Изэнтропический поток сопла

Изэнтропическое течение в сопле описывает движение газа или жидкости через сужающееся отверстие без увеличения или уменьшения энтропии .

Обзор

Всякий раз, когда газ проходит через трубку, молекулы газа отклоняются стенками трубки. Если скорость газа намного меньше скорости звука , плотность газа останется постоянной, а скорость потока увеличится. Однако, поскольку скорость потока приближается к скорости звука, сжимаемости необходимо учитывать влияние газа. Плотность газа становится зависимой от положения. При рассмотрении течения через трубку, если поток очень постепенно сжимается (т.е. площадь уменьшается), а затем постепенно расширяется (т.е. площадь увеличивается), условия течения восстанавливаются (т.е. возвращаются в исходное положение). Итак, такой процесс является обратимым процессом. Согласно второму закону термодинамики , всякий раз, когда существует обратимый адиабатический поток, поддерживается постоянное значение энтропии. Инженеры классифицируют этот тип течения как изоэнтропическое течение жидкостей. Изэнтропия — это сочетание греческого слова «изо» (что означает — одинаковый) и энтропии.

Когда изменение переменных потока небольшое и постепенное, возникают изэнтропические течения. Генерация звуковых волн представляет собой изоэнтропический процесс. Сверхзвуковой . поток, который поворачивается при увеличении проходного сечения, также является изоэнтропическим Поскольку происходит увеличение площади, мы называем это изэнтропическим расширением . Если сверхзвуковой поток резко поворачивается и площадь потока уменьшается, течение становится необратимым из-за возникновения ударных волн . Изэнтропические соотношения больше не действуют, и поток регулируется косыми или нормальными ударными соотношениями.

Набор уравнений

Ниже приведены девять уравнений, обычно используемых при оценке условий изоэнтропического потока. ^[1] Они предполагают, что газ калорически совершенен ; т.е. соотношение теплоемкостей является постоянным во всем диапазоне температур. В типичных случаях фактическое отклонение незначительно.

$M={\frac {v}{c_{s}}}$
$c_{s}={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {\gamma RT}}$
${\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}={\frac {p_{t}}{\rho _{t}^{\gamma }}}$
${\frac {p}{p_{t}}}=\left({\frac {\rho }{\rho _{t}}}\right)^{\gamma }=\left({\frac {T}{T_{t}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}$
$q={\frac {1}{2}}\rho v^{2}={\frac {1}{2}}\gamma pM^{2}$
${\frac {p}{p_{t}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {-\gamma }{\gamma -1}}$
${\frac {T}{T_{t}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{-1}$
${\frac {\rho }{\rho _{t}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {-1}{\gamma -1}}$
${\frac {A}{A^{*}}}={\frac {1}{M}}\left({\frac {\gamma -1}{2}}\right)^{\frac {-(\gamma +1)}{2(\gamma -1)}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {-\gamma }{\gamma -1}}$

Свойства без нижнего индекса оцениваются в интересующей точке (эту точку можно выбрать в любом месте по длине сопла, но после ее выбора все свойства в расчете должны оцениваться в одной и той же точке)
Индекс $t$ обозначает свойство в условиях тотального/застоя . В ракетном или реактивном двигателе это означает условия внутри камеры сгорания. Например, $p_{t}$ полное давление/давление застоя/давление в камере (все эквивалентно).
$M$ - локальное число Маха газа
$v$ скорость газа (м/с)
$c_{s}$ - местная скорость звука в газе (м/с)
$\gamma$ - отношение удельных теплоемкостей газа
$p$ давление газа (Па)
$\rho$ плотность газа (кг/м ³)
$T$ температура газа (К)
$A$ — площадь поперечного сечения сопла в интересующей точке (м ²)
$A^{*}$ - площадь поперечного сечения сопла в звуковой точке или точке, где скорость газа составляет 1 Маха (м ²). В идеале это должно происходить в горловине сопла.

