группа Блоха

В математике группа Блоха — это группа когомологий комплекса Блоха–Суслина, названная в честь Спенсера Блоха и Андрея Суслина . Он тесно связан с полилогарифмом , гиперболической геометрией и алгебраической К-теорией .

Функция Блоха – Вигнера

Функция дилогарифма - это функция, определяемая степенным рядом

$\operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.$

Его можно расширить путем аналитического продолжения, при котором путь интегрирования позволяет избежать разреза от 1 до +∞.

$\operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\log(1-t) \over t}\,\mathrm {d} t.$

Функция Блоха – Вигнера связана с функцией дилогарифма соотношением

$\operatorname {D} _{2}(z)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\log |z|$, если $z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}.$

Эта функция обладает несколькими замечательными свойствами, например

• $\operatorname {D} _{2}(z)$ является настоящей аналитикой $\mathbb {C} \setminus \{0,1\}.$
• $\operatorname {D} _{2}(z)=\operatorname {D} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1}{1-z}}\right)=-\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {D} _{2}(1-z)=-\operatorname {D} _{2}\left({\frac {-z}{1-z}}\right).$
• $\operatorname {D} _{2}(x)+\operatorname {D} _{2}(y)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)+\operatorname {D} _{2}(1-xy)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)=0.$

Последнее уравнение представляет собой вариант функционального уравнения Абеля для дилогарифма ( Абель 1881 ).

Определение

Пусть K — поле и определим $\mathbb {Z} (K)=\mathbb {Z} [K\setminus \{0,1\}]$ как свободная абелева группа, порожденная символами [ x ]. Из функционального уравнения Абеля следует, что D2 _{обращается в} нуль на подгруппе D ( K ) группы Z ( K ), порожденной элементами

$[x]+[y]+\left[{\frac {1-x}{1-xy}}\right]+[1-xy]+\left[{\frac {1-y}{1-xy}}\right]$

Обозначим через A ( K ) фактор $\mathbb {Z} (K)$ подгруппой D ( K ). Комплекс Блоха-Суслина определяется как следующий коцепный комплекс , сконцентрированный в первой и второй степени:

$\operatorname {B} ^{\bullet }:A(K){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\wedge ^{2}K^{*}$, где $d[x]=x\wedge (1-x)$,

затем группа Блоха была определена Блохом ( Bloch 1978 )

$\operatorname {B} _{2}(K)=\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Spec} (K),\operatorname {B} ^{\bullet })$

Комплекс Блоха – Суслина можно расширить до точной последовательности

$0\longrightarrow \operatorname {B} _{2}(K)\longrightarrow A(K){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\wedge ^{2}K^{*}\longrightarrow \operatorname {K} _{2}(K)\longrightarrow 0$

Это утверждение вытекает из теоремы Мацумото о K ₂ для полей.

Связь между K ₃ и группой Блоха

Если c обозначает элемент $[x]+[1-x]\in \operatorname {B} _{2}(K)$ и поле бесконечно, Суслин доказал ( Суслин 1990 ), что элемент c не зависит от выбора x , и

$\operatorname {coker} (\pi _{3}(\operatorname {BGM} (K)^{+})\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K))=\operatorname {B} _{2}(K)/2c$

где GM( K ) — подгруппа GL( K ), состоящая из мономиальных матриц , а BGM( K ) ⁺ это Квиллена конструкция плюс- . Более того, пусть K ₃ ^М обозначим K-группу Милнора , то существует точная последовательность

$0\rightarrow \operatorname {Tor} (K^{*},K^{*})^{\sim }\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K)_{ind}\rightarrow \operatorname {B} _{2}(K)\rightarrow 0$

где K ₃ ( K ) _ind = coker(K ₃ ^М ( K ) → K ₃ ( K )) и Tor( K ^* , К ^* ) ^~ — единственное нетривиальное расширение Tor( K ^* , К ^* ) посредством Z /2.

Связь с гиперболической геометрией в трех измерениях

Функция Блоха-Вигнера $D_{2}(z)$ , который определен на $\mathbb {C} \setminus \{0,1\}=\mathbb {C} P^{1}\setminus \{0,1,\infty \}$ , имеет следующий смысл: Пусть $\mathbb {H} ^{3}$ быть трехмерным гиперболическим пространством и $\mathbb {H} ^{3}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} _{>0}$ его полупространственная модель. Можно рассматривать элементы $\mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}$ как точки на бесконечности $\mathbb {H} ^{3}$. Тетраэдр, все вершины которого обращены в бесконечность, называется идеальным тетраэдром . Обозначим такой тетраэдр через $(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})$ и его (подписанный) объем на $\left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle$ где $p_{1},\ldots ,p_{3}\in \mathbb {C} P^{1}$ являются вершинами. Тогда при соответствующей метрике с точностью до констант можно получить его перекрестное отношение:

