}_{N}(z)}\right).$

Затем ^[10]^[11] ${\begin{aligned}|R_{N}(z)|&\leq {\frac {|B_{2N}|}{2N(2N-1)|z|^{2N-1}}}\times {\begin{cases}1&{\text{ if }}\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4}},\\\left|\csc(\arg z)\right|&{\text{ if }}{\frac {\pi }{4}}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\\sec ^{2N}\left({\tfrac {\arg z}{2}}\right)&{\text{ if }}\left|\arg z\right|<\pi ,\end{cases}}\\[6pt]\left|{\widetilde {R}}_{N}(z)\right|&\leq \left({\frac {\left|a_{N}\right|}{|z|^{N}}}+{\frac {\left|a_{N+1}\right|}{|z|^{N+1}}}\right)\times {\begin{cases}1&{\text{ if }}\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4}},\\\left|\csc(2\arg z)\right|&{\text{ if }}{\frac {\pi }{4}}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}}.\end{cases}}\end{aligned}}$

Дополнительную информацию и другие границы ошибок см. в цитируемых статьях.

Сходящаяся версия формулы Стирлинга.

Томас Байес в письме Джону Кантону , опубликованном Королевским обществом в 1763 году, показал, что формула Стирлинга не дает сходящегося ряда . ^[12] Получение сходящейся версии формулы Стирлинга влечет за собой оценку формулы Бине : $\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t=\ln \Gamma (x)-x\ln x+x-{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x}}.$

Один из способов сделать это — с помощью сходящейся серии перевернутых возрастающих факториалов . Если $z^{\bar {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1),$ затем $\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(x+1)^{\bar {n}}}},$ где $c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\bar {n}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {k|s(n,k)|}{(k+1)(k+2)}},$ где $s (n, k)$ обозначает числа Стирлинга первого рода . Отсюда получается версия ряда Стирлинга. ${\begin{aligned}\ln \Gamma (x)&=x\ln x-x+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x}}+{\frac {1}{12(x+1)}}+{\frac {1}{12(x+1)(x+2)}}+\\&\quad +{\frac {59}{360(x+1)(x+2)(x+3)}}+{\frac {29}{60(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}}+\cdots ,\end{aligned}}$ который сходится, когда $Re(x) > 0$ . Формулу Стирлинга также можно представить в сходящейся форме как ^[13] $\Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}x^{x-{\frac {1}{2}}}e^{-x+\mu (x)}$ где $\mu \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\left(x+n+{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)-1\right).$

Версии, подходящие для калькуляторов

Приближение $\Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}$ и его эквивалентная форма $2\ln \Gamma (z)\approx \ln(2\pi )-\ln z+z\left(2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right)$ может быть получено путем перестановки расширенной формулы Стирлинга и наблюдения совпадения между полученным степенным рядом и в ряд Тейлора разложением гиперболической синусоидальной функции. Это приближение хорошо для более чем 8 десятичных цифр для $z$ с вещественной частью больше 8. Роберт Х. Виндшитл предложил его в 2002 году для вычисления гамма-функции с достаточной точностью на калькуляторах с ограниченной программной или регистровой памятью. ^[14]

Герго Немеш предложил в 2007 году аппроксимацию, которая дает такое же количество точных цифр, что и аппроксимация Виндшитля, но намного проще: ^[15] $\Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right)^{z},$ или эквивалентно, $\ln \Gamma (z)\approx {\tfrac {1}{2}}\left(\ln(2\pi )-\ln z\right)+z\left(\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right).$

Альтернативное приближение гамма-функции, сформулированное Шринивасой Рамануджаном в потерянной записной книжке Рамануджана. ^[16] является $\Gamma (1+x)\approx {\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{30}}\right)^{\frac {1}{6}}$ для $х \geq 0$ . Эквивалентное приближение для $ln n!$ имеет асимптотическую ошибку $⁠ 1/1400 . н 3 ⁠$ и определяется выражением $\ln n!\approx n\ln n-n+{\tfrac {1}{6}}\ln(8n^{3}+4n^{2}+n+{\tfrac {1}{30}})+{\tfrac {1}{2}}\ln \pi .$

