Теорема Тевенена

Рис. 1. Любой черный ящик, содержащий только сопротивления, источники напряжения и источники тока, можно заменить эквивалентной схемой Тевенена , состоящей из последовательно включенного эквивалентного источника напряжения с эквивалентным сопротивлением.

Как первоначально утверждалось только в отношении резистивных цепей постоянного тока, теорема Тевенена утверждает, что «любая линейная электрическая сеть, содержащая только источники напряжения , источники тока и сопротивления, может быть заменена на клеммах $A - B$ эквивалентной комбинацией источника напряжения $V th$ в последовательное » соединение с сопротивлением $R th$ .

Эквивалентное напряжение $Vth — это$ напряжение, полученное на клеммах $A-B$ сети при $клеммах A-B$ разомкнутых .
Эквивалентное сопротивление $Rth,$ — это сопротивление, которое имела бы цепь между клеммами $A$ и $B$ если бы все идеальные источники напряжения в цепи были заменены коротким замыканием, а все идеальные источники тока — разомкнутой цепью.
Если клеммы $A$ и $B$ соединены друг с другом, ток, текущий через $A$ и $B,$ будет равен ⁠. ${\tfrac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}.$ ⁠ Это означает, что $альтернативно Rth$ может быть рассчитан как $Vth,$ разделенный на ток короткого замыкания между $A$ и $B,$ когда они соединены вместе.

С точки зрения теории цепей , эта теорема позволяет любую однопортовую свести сеть к одному источнику напряжения и одному импедансу.

Теорема также применима к цепям переменного тока в частотной области, состоящим из реактивных (индуктивных и емкостных) и резистивных импедансов . Это означает, что теорема применима к переменному току точно так же, как и к постоянному току, за исключением того, что сопротивления обобщаются на импедансы.

Теорема была независимо выведена в 1853 году немецким ученым Германом фон Гельмгольцем и в 1883 году Леоном Шарлем Тевененом (1857–1926), инженером-электриком французской национальной Postes et Télégraphes . телекоммуникационной организации ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Теорема Тевенена и двойственная ей теорема Нортона широко используются для упрощения анализа цепей и изучения начального состояния схемы и ее установившегося режима. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} Теорему Тевенена можно использовать для преобразования источников и импедансов любой схемы в эквивалент Тевенена ; использование теоремы в некоторых случаях может быть более удобным, чем использование законов цепи Кирхгофа . ^{[ 7 ]}^{[ 10 ]}

Доказательство теоремы

Были даны различные доказательства теоремы Тевенена. Возможно, самым простым из них было доказательство из оригинальной статьи Тевенена. ^{[ 3 ]} Это доказательство не только элегантно и легко для понимания, но и существует консенсус. ^{[ 4 ]} что доказательство Тевенена является одновременно правильным и общим по своей применимости. Доказательство выглядит следующим образом:

Рассмотрим активную сеть, содержащую импедансы, источники (постоянного) напряжения и источники (постоянного) тока. Конфигурация сети может быть любой. Доступ к сети обеспечивается парой терминалов. Обозначьте напряжение, измеренное между клеммами, как $V θ$ , как показано в рамке слева на рисунке 2.

Предположим, что источники напряжения внутри коробки заменены короткими замыканиями, а источники тока – разомкнутыми. Если это сделать, на клеммах не появится напряжение и можно будет измерить полное сопротивление между клеммами. Назовите это сопротивление $Z θ$ .

Теперь предположим, что к клеммам коробки подключена некоторая линейная сеть, имеющая полное сопротивление $Z e$ , как показано на рисунке 2а. Мы хотим найти ток $I$ через $Z e$ . Ответ не очевиден, поскольку $напряжение на клеммах не будет равно V θ$ после $Z e$ подключения .

Вместо этого мы представляем, что мы присоединяем последовательно с импедансом $Z e$ источник с электродвижущей силой $E,$ равной $V θ$ , но направленной против $V θ$ , как показано на рисунке 2b. не будет течь, $Тогда ток через Z e$ поскольку $E$ уравновешивает $V θ$ .

