Рэлеевский поток

Поток Рэлея относится к неадиабатическому потоку без трения через воздуховод постоянной площади, в котором учитывается эффект подвода или отвода тепла. сжимаемости Часто учитываются эффекты , хотя модель течения Рэлея, безусловно, применима и к несжимаемому потоку . В этой модели площадь воздуховода остается постоянной, и масса внутри воздуховода не добавляется. Поэтому, в отличие от потока Фанно , температура торможения является переменной величиной. Добавление тепла вызывает снижение давления торможения , которое известно как эффект Рэлея и имеет решающее значение при проектировании систем сгорания. Добавление тепла приведет к тому, что как сверхзвуковые , так и дозвуковые числа Маха будут приближаться к 1 Маха, что приведет к дросселированию потока . И наоборот, отвод тепла уменьшает дозвуковое число Маха и увеличивает сверхзвуковое число Маха вдоль воздуховода. Можно показать, что для калорически совершенных потоков максимальная энтропия возникает при M = 1. Поток Рэлея назван в честь Джона Стратта, 3-го барона Рэлея .

Теория

Рисунок 1. Линия Рэлея нанесена на безразмерную ось H-ΔS.

Модель потока Рэлея начинается с дифференциального уравнения , которое связывает изменение числа Маха с изменением температуры торможения T ₀ . Дифференциальное уравнение показано ниже.

$\ {\frac {dM^{2}}{M^{2}}}={\frac {1+\gamma M^{2}}{1-M^{2}}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right){\frac {dT_{0}}{T_{0}}}$

Решение дифференциального уравнения приводит к соотношению, показанному ниже, где T ₀ * — температура торможения в месте горловины воздуховода, необходимая для термического дросселирования потока.

$\ {\frac {T_{0}}{T_{0}^{*}}}={\frac {2\left(\gamma +1\right)M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)$

Эти значения важны при проектировании систем сгорания. Например, если камера сгорания турбореактивного двигателя имеет максимальную температуру Т ₀ * = 2000 К, Т ₀ и М на входе в камеру сгорания должны быть выбраны таким образом, чтобы не возникало термического удушья, которое будет ограничивать массовый расход воздуха. в двигатель и уменьшите тягу.

Для модели потока Рэлея безразмерное изменение соотношения энтропии показано ниже.

$\ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[M^{2}\left({\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]$

Приведенное выше уравнение можно использовать для построения линии Рэлея на графике зависимости числа Маха от ΔS, но чаще используется безразмерная диаграмма зависимости энтальпии H от ΔS. Безразмерное уравнение энтальпии показано ниже вместе с уравнением, связывающим статическую температуру с ее значением в месте расположения дросселя для калорически совершенного газа, где теплоемкость при постоянном давлении c _p остается постоянной.

${\begin{aligned}H&={\frac {h}{h^{*}}}={\frac {c_{p}T}{c_{p}T^{*}}}={\frac {T}{T^{*}}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&={\frac {\left(\gamma +1\right)^{2}M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$

Вышеупомянутым уравнением можно манипулировать, чтобы найти M как функцию H. Однако из-за формы уравнения T/T* формируется сложное многокорневое соотношение для M = M(T/T*). Вместо этого M можно выбрать в качестве независимой переменной, где ΔS и H можно сопоставить на диаграмме, как показано на рисунке 1. Рисунок 1 показывает, что нагрев будет увеличивать дозвуковое число Маха на входе до тех пор, пока M = 1,0 и поток не закроется . И наоборот, добавление тепла к воздуховоду со сверхзвуковым числом Маха вверх по потоку приведет к уменьшению числа Маха до тех пор, пока поток не задохнется. Охлаждение дает противоположный результат в каждом из этих двух случаев. Модель течения Рэлея достигает максимальной энтропии при M = 1,0. Для дозвукового течения максимальное значение H возникает при M = 0,845. Это указывает на то, что охлаждение вместо нагрева приводит к изменению числа Маха от 0,845 до 1,0. Это не обязательно верно, поскольку температура торможения всегда увеличивается, чтобы переместить поток от дозвукового числа Маха к M = 1, а от M = 0,845 к M = 1,0 поток ускоряется быстрее, чем в него поступает тепло. Следовательно, это ситуация, когда тепло добавляется, но T/T* уменьшается в этой области.

Дополнительные отношения

Для течения Рэлея площадь и массовый расход остаются постоянными. В отличие от потока Фанно, коэффициент трения Фаннинга f остается постоянным. Эти отношения показаны ниже символом *, обозначающим место в горле, где может произойти удушье.

${\begin{aligned}A&=A^{*}={\mbox{constant}}\\{\dot {m}}&={\dot {m}}^{*}={\mbox{constant}}\\\end{aligned}}$

Дифференциальные уравнения также могут быть разработаны и решены для описания коэффициентов свойств потока Рэлея относительно значений в месте дросселирования. Соотношения давления, плотности, статической температуры, скорости и давления торможения показаны ниже соответственно. Они представлены графически вместе с уравнением соотношения температур торможения из предыдущего раздела. Свойство застоя содержит индекс «0».