Аппроксимацию можно уточнить, задав парные верхние и нижние оценки; одним из таких неравенств является ^[17]^[18]^[19]^[20] ${\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{100}}\right)^{1/6}<\Gamma (1+x)<{\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{30}}\right)^{1/6}.$

История

Формула была впервые открыта Абрахамом де Муавром. ^[2] в форме $n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}.$

Де Муавр дал приблизительное выражение натурального логарифма константы в виде рациональных чисел. Вклад Стирлинга заключался в том, что он показал, что константа точно равна ${\sqrt {2\pi }}$ . ^[3]

См. также

Ссылки

^ Дутка, Жак (1991), «Ранняя история факториальной функции», Архив истории точных наук , 43 (3): 225–249, doi : 10.1007/BF00389433 , S2CID 122237769
^ Jump up to: ^а ^б Ле Кам, Л. (1986), «Центральная предельная теорема около 1935 года», Statistical Science , 1 (1): 78–96, doi : 10.1214/ss/1177013818 , JSTOR 2245503 , MR 0833276 ; см. стр. 81: «Результат, полученный с использованием формулы, первоначально доказанной Муавром, но теперь называемой формулой Стирлинга, встречается в его «Доктрине шансов» 1733 года».
^ Jump up to: ^а ^б Пирсон, Карл (1924), «Историческая справка о происхождении нормальной кривой ошибок», Biometrika , 16 (3/4): 402–404 [стр. 403], doi : 10.2307/2331714 , JSTOR 2331714 , я считаю, что тот факт, что Стирлинг показал, что арифметическая константа Де Муавра была ${\sqrt {2\pi }}$ не дает ему права претендовать на эту теорему, [...]
^ Флажоле, Филипп; Седжвик, Роберт (2009), Аналитическая комбинаторика , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, стр. 555, номер домена : 10.1017/CBO9780511801655 , ISBN 978-0-521-89806-5 , МР 2483235 , S2CID 27509971
^ Олвер, ФВЮ; Олде Даалхейс, AB; Лозье, Д.В.; Шнайдер, Б.И.; Буасверт, РФ; Кларк, CW; Миллер, Б.Р. и Сондерс, Б.В., «5.11 Свойства гамма-функции: асимптотические разложения» , Цифровая библиотека математических функций NIST , выпуск 1.0.13 от 16 сентября 2016 г.
^ Немеш, Герго (2010), «О коэффициентах асимптотического разложения $n!$ ", Журнал целочисленных последовательностей , 13 (6):5
^ Бендер, Карл М.; Орзаг, Стивен А. (2009). Передовые математические методы для ученых и инженеров. 1: Асимптотические методы и теория возмущений (Начдр. ред.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98931-0 .
^ Роббинс, Герберт (1955), «Замечание о формуле Стирлинга», The American Mathematical Monthly , 62 (1): 26–29, doi : 10.2307/2308012 , JSTOR 2308012
^ Шпигель, М.Р. (1999), Математический справочник формул и таблиц , McGraw-Hill, с. 148
^ Шефке, ФРВ; Саттлер, А. (1990), «Оценки остаточного члена для ряда Стирлинга», Note di Matematica , 10 (приложение 2): 453–470, MR 1221957
^ Г. Немес, Границы ошибок и экспоненциальные улучшения асимптотических разложений гамма-функции и ее обратной величины, Proc. Рой. Соц. Эдинбургская секта. А 145 (2015), 571–596.
^ Байес, Томас (24 ноября 1763 г.), «Письмо покойного преподобного г-на Томаса Байеса, FRS, Джону Кантону, MA и FRS» (PDF) , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series I , 53 : 269, Бибкод : 1763RSPT...53..269B , заархивировано (PDF) из оригинала 28 января 2012 г. , получено 1 марта 2012 г.
^ Артин, Эмиль (2015). Гамма-функция . Дувр. п. 24.
^ Тот, Программируемые калькуляторы VT : Калькуляторы и гамма-функция (2006). Архивировано 31 декабря 2005 г. в Wayback Machine .
^ Немес, Герго (2010), «Новое асимптотическое разложение гамма-функции», Archiv der Mathematik , 95 (2): 161–169, doi : 10.1007/s00013-010-0146-9 , S2CID 121820640
^ Рамануджан, Шриниваса , «Потерянная тетрадь и другие неопубликованные документы» , стр. 339 - через Интернет-архив
^ Карацуба, Екатерина А. (2001), «Об асимптотическом представлении гамма-функции Эйлера Рамануджаном», Журнал вычислительной и прикладной математики , 135 (2): 225–240, Bibcode : 2001JCoAM.135..225K , doi : 10.1016/С0377-0427(00)00586-0 , МР 1850542
^ Мортичи, Кристинель (2011), «Оценка Рамануджана для гамма-функции с помощью аргументов монотонности», Ramanujan J. , 25 (2): 149–154, doi : 10.1007/s11139-010-9265-y , S2CID 114953000
^ Мортичи, Кристинель (2011), «Улучшенные асимптотические формулы для гамма-функции», Comput. Математика. Прил. , 61 (11): 3364–3369, doi : 10.1016/j.camwa.2011.04.036 .
^ Мортичи, Кристинель (2011), «О формуле большого аргумента Рамануджана для гамма-функции», Ramanujan J. , 26 (2): 185–192, doi : 10.1007/s11139-010-9281-y , S2CID 120371952 .