Затем мы вставляем другой источник электродвижущей силы, $E 1$ , последовательно с $Z e$ , где $E 1$ имеет ту же величину, что и $E$ , но противоположно по направлению (см. Рисунок 2c). Ток $I 1$ можно определить следующим образом: это ток, который возникает в результате $действия E 1$ в одиночку, когда все остальные источники (внутри активной сети и внешней сети) установлены на ноль. Следовательно, этот ток

$I_{1}={\frac {E_{1}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}$

потому что $Z e$ — это импеданс, внешний по отношению к ящику, а $Z θ,$ смотрящий внутрь ящика, когда его источники равны нулю.

Наконец, отметим, что $E$ и $E 1$ можно удалить вместе, не меняя ток, и когда они будут удалены, мы вернемся к рисунку 2а. Следовательно, $I 1$ — это ток $I$ , который мы ищем, т.е.

$I={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}$

тем самым завершая доказательство. На рисунке 2d показана эквивалентная схема Тевенена.

Доказательство Гельмгольца

Как уже отмечалось, теорема Тевенена была впервые открыта и опубликована немецким учёным Германом фон Гельмгольцем в 1853 году. ^{[ 1 ]} за четыре года до рождения Тевенена. Доказательство Тевенена 1883 года, описанное выше, по духу ближе к современным методам электротехники, и это может объяснить, почему его имя чаще ассоциируется с теоремой. ^{[ 11 ]} Более ранняя формулировка проблемы, предложенная Гельмгольцем, отражает более общий подход, более близкий к физике.

В своей статье 1853 года Гельмгольц интересовался электродвижущими свойствами «физически обширных проводников», в частности тканей животных . Он отметил, что более ранняя работа физиолога Эмиля дю Буа-Реймона показала, что «каждая мельчайшая часть мышцы, которую можно стимулировать, способна производить электрический ток». В это время проводились эксперименты по прикреплению гальванометра в двух точках к образцу ткани животного и измерению тока, проходящего через внешнюю цепь. Поскольку целью этой работы было понимание внутренних свойств ткани, Гельмгольц хотел найти способ связать эти внутренние свойства с токами, измеряемыми извне.

Отправной точкой для Гельмгольца стал результат, опубликованный Густавом Кирхгофом в 1848 году. ^{[ 12 ]} Как и Гельмгольц, Кирхгоф интересовался трехмерными электропроводящими системами. Кирхгоф рассматривал систему, состоящую из двух частей, которые он назвал частями А и Б. Часть А (игравшая на рис. 2 роль «активной сети») состояла из совокупности проводящих тел, соединенных концами, каждое тело характеризовалось электродвижущей силой и сопротивлением. Предполагалось, что часть B соединена с конечными точками A двумя проводами. Затем Кирхгоф показал (стр. 195), что «не меняя потока в любой точке В, можно заменить А проводником, в котором находится электродвижущая сила, равная сумме разностей напряжений в А и которая имеет сопротивление, равное сумме сопротивлений элементов А».

В своей статье 1853 года Гельмгольц признал результат Кирхгофа, но отметил, что он справедлив только в том случае, когда, «как в гидроэлектрических батареях», в A нет замкнутых кривых тока, а все такие кривые проходят через B. Поэтому он намеревался обобщить результат Кирхгофа на случай произвольного трехмерного распределения источников токов и напряжений внутри системы А.

, чем была опубликована ранее Гельмгольц начал с того, что дал более общую формулировку принципа суперпозиции , которую он выразил (стр. 212-213) следующим образом:

Если какая-либо система проводников содержит электродвижущие силы в различных местах, электрическое напряжение в каждой точке системы, через которую течет ток, равно алгебраической сумме тех напряжений, которые каждая из электродвижущих сил могла бы производить независимо от других. Аналогично, составляющие силы тока, параллельные трем перпендикулярным осям, равны сумме соответствующих составляющих, принадлежащих отдельным силам.

Используя эту теорему, а также закон Ома , Гельмгольц доказал следующие три теоремы о связи между внутренними напряжениями и токами «физической» системы А и током, протекающим через «линейную» систему В, которую считали присоединенной к А в двух точках его поверхности:

Для каждого проводника А, внутри которого произвольно распределены электродвижущие силы, на его поверхности можно задать определенное распределение электродвижущих сил, которое создавало бы те же токи, что и внутренние силы А в каждом приложенном проводнике В.
Напряжения и составляющие тока внутри проводника А при присоединении внешней цепи равны сумме напряжений и составляющих тока, возникающих в нем в отсутствие присоединенной цепи и поверхностной.
Различные способы распределения электродвижущей силы на поверхности проводника А, который должен давать такие же производные токи, как и его внутренние силы, могут отличаться лишь разницей, имеющей одинаковое постоянное значение во всех точках поверхности.

