Теорема Холла – Хигмана

В математической теории групп теорема Холла -Хигмана , принадлежащая Филипу Холлу и Грэму Хигману ( 1956 , теорема B), описывает возможности минимального полинома элемента простого степенного порядка для представления группы p -разрешимой .

Заявление

Предположим, что G — p -разрешимая группа без нормальных p -подгрупп, действующая точно в векторном пространстве над полем характеристики p . Если x — элемент порядка p ^н группы G , то минимальный полином имеет вид ( X − 1) ^р для некоторого r ≤ p ^н. Теорема Холла – Хигмана утверждает, что имеет место одна из следующих трех возможностей:

р = п ^н
p — простое число Ферма , -подгруппы группы G неабелевы силовские 2 и r ≥ p ^н − п ^{п -1}
p = 2 и силовские q -подгруппы группы G неабелевы для некоторого простого числа Мерсенна q = 2. ^м − 1 меньше 2 ^н и г ≥ 2 ^н − 2 ^{п - м}.

Примеры

Группа SL ₂ ( F ₃ ) 3-разрешима (фактически разрешима ) и имеет очевидное 2-мерное представление над полем характеристики p =3, в котором элементы порядка 3 имеют минимальный полином ( X −1) ² с r =3−1.

Ссылки

Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6 , МР 0569209
Холл, П.; Хигман, Грэм (1956), «О p-длине p-разрешимых групп и теоремах редукции для проблемы Бернсайда», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 6 : 1–42, doi : 10.1112/plms/s3- 6.1.1 , МР 0072872