Дальнейшее чтение

Абрамовиц М. и Стегун И. (2002), Справочник по математическим функциям
Пэрис, РБ и Камински, Д. (2001), Асимптотика и интегралы Меллина – Барнса , Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-79001-7
Уиттакер, Э.Т. и Уотсон, Дж.Н. (1996), Курс современного анализа (4-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-58807-2
Ромик, Дэн (2000), «Приближение Стирлинга для $n!$ : окончательное краткое доказательство?», The American Mathematical Monthly , 107 (6): 556–557, doi : 10.2307/2589351 , JSTOR 2589351 , MR 1767064
Ли, Юань-Чуань (июль 2006 г.), «Заметки о идентичности гамма-функции и формулы Стирлинга» , Real Analysis Exchange , 32 (1): 267–271, MR 2329236

^ Например, программа в системе Mathematica:

series = tau - tau^2/6 + tau^3/36 + tau^4*a + tau^5*b;
(*pick the right a,b to make the series equal 0 at higher orders*)
Series[tau^2/2 + 1 + t - Exp[t] /. t -> series, {tau, 0, 8}]

(*now do the integral*)
integral = Integrate[Exp[-x*tau^2/2] * D[series /. a -> 0 /. b -> 0, tau], {tau, -Infinity, Infinity}];
Simplify[integral/Sqrt[2*Pi]*Sqrt[x]]

Внешние ссылки

[dutka-1] Дутка, Жак (1991), «Ранняя история факториальной функции», Архив истории точных наук , 43 (3): 225–249, doi : 10.1007/BF00389433 , S2CID 122237769

[LeCam1986-2] Jump up to: ^а ^б Ле Кам, Л. (1986), «Центральная предельная теорема около 1935 года», Statistical Science , 1 (1): 78–96, doi : 10.1214/ss/1177013818 , JSTOR 2245503 , MR 0833276 ; см. стр. 81: «Результат, полученный с использованием формулы, первоначально доказанной Муавром, но теперь называемой формулой Стирлинга, встречается в его «Доктрине шансов» 1733 года».

[Pearson1924-3] Jump up to: ^а ^б Пирсон, Карл (1924), «Историческая справка о происхождении нормальной кривой ошибок», Biometrika , 16 (3/4): 402–404 [стр. 403], doi : 10.2307/2331714 , JSTOR 2331714 , я считаю, что тот факт, что Стирлинг показал, что арифметическая константа Де Муавра была ${\sqrt {2\pi }}$ не дает ему права претендовать на эту теорему, [...]

[flajolet-sedgewick-5] Флажоле, Филипп; Седжвик, Роберт (2009), Аналитическая комбинаторика , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, стр. 555, номер домена : 10.1017/CBO9780511801655 , ISBN 978-0-521-89806-5 , МР 2483235 , S2CID 27509971

[nist-6] Олвер, ФВЮ; Олде Даалхейс, AB; Лозье, Д.В.; Шнайдер, Б.И.; Буасверт, РФ; Кларк, CW; Миллер, Б.Р. и Сондерс, Б.В., «5.11 Свойства гамма-функции: асимптотические разложения» , Цифровая библиотека математических функций NIST , выпуск 1.0.13 от 16 сентября 2016 г.

