Они текут

Поток Фанно — это адиабатический эффект трения . поток через воздуховод постоянной площади, в котором учитывается сжимаемости Часто учитываются эффекты , хотя модель течения Фанно, безусловно, применима и к несжимаемому потоку . Для этой модели площадь воздуховода остается постоянной, поток предполагается равномерным и одномерным, а масса внутри воздуховода не добавляется. Модель течения Фанно считается необратимым процессом из-за эффектов вязкости. Вязкое трение приводит к изменению свойств потока вдоль воздуховода. Эффект трения моделируется как напряжение сдвига на стенке, действующее на жидкость с однородными свойствами по любому поперечному сечению воздуховода.

Для потока с числом Маха выше 1,0 в достаточно длинном канале происходит замедление, и поток может засориться . С другой стороны, для потока с числом Маха на входе менее 1,0 возникает ускорение и поток может захлебнуться в достаточно длинном канале. Можно показать, что для течения калорически совершенного газа максимум энтропии достигается при М = 1,0. Поток Фанно назван в честь Джино Джироламо Фанно .

Теория

Рисунок 1. Линия Фанно нанесена на безразмерную ось H-ΔS.

Модель потока Фанно начинается с дифференциального уравнения , которое связывает изменение числа Маха с длиной воздуховода dM/dx . Другими членами дифференциального уравнения являются теплоемкости коэффициент γ , Фаннинга коэффициент трения f и диаметр гидравлический D _h :

$\ {\frac {dM^{2}}{M^{2}}}={\frac {\gamma M^{2}}{1-M^{2}}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right){\frac {4f}{D_{h}}}dx$

Если предположить, что коэффициент трения Фэннинга вдоль стенки воздуховода постоянен, дифференциальное уравнение можно легко решить. Однако следует иметь в виду, что значение коэффициента трения Фэннинга может быть трудно определить для сверхзвуковых и особенно гиперзвуковых скоростей потока. Полученное соотношение показано ниже, где L* — длина воздуховода, необходимая для дросселирования потока, при условии, что число Маха на входе является сверхзвуковым. Левую часть часто называют параметром Фанно.

$\ {\frac {4fL^{*}}{D_{h}}}=\left({\frac {1-M^{2}}{\gamma M^{2}}}\right)+\left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)\ln \left[{\frac {M^{2}}{\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\right]$

Не менее важным для модели потока Фанно является безразмерное отношение изменения энтропии к теплоемкости при постоянном давлении c _p .

$\ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[M^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left(\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\right]\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]\right)^{\frac {-(\gamma +1)}{2\gamma }}\right]$

Приведенное выше уравнение можно переписать в терминах отношения статической температуры к температуре торможения, которое для калорически совершенного газа равно безразмерному коэффициенту энтальпии H :

$\ H={\frac {h}{h_{0}}}={\frac {c_{p}T}{c_{p}T_{0}}}={\frac {T}{T_{0}}}$

$\ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {1}{H}}-1\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {2}{\gamma -1}}\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {\gamma +1}{2}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left(H\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]$

Приведенное выше уравнение можно использовать для построения линии Фанно, которая представляет собой геометрическое место состояний для заданных условий потока Фанно на диаграмме H - ΔS . На диаграмме линия Фанно достигает максимальной энтропии при H = 0,833, и поток дросселируется. Согласно второму закону термодинамики , для потока Фанно энтропия всегда должна возрастать. Это означает, что дозвуковой поток, попадающий в канал с трением, будет иметь увеличение числа Маха до тех пор, пока поток не задохнется. И наоборот, число Маха сверхзвукового потока будет уменьшаться до тех пор, пока поток не задохнется. Каждой точке линии Фанно соответствует различное число Маха, а движение к дросселируемому потоку показано на схеме.

Линия Фанно определяет возможные состояния газа, когда массовый расход и полная энтальпия остаются постоянными, но импульс изменяется. Каждая точка линии Фанно будет иметь разное значение импульса, и изменение импульса связано с эффектом трения.

Дополнительные соотношения потока Фанно

Рисунок 2. Общие коэффициенты термодинамических свойств, построенные в зависимости от числа Маха с использованием модели потока Фанно.

Как было сказано ранее, площадь и массовый расход в канале для потока Фанно остаются постоянными. Кроме того, температура застоя остается постоянной. Эти отношения показаны ниже символом *, обозначающим место в горле, где может произойти удушье. Свойство застоя содержит индекс 0.

${\begin{aligned}A&=A^{*}={\mbox{constant}}\\T_{0}&=T_{0}^{*}={\mbox{constant}}\\{\dot {m}}&={\dot {m}}^{*}={\mbox{constant}}\end{aligned}}$

Дифференциальные уравнения также могут быть разработаны и решены для описания соотношений свойств потока Фанно относительно значений в месте дросселирования. Соотношения давления, плотности, температуры, скорости и давления торможения показаны ниже соответственно. Они представлены графически вместе с параметром Фанно.