${\begin{aligned}{\frac {p}{p^{*}}}&={\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\\{\frac {\rho }{\rho ^{*}}}&={\frac {1+\gamma M^{2}}{\left(\gamma +1\right)M^{2}}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&={\frac {\left(\gamma +1\right)^{2}M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\\{\frac {v}{v^{*}}}&={\frac {\left(\gamma +1\right)M^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\\{\frac {p_{0}}{p_{0}^{*}}}&={\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\end{aligned}}$

Приложения

Рисунок 3. Диаграмма пересечения линий Фанно и Рэлея.

Модель потока Рэлея имеет множество аналитических применений, особенно в отношении авиационных двигателей. Например, камеры сгорания турбореактивных двигателей обычно имеют постоянную площадь, а прирост массы топлива незначителен. Эти свойства делают модель потока Рэлея применимой для подвода тепла к потоку при сгорании, предполагая, что подвод тепла не приводит к диссоциации топливовоздушной смеси. Создание ударной волны внутри камеры сгорания двигателя из-за термического дросселирования весьма нежелательно из-за снижения массового расхода и тяги. Таким образом, модель потока Рэлея имеет решающее значение для первоначального проектирования геометрии воздуховода и температуры сгорания двигателя.

Модель потока Рэлея также широко используется вместе с моделью потока Фанно . Эти две модели пересекаются в точках на диаграммах энтальпия-энтропия и число Маха-энтропия, что имеет смысл для многих приложений. Однако значения энтропии для каждой модели не равны в звуковом состоянии. Изменение энтропии равно 0 при M = 1 для каждой модели, но предыдущее утверждение означает, что изменение энтропии от одной и той же произвольной точки до звуковой точки различно для моделей потока Фанно и Рэлея. начальные значения s _i и Mi _, Если определены для каждой модели можно определить новое уравнение для безразмерной энтропии в зависимости от числа Маха. Эти уравнения показаны ниже для потоков Фанно и Рэлея соответственно.

${\begin{aligned}\Delta S_{F}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=ln\left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]\\\Delta S_{R}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=ln\left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{2}\left({\frac {1+\gamma M_{i}^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]\end{aligned}}$

На рисунке 3 показаны линии Рэлея и Фанно, пересекающиеся друг с другом для начальных условий s _i = 0 и Mi ₌ 3,0. Точки пересечения рассчитываются путем приравнивания друг к другу новых безразмерных уравнений энтропии, что приводит к приведенному ниже соотношению.

$\ \left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}\right)\left[{\frac {M_{i}^{2}}{\left(1+\gamma M_{i}^{2}\right)^{2}}}\right]=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\left[{\frac {M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\right]$

Точки пересечения возникают при заданном начальном числе Маха и его постнормальном ударном значении. Для рисунка 3 эти значения составляют M = 3,0 и 0,4752, которые можно найти в таблицах нормальных ударных нагрузок, перечисленных в большинстве учебников по потокам сжимаемых жидкостей. Заданный поток с постоянной площадью воздуховода может переключаться между моделями Рэлея и Фанно в этих точках.

См. также

• Они текут
• Массовый расход впрыска
• Изэнтропический процесс
• Изотермический поток
• Газодинамика
• Сжимаемый поток
• Задушенный поток
• Энтальпия
• Энтропия

Ссылки

• Стратт, Джон Уильям (лорд Рэлей) (1910). «Воздушные плоские волны конечных амплитуд» . Учеб. Р. Сок. Лонд. А. ​ 84 (570): 247–284. Бибкод : 1910RSPSA..84..247R . дои : 10.1098/rspa.1910.0075 . , также в:
  • Дувр, изд. (1964). Научные труды лорда Рэлея (Джон Уильям Стратт) . Том. 5. С. 573–610.
• Цукер, Роберт Д.; Библарз О. (2002). «Глава 10. Поток Рэлея». Основы газовой динамики . Джон Уайли и сыновья . стр. 277–313. ISBN  0-471-05967-6 .
• Шапиро, Ашер Х. (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости, Том 1 . Рональд Пресс . ISBN  978-0-471-06691-0 .
• Ходж, Британская Колумбия; Кениг К. (1995). Динамика сжимаемой жидкости с приложениями для персонального компьютера . Прентис Холл . ISBN  0-13-308552-Х .
• Эмануэль, Г. (1986). «Глава 8.2 Рэлеевский поток». Газодинамика: теория и приложения . АИАА . стр. 121–133. ISBN  0-930403-12-6 .

Внешние ссылки

• Калькулятор потока Рэлея Университета Пердью
• Веб-калькулятор потока Рэлея Университета Кентукки