[Nemes2010-2-7] Немеш, Герго (2010), «О коэффициентах асимптотического разложения $n!$ ", Журнал целочисленных последовательностей , 13 (6):5

[8] Бендер, Карл М.; Орзаг, Стивен А. (2009). Передовые математические методы для ученых и инженеров. 1: Асимптотические методы и теория возмущений (Начдр. ред.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98931-0 .

[Robbins1955-9] Роббинс, Герберт (1955), «Замечание о формуле Стирлинга», The American Mathematical Monthly , 62 (1): 26–29, doi : 10.2307/2308012 , JSTOR 2308012

[spiegel-10] Шпигель, М.Р. (1999), Математический справочник формул и таблиц , McGraw-Hill, с. 148

[schafke-sattler-11] Шефке, ФРВ; Саттлер, А. (1990), «Оценки остаточного члена для ряда Стирлинга», Note di Matematica , 10 (приложение 2): 453–470, MR 1221957

[nemes15-12] Г. Немес, Границы ошибок и экспоненциальные улучшения асимптотических разложений гамма-функции и ее обратной величины, Proc. Рой. Соц. Эдинбургская секта. А 145 (2015), 571–596.

[bayes-canton-13] Байес, Томас (24 ноября 1763 г.), «Письмо покойного преподобного г-на Томаса Байеса, FRS, Джону Кантону, MA и FRS» (PDF) , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series I , 53 : 269, Бибкод : 1763RSPT...53..269B , заархивировано (PDF) из оригинала 28 января 2012 г. , получено 1 марта 2012 г.

[14] Артин, Эмиль (2015). Гамма-функция . Дувр. п. 24.

[toth-15] Тот, Программируемые калькуляторы VT : Калькуляторы и гамма-функция (2006). Архивировано 31 декабря 2005 г. в Wayback Machine .

[Nemes2010-16] Немес, Герго (2010), «Новое асимптотическое разложение гамма-функции», Archiv der Mathematik , 95 (2): 161–169, doi : 10.1007/s00013-010-0146-9 , S2CID 121820640

[17] Рамануджан, Шриниваса , «Потерянная тетрадь и другие неопубликованные документы» , стр. 339 - через Интернет-архив

[E.A.Karatsuba-18] Карацуба, Екатерина А. (2001), «Об асимптотическом представлении гамма-функции Эйлера Рамануджаном», Журнал вычислительной и прикладной математики , 135 (2): 225–240, Bibcode : 2001JCoAM.135..225K , doi : 10.1016/С0377-0427(00)00586-0 , МР 1850542

[Mortici2011-1-19] Мортичи, Кристинель (2011), «Оценка Рамануджана для гамма-функции с помощью аргументов монотонности», Ramanujan J. , 25 (2): 149–154, doi : 10.1007/s11139-010-9265-y , S2CID 114953000

[Mortici2011-2-20] Мортичи, Кристинель (2011), «Улучшенные асимптотические формулы для гамма-функции», Comput. Математика. Прил. , 61 (11): 3364–3369, doi : 10.1016/j.camwa.2011.04.036 .

[Mortici2011-3-21] Мортичи, Кристинель (2011), «О формуле большого аргумента Рамануджана для гамма-функции», Ramanujan J. , 26 (2): 185–192, doi : 10.1007/s11139-010-9281-y , S2CID 120371952 .

[mathematica-program-4] Например, программа в системе Mathematica:
series = tau - tau^2/6 + tau^3/36 + tau^4*a + tau^5*b; (*pick the right a,b to make the series equal 0 at higher orders*) Series[tau^2/2 + 1 + t - Exp[t] /. t -> series, {tau, 0, 8}] (*now do the integral*) integral = Integrate[Exp[-x*tau^2/2] * D[series /. a -> 0 /. b -> 0, tau], {tau, -Infinity, Infinity}]; Simplify[integral/Sqrt[2*Pi]*Sqrt[x]]

[1]

[2]

[3]

[примечание 1]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]