Из них Гельмгольц вывел свой окончательный результат (стр. 222):

Если к какому-либо линейному проводнику подключить физический проводник с постоянными электродвижущими силами в двух конкретных точках его поверхности, то на его место всегда можно заменить линейный проводник с определенной электродвижущей силой и определенным сопротивлением, что во всех применяемых линейных проводниках возбуждают точно такие же токи, как и физический. ... Сопротивление заменяемого линейного проводника равно сопротивлению тела при пропускании через него тока от двух точек входа линейного проводника.

Затем он отметил, что его результат, полученный для общей «физической системы», также применим к «линейным» (в геометрическом смысле) схемам, подобным тем, которые рассматривал Кирхгоф:

То, что применимо к каждому физическому проводнику, применимо и к частному случаю разветвленной системы линейного тока. Даже если две конкретные точки такой системы подсоединить к каким-либо другим линейным проводникам, она ведет себя по сравнению с ними как линейный проводник определенного сопротивления, величину которого можно найти по известным правилам для разветвленных линий, и определенная электродвижущая сила, которая задается разностью напряжений выведенных точек, существовавшей до добавленной цепи.

Эта формулировка теоремы по существу такая же, как формулировка Тевенена, опубликованная 30 лет спустя.

Вычисление эквивалента Тевенена

источник напряжения $Vth,$ включенный последовательно с сопротивлением $Rth Эквивалентная схема представляет собой$ .

Эквивалентное напряжение Тевенена $V th$ — это напряжение холостого хода на выходных клеммах исходной цепи. При расчете напряжения, эквивалентного Тевенену, часто бывает полезен принцип делителя напряжения , объявляя одну клемму $V- выходом$ , а другую - точкой заземления.

Эквивалентное сопротивление Тевенена $R Th$ — это сопротивление, измеренное в точках $A$ и $B,$ «смотря назад» на цепь. Сопротивление измеряется после замены всех источников напряжения и тока их внутренними сопротивлениями. Это означает, что идеальный источник напряжения заменяется коротким замыканием, а идеальный источник тока заменяется разомкнутой цепью. Затем можно рассчитать сопротивление между клеммами, используя формулы для последовательных и параллельных цепей . Этот метод справедлив только для цепей с независимыми источниками. есть зависимые источники Если в цепи $, необходимо использовать другой метод, например, подключить тестовый источник к точкам A$ и $B$ и вычислить напряжение или ток через тестовый источник.

В качестве мнемоники замены Тевенина для источников напряжения и тока можно запомнить, поскольку значения источников (то есть их напряжение или ток) установлены на ноль. Источник напряжения с нулевым значением создаст разность потенциалов в ноль вольт между своими клеммами, как это произошло бы при идеальном коротком замыкании при соприкосновении двух выводов; поэтому источник заменяется коротким замыканием. Аналогично, источник тока с нулевым значением и разомкнутая цепь пропускают нулевой ток.

Пример

В примере расчет эквивалентного напряжения: ${\begin{aligned}V_{\mathrm {Th} }&={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }\\&={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} \\&={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} \end{aligned}}$ (Обратите внимание, что $R 1$ не принимается во внимание, поскольку приведенные выше расчеты выполняются в состоянии разомкнутой цепи между $A$ и $B$ отсутствует $, поэтому ток через эту часть не течет, что означает, что ток через R 1$ и, следовательно, нет падения напряжения вдоль эту часть.)

