Матричная факторизация (алгебра)

В гомологической алгебре , разделе математики , матричная факторизация — это инструмент, используемый для изучения бесконечно длинных резольвент , обычно над коммутативными кольцами .

Мотивация

Одна из проблем с негладкими алгебрами, такими как алгебры Артина , заключается в том, что их производные категории плохо ведут себя из-за бесконечных проективных резольвент . Например, на ринге $R=\mathbb {C} [x]/(x^{2})$ существует бесконечное разрешение $R$- модуль $\mathbb {C}$ где

$\cdots {\xrightarrow {\cdot x}}R{\xrightarrow {\cdot x}}R{\xrightarrow {\cdot x}}R\to \mathbb {C} \to 0$

Вместо того, чтобы рассматривать только производную категорию категории модуля, Дэвид Эйзенбуд изучал такие резолюции, глядя на их периодичность. В целом такие резолюции носят периодический характер с периодом $2$ после конечного числа объектов в разрешении.

Определение

Для коммутативного кольца $S$ и элемент $f\in S$, факторизация матричная $f$ представляет собой пару n размером × n матриц $A,B$ такой, что $AB=f\cdot {\text{Id}}_{n}$. В более общем смысле это можно закодировать как $\mathbb {Z} /2$- оцененный $S$-модуль $M=M_{0}\oplus M_{1}$ с эндоморфизмом

$d={\begin{bmatrix}0&d_{1}\\d_{0}&0\end{bmatrix}}$

такой, что $d^{2}=f\cdot {\text{Id}}_{M}$.

Примеры

(1) Для $S=\mathbb {C} [[x]]$ и $f=x^{n}$ есть матричная факторизация $d_{0}:S\rightleftarrows S:d_{1}$ где $d_{0}=x^{i},d_{1}=x^{n-i}$ для $0\leq i\leq n$.

(2) Если $S=\mathbb {C} [[x,y,z]]$ и $f=xy+xz+yz$, то происходит матричная факторизация $d_{0}:S^{2}\rightleftarrows S^{2}:d_{1}$ где

$d_{0}={\begin{bmatrix}z&y\\x&-x-y\end{bmatrix}}{\text{ }}d_{1}={\begin{bmatrix}x+y&y\\x&-z\end{bmatrix}}$

Периодичность

определение

Основная теорема

Учитывая обычный местный звонок $R$ и идеал $I\subset R$ созданный $A$-последовательность, набор $B=A/I$ и пусть

$\cdots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to 0$

быть минимальным $B$-свободное разрешение основного поля . Затем $F_{\bullet }$ становится периодическим после не более чем $1+{\text{dim}}(B)$ шаги. https://www.youtube.com/watch?v=2Jo5eCv9ZVY

Максимальные модули Коэна-Маколея

страница 18 статьи Эйзенбуда

См. также

• Производная некоммутативная алгебраическая геометрия
• Производная категория
• Гомологическая алгебра
• Триангулированная категория

Дальнейшее чтение

• Гомологическая алгебра на полном пересечении с применением к представлениям групп
• Геометрическое исследование категории матричных факторизаций
• https://web.math.princeton.edu/~takumim/takumim_Spr13_JP.pdf
• https://arxiv.org/abs/1110.2918