Свойства застоя

В гидродинамике критическая точка — это точка в поле потока, где локальная скорость жидкости равна нулю. Изэнтропическое застойное состояние — это состояние, которого достигла бы текущая жидкость, если бы она претерпела обратимое адиабатическое замедление до нулевой скорости. существуют как реальные , так и изоэнтропические Для типичного газа или пара застойные состояния. Иногда выгодно различать реальные и изоэнтропические застойные состояния. Фактическое стагнационное состояние — это состояние, достигаемое после фактического торможения до нулевой скорости (как в носовой части тела, помещенного в поток жидкости), и с процессом торможения может иметь место необратимость. Поэтому термин «свойство застоя» иногда резервируется для свойств, связанных с фактическим состоянием, а термин «общее свойство» используется для изоэнтропического состояния застоя. Энтальпия . одинакова как для фактического, так и для изоэнтропического застойного состояния (при условии, что реальный процесс является адиабатическим) Следовательно, для В идеальном газе фактическая температура торможения такая же, как изоэнтропическая температура торможения. Однако фактическое давление торможения может быть меньше изоэнтропического давления торможения. По этой причине термин «полное давление» (означающий изоэнтропическое давление торможения) имеет особое значение по сравнению с фактическим давлением торможения.

Анализ потока

Изэнтропический КПД ${\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2}}}$ . Изменение плотности жидкости для сжимаемых потоков требует внимания к плотности и другим соотношениям свойств жидкости. жидкости Уравнение состояния , часто несущественное для несжимаемых течений, жизненно важно при анализе сжимаемых течений. Кроме того, изменения температуры для сжимаемых потоков обычно значительны, и поэтому уравнение энергии важно. Любопытные явления могут происходить со сжимаемыми потоками.

Для простоты газ предполагается идеальным.
Поток газа изоэнтропичен.
Расход газа постоянный.
Поток газа проходит по прямой линии от входа газа до выхода выхлопных газов.
Поведение газового потока является сжимаемым.

Существует множество применений, в которых устойчивый, равномерный, изэнтропический поток является хорошим приближением к потоку в трубопроводах. К ним относятся поток через реактивный двигатель , через сопло ракеты, из разорванного газопровода и мимо лопаток турбины.

Mach number = M                                    Velocity = V
Universal gas constant = R                         Pressure = p
Specific heat ratio = k                            Temperature = T
* = Sonic conditions                               Density =  $\rho$ 
Area = A                                           Molar mass =  $M_{m}$

Уравнение энергии для установившегося потока:

 $q_{net}+h+{\frac {{\vec {V}}^{2}}{2}}=w_{net}+h_{o}+{\frac {{\vec {V}}_{o}^{2}}{2}}$

Чтобы смоделировать такие ситуации, рассмотрим контрольный объем в изменяющейся зоне трубопровода, показанного на рис. Уравнение непрерывности между двумя секциями, находящимися на бесконечно малом расстоянии dx друг от друга, имеет вид

 $\rho AV=(\rho +d\rho )(A+dA)(V+dV)$

Если в дифференциальной величине сохраняются только члены первого порядка, непрерывность принимает вид

 ${\frac {dV}{V}}+{\frac {dA}{A}}+{\frac {d\rho }{\rho }}=0$

Уравнение энергии:

 ${\frac {V^{2}}{2}}+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {p}{\rho }}={\frac {\left(V+dV\right)^{2}}{2}}+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {p+dp}{\rho +d\rho }}$

Это упрощается, пренебрегая членами более высокого порядка:

                            $VdV+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {\rho dp-pd\rho }{\rho ^{2}}}=0$

Если предположить изоэнтропический поток, уравнение энергии принимает вид:

                            $VdV+{\frac {k\cdot p}{\rho ^{2}}}\cdot d\rho =0$

Подставив уравнение неразрывности, получим

                                  ${\frac {dV}{V}}\cdot \left({\frac {\rho V^{2}}{kp}}-1\right)={\frac {dA}{A}}$

или, через число Маха :