${\begin{aligned}{\frac {p}{p^{*}}}&={\frac {1}{M}}{\frac {1}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}}\\{\frac {\rho }{\rho ^{*}}}&={\frac {1}{M}}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&={\frac {1}{\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\\{\frac {V}{V^{*}}}&=M{\frac {1}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}}\\{\frac {p_{0}}{p_{0}^{*}}}&={\frac {1}{M}}\left[\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma +1}{2\left(\gamma -1\right)}}\end{aligned}}$

Приложения

Рисунок 3. Изображено сверхзвуковое сопло, ведущее в воздуховод постоянной площади. Начальные условия существуют в точке 1. Точка 2 существует на горловине сопла, где M = 1. Точка 3 обозначает переход от изэнтропического течения к потоку Фанно. Точки 4 и 5 обозначают условия до и после ударной волны, а точка Е — выход из канала.

Рисунок 4. Диаграмма H - S изображена для условий, показанных на рисунке 3. Энтропия постоянна для изэнтропического потока, поэтому условия в точке 1 движутся вниз вертикально к точке 3. Далее поток следует по линии Фанно до тех пор, пока скачок не изменит поток. со сверхзвука на дозвук. Затем поток снова следует за линией Фанно, почти достигая состояния запирания перед выходом из канала.

Рисунок 5. Диаграмма пересечения линий Фанно и Рэлея.

Модель потока Фанно часто используется при проектировании и анализе сопел. В сопле сужающаяся или расширяющаяся область моделируется изоэнтропическим потоком, а участок постоянной площади впоследствии моделируется потоком Фанно. Для заданных условий вверх по потоку в точке 1, как показано на рисунках 3 и 4, можно провести расчеты для определения числа Маха на выходе сопла и местоположения нормального скачка уплотнения в канале постоянной площади. Точка 2 обозначает горловину сопла, где M = 1, если поток дросселируется. Точка 3 отмечает конец сопла, где поток переходит от изэнтропического к потоку Фанно. При достаточно высоком начальном давлении можно поддерживать сверхзвуковой поток через воздуховод постоянной площади, аналогично требуемым характеристикам сверхзвуковой аэродинамической трубы продувочного типа . Однако на этих рисунках показана ударная волна до того, как она полностью прошла через воздуховод. Если присутствует ударная волна, поток переходит из сверхзвуковой части линии Фанно в дозвуковую часть, прежде чем продолжить движение в направлении M = 1. Движение на рисунке 4 всегда происходит слева направо, чтобы удовлетворить второму закону термодинамики.

Модель потока Фанно также широко используется вместе с моделью потока Рэлея . Эти две модели пересекаются в точках на диаграммах энтальпия-энтропия и число Маха-энтропия, что имеет смысл для многих приложений. Однако значения энтропии для каждой модели не равны в звуковом состоянии. Изменение энтропии равно 0 при M = 1 для каждой модели, но предыдущее утверждение означает, что изменение энтропии от одной и той же произвольной точки до звуковой точки различно для моделей потока Фанно и Рэлея. начальные значения s _i и Mi _{, для каждой модели можно} Если определены определить новое уравнение для безразмерной энтропии в зависимости от числа Маха. Эти уравнения показаны ниже для потоков Фанно и Рэлея соответственно.

${\begin{aligned}\Delta S_{F}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]\\\Delta S_{R}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{2}\left({\frac {1+\gamma M_{i}^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]\end{aligned}}$

На рисунке 5 показаны линии Фанно и Рэлея, пересекающиеся друг с другом для начальных условий s _i = 0 и Mi _. = 3. Точки пересечения рассчитываются путем приравнивания новых безразмерных уравнений энтропии друг к другу, что приводит к соотношению ниже

$\ \left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}\right)\left[{\frac {M_{i}^{2}}{\left(1+\gamma M_{i}^{2}\right)^{2}}}\right]=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\left[{\frac {M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\right]$

Точки пересечения возникают при заданном начальном числе Маха и его постнормальном ударном значении. Для рисунка 5 эти значения равны M = 3 и 0,4752, которые можно найти в таблицах нормальных ударных нагрузок, перечисленных в большинстве учебников по потокам сжимаемых жидкостей. Заданный поток с постоянной площадью воздуховода может переключаться между моделями Фанно и Рэлея в этих точках.

См. также

• Рэлеевский поток
• Массовый расход впрыска
• Изэнтропический процесс
• Изотермический поток
• Газодинамика
• Сжимаемый поток
• Задушенный поток
• Энтальпия
• Энтропия
• Изэнтропический поток сопла

Внешние ссылки

• Калькуляторы адиабатического и изотермического расхода Фанно Университета Пердью
• Веб-калькулятор расхода Фанно Университета Кентукки
• Морис В. Дауни, Джино Фанно