Расчет эквивалентного сопротивления ( $R x || R y$ — общее сопротивление двух параллельных резисторов ): ${\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .\end{aligned}}$

Преобразование в эквивалент Norton

Эквивалентная схема Нортона связана с эквивалентом Тевенена соотношением ${\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{\mathrm {No} }\!\\V_{\mathrm {Th} }&=I_{\mathrm {No} }R_{\mathrm {No} }\!\\I_{\mathrm {No} }&={\frac {V_{\mathrm {Th} }}{R_{\mathrm {Th} }}}\!\end{aligned}}$

Практические ограничения

Многие схемы линейны только в определенном диапазоне значений, поэтому эквивалент Тевенена действителен только в этом линейном диапазоне.
Эквивалент Тевенена имеет эквивалентную ВАХ только с точки зрения нагрузки.
Рассеяние мощности эквивалента Тевенена не обязательно идентично рассеиванию мощности реальной системы. Однако мощность, рассеиваемая внешним резистором между двумя выходными клеммами, одинакова независимо от того, как реализована внутренняя схема.

В трехфазных цепях

В 1933 году А. Т. Старр опубликовал обобщение теоремы Тевенена в статье журнала Institute of Electrical Engineers Journal под названием «Новая теорема для активных сетей» . ^{[ 13 ]} в котором говорится, что любая трехполюсная активная линейная сеть может быть заменена тремя источниками напряжения с соответствующими импедансами, соединенными звездой или треугольником .

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Гельмгольц, Герман (1853). «Некоторые законы распределения электрических токов в проводниках с применением к экспериментам с животным электричеством» . Анналы физики и химии (на немецком языке). 89 (6): 211–233. Бибкод : 1853АнП...165..211H . дои : 10.1002/andp.18531650603 .
^ Тевенен, Леон Шарль (1883). «Распространение закона Ома на сложные электродвижущие цепи» . Телеграфные летописи . 3 ^и сериал (на французском языке). 10 : 222–224.
^ Перейти обратно: ^а ^б Тевенен, Леон Шарль (1883). «О новой теореме динамического электричества» . Еженедельные отчеты сессий Академии наук (на французском языке). 97 : 159–161.
^ Перейти обратно: ^а ^б Джонсон, Дон Х. (2003). «Истоки концепции эквивалентной схемы: эквивалент источника напряжения» (PDF) . Труды IEEE . 91 (4): 636–640. дои : 10.1109/JPROC.2003.811716 . HDL : 1911/19968 .
^ Джонсон, Дон Х. (2003). «Истоки концепции эквивалентной схемы: эквивалент источника тока» (PDF) . Труды IEEE . 91 (5): 817–821. дои : 10.1109/JPROC.2003.811795 .
^ Бриттен, Джеймс Э. (март 1990 г.). «Теорема Тевенена» . IEEE-спектр . 27 (3): 42. дои : 10.1109/6.48845 . S2CID 2279777 . Проверено 1 февраля 2013 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Дорф, Ричард С .; Свобода, Джеймс А. (2010). «Глава 5: Цепные теоремы». Введение в электрические цепи (8-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons . стр. 162–207. ISBN 978-0-470-52157-1 .
^ Бреннер, Эгон; Джавид, Мансур (1959). «Глава 12: Сетевые функции». Анализ электрических цепей . МакГроу-Хилл . стр. 268–269.
^ Элгерд, Олле Ингемар [на немецком языке] (2007). «Глава 10: Переходные процессы в энергетической системе - явления перенапряжения и симметричный анализ неисправностей». Теория электроэнергетических систем: Введение . Тата МакГроу-Хилл . стр. 402–429. ISBN 978-0-07019230-0 .
^ Дуайт, Герберт Бристоль (1949). «Раздел 2: Электрические и магнитные цепи». В Ноултоне, Арчер Э. (ред.). Стандартный справочник для инженеров-электриков (8-е изд.). МакГроу-Хилл . п. 26.
^ Малоберти, Франко; Дэвис, Энтони К. (2016). Краткая история схем и систем . Делфт: River Publishers. п. 37. ИСБН 978-87-93379-71-8 .
^ Кирхгоф, Густав (1848). применимости формул для напряженностей гальванических токов в системе линейных проводников к «О системам, частично состоящим из нелинейных проводников». Анналы физики и химии (на немецком языке). 75 : 189-205. дои : 10.1002/andp.18481511003 .
^ Старр, AT (1933). «Новая теорема для активных сетей» . Журнал Института инженеров-электриков . 73 (441): 303–308. дои : 10.1049/jiee-1.1933.0129 .