                                         ${\frac {dV}{V}}\cdot \left(M^{2}-1\right)={\frac {dA}{A}}$

Это уравнение применимо к устойчивому, однородному, изэнтропическому потоку. Есть несколько наблюдений, которые можно сделать из анализа уравнения. (9,26). Они есть:

При дозвуковом течении в расширяющемся канале (М <1 и dA>0) течение замедляется (dV <0).
При дозвуковом течении в сужающемся канале (M <1 и dA <0) течение является ускоряющимся (dV >0).
При сверхзвуковом течении в расширяющемся канале (M >1 и dA >0) течение является ускоряющимся (dV >0).
При сверхзвуковом течении в сужающемся канале (M >1 и dA <0) течение замедляется (dV <0).
В горловине, где dA =0, либо M =1, либо dV =0 (поток может ускоряться через M =1 или достигать такой скорости, что dV =0).

Сверхзвуковой поток

Сопло для сверхзвукового потока должно увеличиваться по площади в направлении потока, а диффузор - уменьшаться по площади, напротив сопла и диффузора для дозвукового потока. Таким образом, чтобы сверхзвуковой поток развивался из резервуара, скорость которого равна нулю, дозвуковой поток должен сначала ускориться через сужающуюся область к горловине, а затем продолжить ускорение через расширяющуюся область.

Сопла ракеты, предназначенной для вывода спутников на орбиту, построены с использованием такой сходящейся-расходящейся геометрии. Уравнения энергии и непрерывности могут принимать особенно полезные формы для устойчивого, однородного, изэнтропического потока через сопло. Примените уравнение энергии с Q_ W_S 0 между резервуаром и некоторым местом в сопле, чтобы получить

                                                $c_{p}\cdot T_{o}={\frac {V^{2}}{2}}+c_{p}\cdot T$

Любая величина с нулевым индексом относится к точке застоя, где скорость равна нулю, например, в резервуаре. Используя несколько термодинамических соотношений, уравнения можно представить в виде:

 ${\frac {T_{o}}{T}}=1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}$ 
 ${\frac {p_{o}}{p}}=\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\left({\frac {k}{k-1}}\right)}$ 
 ${\frac {\rho _{o}}{\rho }}=\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\left({\frac {1}{k-1}}\right)}$

Если приведенные выше уравнения применить к горловине (критическая область, обозначенная Надстрочный индекс звездочки (*), где M =1), уравнение энергии принимает вид

 ${\frac {T^{*}}{T_{o}}}={\frac {2}{k+1}}$  
 ${\frac {p^{*}}{p_{o}}}=\left({\frac {2}{k+1}}\right)^{\left({\frac {k}{k-1}}\right)}$ 
 ${\frac {\rho ^{*}}{\rho _{o}}}=\left({\frac {2}{k+1}}\right)^{\left({\frac {1}{k-1}}\right)}$

Критическая область часто упоминается, даже если горла не существует. Для воздуха с k = 1,4 приведенные выше уравнения дают

   T* = 0.833333·T_o
   p* = 0.528282·p_o
   ρ* = 0.633938·ρ_o

Интерес представляет массовый поток через сопло, который определяется выражением:

      ${\dot {m}}=\rho AV={\frac {p}{RT}}\cdot A\cdot M{\sqrt {kR_{specific}T}}=p{\sqrt {kM_{m} \over RT}}AM$

С использованием уравнения. (9.28), поток массы после применения некоторой алгебры может быть равен Выражено как

                  ${\dot {m}}=p_{o}MA{\sqrt {\frac {kM_{m}}{RT_{o}}}}\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {k+1}{-2(k-1)}}$

Если критическая область выбрана там, где M =1, это принимает вид

                        ${\dot {m}}=p_{o}A^{*}{\sqrt {\frac {kM_{m}}{RT_{o}}}}\left(1+{\frac {k-1}{2}}\right)^{\frac {k+1}{-2(k-1)}}$

который в сочетании с предыдущим обеспечивает:

${\frac {A}{A^{*}}}={\frac {1}{M}}\left({\frac {k+1}{2+(k-1)\cdot M^{2}}}\right)^{\frac {k+1}{-2(k-1)}}$

Сужающееся сопло

Рассмотрим сужающееся сопло, соединяющее резервуар с ресивером. Если пластовое давление поддерживать постоянным, а давление в ресивере уменьшать, число Маха на выходе из сопла будет увеличиваться до тех пор, пока не будет достигнуто Me=1, как показано левой кривой на рисунке 2. После достижения Me =1 на выходе из сопла для $p_{r}=0.5283p_{0}$ , возникает состояние дросселированного течения и скорость во всем сопле не может измениться при дальнейшем уменьшении $p_{r}$ . Это связано с тем, что изменения давления после выхода не могут распространяться вверх по потоку и вызывать изменения условий потока. Правая кривая на рисунке 2 представляет случай, когда пластовое давление увеличивается, а давление в ресивере поддерживается постоянным. Когда $M_{e}=1$ , также имеет место состояние дросселированного потока; но уравнение показывает, что поток массы будет продолжать увеличиваться по мере того, как $p_{0}$ увеличивается. Это тот случай, когда происходит разрыв газопровода.

Интересно, что давление на выходе $p_{e}$ может быть больше давления в ресивере $p_{r}$ . Природа допускает это, давая линиям тока газа возможность внезапно менять направление на выходе и расширяться на гораздо большую площадь, что приводит к уменьшению давления от $p_{e}$ к $p_{r}$ . Случай сужающегося-расширяющегося сопла позволяет создавать сверхзвуковой поток при достаточно низком давлении в ресивере. Это показано на рисунке 3 при условии постоянного пластового давления при уменьшающемся давлении в ресивере. Если давление в ресивере равно пластовому давлению, притока не происходит, что представлено кривой $A$ . Если pr немного меньше p_0, поток повсюду дозвуковой, с минимальным давлением в горловине, представленным кривой B. По мере дальнейшего снижения давления достигается давление, которое приводит к M = 1 в горловине с дозвуковой скоростью. поток через оставшуюся часть сопла. Существует еще одно давление в ресивере, существенно ниже давления кривой C, что также приводит к изоэнтропическому потоку во всем сопле, представленному кривой D; после горла течение сверхзвуковое. Давления в ресивере между значениями кривой C и кривой D приводят к неизоэнтропическому потоку (в потоке возникает ударная волна). Если pr ниже кривой D, давление на выходе pe больше pr. Опять же, для давлений в ресивере ниже давления кривой C поток массы остается постоянным, поскольку условия в горловине остаются неизменными. Может показаться, что сверхзвуковой поток будет стремиться отделиться от сопла, но на самом деле все наоборот. Сверхзвуковой поток может поворачивать на очень острые углы, поскольку в природе предусмотрены вентиляторы расширения, которых нет в дозвуковых потоках. Во избежание отрыва в дозвуковых соплах угол раскрытия не должен превышать 10°. Для больших углов применяют лопатки так, чтобы угол между лопатками не превышал 10°.

См. также

Ссылки

^ «Уравнения изоэнтропического потока» . www.grc.nasa.gov . Проверено 31 августа 2023 г.

Кольбер, Элтон Дж. Изэнтропический поток через сопла . Университет Невады, Рино . 3 мая 2001 г. По состоянию на 15 июля 2014 г.
Бенсон, Том. « Изэнтропический поток ». НАСА.gov . Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства. 21 июня 2014 г. По состоянию на 15 июля 2014 г.
Бар-Меир, Геник. « Изенотропное течение ». Архивировано 26 февраля 2015 г. на Wayback Machine Potto.org . Проект Пото. 21 ноября 2007 г. По состоянию на 15 июля 2014 г.

[1] «Уравнения изоэнтропического потока» . www.grc.nasa.gov . Проверено 31 августа 2023 г.

[1]