$\left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle =D_{2}\left({\frac {(p_{0}-p_{2})(p_{1}-p_{3})}{(p_{0}-p_{1})(p_{2}-p_{3})}}\right)\ .$

В частности, $D_{2}(z)=\left\langle 0,1,z,\infty \right\rangle$ . Благодаря пятичленному соотношению $D_{2}(z)$ , объем границы невырожденного идеального тетраэдра $(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})$ равно 0 тогда и только тогда, когда

$\left\langle \partial (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})\right\rangle =\sum _{i=0}^{4}(-1)^{i}\left\langle p_{0},..,{\hat {p}}_{i},..,p_{4}\right\rangle =0\ .$

Кроме того, учитывая гиперболическое многообразие $X=\mathbb {H} ^{3}/\Gamma$ , можно разложить

$X=\bigcup _{j=1}^{n}\Delta (z_{j})$

где $\Delta (z_{j})$ являются идеальными тетраэдрами . все вершины которого находятся на бесконечности $\partial \mathbb {H} ^{3}$ . Здесь $z_{j}$ это определенные комплексные числа с ${\text{Im}}\ z>0$ . Каждый идеальный тетраэдр изометричен тетраэдру с вершинами в $0,1,z,\infty$ для некоторых $z$ с ${\text{Im}}\ z>0$ . Здесь $z$ – перекрёстное отношение вершин тетраэдра. Таким образом, объем тетраэдра зависит только от одного единственного параметра. $z$ . ( Нейман и Загер, 1985 ) показали, что для идеального тетраэдра $\Delta$ , $vol(\Delta (z))=D_{2}(z)$ где $D_{2}(z)$ – дилогарифм Блоха-Вигнера. Для общего гиперболического 3-многообразия получаем

$vol(X)=\sum _{j=1}^{n}D_{2}(z)$

склеив их. Теорема о жесткости Мостова гарантирует только одно значение объема с ${\text{Im}}\ z_{j}>0$ для всех $j$ .

Обобщения

Посредством замены дилогарифма трилогарифмом или даже более высокими полилогарифмами понятие группы Блоха было расширено Гончаровым ( Гончаров 1991 ) и Загиром ( Загир 1990 ). Широко распространено предположение, что эти обобщенные группы Блоха Bn _должны быть связаны с алгебраической K-теорией или мотивными когомологиями . Существуют также обобщения группы Блоха в других направлениях, например, расширенная группа Блоха, определенная Нейманом ( Нейман 2004 ).

Ссылки

• Абель, Нью-Хэмпшир (1881) [1826]. «Примечание к функции $\scriptstyle \psi x=x+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n^{2}}}+\cdots$» (PDF) . In Sylow, L.; Lie, S. (ред.). Œuvres complètes de Niels Henrik Abel - Nouvelle édition, Tome II (на французском языке). Christiania [Осло]: Grøndahl & Søn., стр. 189– 193. (Эта рукопись 1826 года была опубликована только посмертно.)
• Блох, С. (1978). «Приложения функции дилогарифма в алгебраической K-теории и алгебраической геометрии». В Нагате, М. (ред.). Учеб. Межд. Симп. на Алг. Геометрия . Токио: Кинокуния. стр. 103–114.
• Гончаров, А.Б. (1991). «Классический трилогарифм, алгебраическая K-теория полей и дзета-функции Дедекинда» (PDF) . Бык. АМС . стр. 155–162.
• Нойманн, WD (2004). «Расширенная группа Блоха и класс Чигера-Черна-Саймонса». Расширенная группа Блоха и класс Чигера–Черна–Саймонса . Том. 8. стр. 413–474. arXiv : math/0307092 . Бибкод : 2003math......7092N . дои : 10.2140/gt.2004.8.413 . S2CID   9169851 .
• Нойманн, В.Д.; Загер, Д. (1985). «Объемы гиперболических трехмерных многообразий» . Топология . 24 (3): 307–332. дои : 10.1016/0040-9383(85)90004-7 .
• Суслин, А.А. (1990). " $\operatorname {K} _{3}$ поля и группа Блоха» . Труды Математического института им. Стеклова . С. 180–199.
• Загер, Д. (1990). «Полилогарифмы, дзета-функции Дедекинда и алгебраическая K-теория полей». Ин ван дер Гир, Г.; Оорт, Ф.; Стинбринк, Дж. (ред.). Арифметическая алгебраическая геометрия . Бостон: Биркхойзер. стр. 391–430.