Дальнейшее чтение

Веннер, Франк (1926). «Принцип распределения тока в системах линейных проводников». Труды Физического общества . 39 (1). Вашингтон, округ Колумбия: Бюро стандартов : 124–144. Бибкод : 1926PPS....39..124W . дои : 10.1088/0959-5309/39/1/311 . hdl : 2027/mdp.39015086551663 . Научная статья S531.
Фильтры первого порядка: ярлык через эквивалентный источник Тевенена – показано на стр. 4. Упрощение теоремы Тевенена для сложной схемы до фильтра нижних частот первого порядка и соответствующего делителя напряжения , постоянной времени и коэффициента усиления .

Внешние ссылки

СМИ, связанные с теоремой Тевенена, на Викискладе?

[Helmholtz_1853-1] Перейти обратно: ^а ^б Гельмгольц, Герман (1853). «Некоторые законы распределения электрических токов в проводниках с применением к экспериментам с животным электричеством» . Анналы физики и химии (на немецком языке). 89 (6): 211–233. Бибкод : 1853АнП...165..211H . дои : 10.1002/andp.18531650603 .

[Thévenin_1883a-2] Тевенен, Леон Шарль (1883). «Распространение закона Ома на сложные электродвижущие цепи» . Телеграфные летописи . 3 ^и сериал (на французском языке). 10 : 222–224.

[Thévenin_1883b-3] Перейти обратно: ^а ^б Тевенен, Леон Шарль (1883). «О новой теореме динамического электричества» . Еженедельные отчеты сессий Академии наук (на французском языке). 97 : 159–161.

[Johnson_2003a-4] Перейти обратно: ^а ^б Джонсон, Дон Х. (2003). «Истоки концепции эквивалентной схемы: эквивалент источника напряжения» (PDF) . Труды IEEE . 91 (4): 636–640. дои : 10.1109/JPROC.2003.811716 . HDL : 1911/19968 .

[Johnson_2003b-5] Джонсон, Дон Х. (2003). «Истоки концепции эквивалентной схемы: эквивалент источника тока» (PDF) . Труды IEEE . 91 (5): 817–821. дои : 10.1109/JPROC.2003.811795 .

[Brittain_1990-6] Бриттен, Джеймс Э. (март 1990 г.). «Теорема Тевенена» . IEEE-спектр . 27 (3): 42. дои : 10.1109/6.48845 . S2CID 2279777 . Проверено 1 февраля 2013 г.

[Dorf_2010-7] Перейти обратно: ^а ^б Дорф, Ричард С .; Свобода, Джеймс А. (2010). «Глава 5: Цепные теоремы». Введение в электрические цепи (8-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons . стр. 162–207. ISBN 978-0-470-52157-1 .

[Brenner_1959-8] Бреннер, Эгон; Джавид, Мансур (1959). «Глава 12: Сетевые функции». Анализ электрических цепей . МакГроу-Хилл . стр. 268–269.

[Elgerd_2007-9] Элгерд, Олле Ингемар [на немецком языке] (2007). «Глава 10: Переходные процессы в энергетической системе - явления перенапряжения и симметричный анализ неисправностей». Теория электроэнергетических систем: Введение . Тата МакГроу-Хилл . стр. 402–429. ISBN 978-0-07019230-0 .

[Dwight_1949-10] Дуайт, Герберт Бристоль (1949). «Раздел 2: Электрические и магнитные цепи». В Ноултоне, Арчер Э. (ред.). Стандартный справочник для инженеров-электриков (8-е изд.). МакГроу-Хилл . п. 26.

[Maloberti_Davies-11] Малоберти, Франко; Дэвис, Энтони К. (2016). Краткая история схем и систем . Делфт: River Publishers. п. 37. ИСБН 978-87-93379-71-8 .

[Kirchhoff_1848-12] Кирхгоф, Густав (1848). применимости формул для напряженностей гальванических токов в системе линейных проводников к «О системам, частично состоящим из нелинейных проводников». Анналы физики и химии (на немецком языке). 75 : 189-205. дои : 10.1002/andp.18481511003 .

[Starr_1933-13] Старр, AT (1933). «Новая теорема для активных сетей» . Журнал Института инженеров-электриков . 73 (441): 303–308. дои : 10.1049/jiee-1.1933.0129 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]