Массовый расход впрыска

Массовый впрыскиваемый поток ( также известный как поток Лимбаха) относится к невязкому адиабатическому потоку через канал постоянной площади , в котором учитывается эффект добавления массы. Для этой модели площадь воздуховода остается постоянной, поток предполагается стационарным и одномерным, а масса внутри воздуховода добавляется. Поскольку течение адиабатическое, в отличие от течения Рэлея , температура торможения постоянна. ^{[ 1 ]} сжимаемости Часто учитываются эффекты , хотя эта модель течения также применима к несжимаемому потоку .

Для сверхзвукового потока ( число Маха выше 1) происходит замедление с добавлением массы в воздуховод, и поток может засориться . И наоборот, для дозвукового потока (число Маха против потока меньше 1) происходит ускорение, и поток может задохнуться при достаточном добавлении массы. Следовательно, добавление массы приведет к тому, что как сверхзвуковые, так и дозвуковые числа Маха будут приближаться к 1 Маха, что приведет к дросселированию потока.

Теория

Одномерная модель потока с впрыском массы начинается с соотношения массы и скорости, полученного для впрыска массы в устойчивый, адиабатический, без трения, поток с постоянной площадью калорически совершенного газа:

$\ {\frac {dm}{m}}=-{\frac {du}{u}}\left(M^{2}-1\right)$

где $m$ представляет собой поток массы , $m={\dot {m}}/A$ . Это выражение описывает, как будет меняться скорость при изменении массового потока (т.е. как изменение массового потока $dm$ вызывает изменение скорости $du$ ). Из этого соотношения видны два различных режима поведения:

Когда течение дозвуковое ( $M<1$ ) количество $[M^{2}-1]$ отрицательно, поэтому правая часть уравнения становится положительной. Это указывает на то, что увеличение массового потока приведет к увеличению дозвуковой скорости потока до 1 Маха.
Когда поток сверхзвуковой ( $M>1$ ) количество $[M^{2}-1]$ положительно, поэтому правая часть уравнения становится отрицательной. Это указывает на то, что увеличение массового потока приведет к снижению скорости сверхзвукового потока до 1 Маха.

Из соотношения масса-скорость можно вывести явное соотношение масса-Мах:

${\frac {dm}{m}}={\frac {1-M^{2}}{M+{\frac {1}{2}}M^{3}(\gamma -1)}}dM$

Выводы

Хотя потоки Фанно и поток Рэлея подробно описаны во многих учебниках, поток впрыска массы — нет. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} По этой причине здесь приводятся выводы фундаментальных свойств массового потока. В следующих выводах константа $R$ используется для обозначения удельной газовой постоянной (т.е. $R={\bar {R}}/M$ ).

Соотношение массы и скорости

Начнем с установления связи между дифференциальной энтальпией, давлением и плотностью калорически совершенного газа:

{\begin{aligned}h&=c_{p}T\\h&=c_{p}\left({\frac {pv}{R}}\right)\\dh&={\frac {c_{p}}{R}}d(pdv+vdp)\\{\frac {dh}{h}}&=\left({\frac {\cancel {R}}{{\cancel {c_{p}}}pv}}\right){\cancel {\frac {c_{p}}{R}}}(pdv+vdp)\\{\frac {dh}{h}}&={\frac {dp}{p}}+{\frac {dv}{v}}\\{\frac {dh}{h}}&={\frac {dp}{p}}-{\frac {d\rho }{\rho }}\\\end{aligned}}

( 1 )

Из уравнения адиабатической энергии ( $dh_{0}=0$ ) ^{[ 1 ]} мы находим:

{\begin{aligned}h+{\frac {u^{2}}{2}}&=h_{0}\\dh+{\frac {1}{2}}d(uu)&={\cancel {dh_{0}}}\\dh+{\frac {1}{2}}(udu+udu)&=0\\dh+udu&=0\\{\frac {dh}{h}}+{\frac {udu}{h}}&=0\end{aligned}}

( 2 )

Подстановка соотношения энтальпия-давление-плотность ( 1 ) в соотношение адиабатической энергии ( 2 ) дает

{\begin{aligned}{\frac {dp}{p}}-{\frac {d\rho }{\rho }}+{\frac {udu}{h}}&=0\end{aligned}}

( 3 )

Далее находим связь между дифференциальной плотностью и массовым потоком ( $m={\dot {m}}/A$ ) и скорость:

{\begin{aligned}{\dot {m}}&=\rho uA\\m&=\rho u\\\rho &={\frac {m}{u}}\\d\rho &={\frac {udm-mdu}{u^{2}}}\\{\frac {d\rho }{\rho }}&={\frac {dm}{m}}-{\frac {du}{u}}\end{aligned}}

( 4 )

Подстановка соотношения плотность-масса-скорость ( 4 ) в модифицированное соотношение энергии ( 3 ) дает

{\begin{aligned}{\frac {dp}{p}}-{\frac {dm}{m}}+{\frac {du}{u}}+{\frac {udu}{h}}&=0\end{aligned}}

( 5 )

Подставив одномерное уравнение сохранения импульса установившегося потока (см. также уравнения Эйлера ) вида $dp=-\rho udu$ ^{[ 5 ]} в ( 5 ) дает

{\begin{aligned}0&={\frac {-\rho udu}{p}}-{\frac {dm}{m}}+{\frac {du}{u}}+{\frac {udu}{h}}\\{\frac {dm}{m}}&={\frac {-\rho udu}{p}}+{\frac {du}{u}}+{\frac {udu}{h}}\\&={\frac {du}{u}}\left({\frac {-\rho u^{2}}{p}}+{\frac {u^{2}}{h}}+1\right)\\{\frac {dm}{m}}&={\frac {du}{u}}\left[\left({\frac {1}{h}}-{\frac {\rho }{p}}\right)u^{2}+1\right]\end{aligned}}

( 6 )

Из закона идеального газа находим:

{\frac {\rho }{p}}={\frac {1}{RT}}

( 7 )

и из определения калорически совершенного газа ^{[ 1 ]} мы находим,

h=c_{p}T=\left({\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\right)T

( 8 )

Подстановка выражений ( 7 ) и ( 8 ) в объединенное уравнение ( 6 ) дает

{\begin{aligned}{\frac {dm}{m}}&={\frac {du}{u}}\left[\left({\frac {\gamma -1}{\gamma RT}}-{\frac {1}{RT}}\right)u^{2}+1\right]\\{\frac {dm}{m}}&={\frac {du}{u}}\left[\left({\frac {-1}{\gamma RT}}\right)u^{2}+1\right]\end{aligned}}

( 9 )

Используя скорость звука в идеальном газе ( $a^{2}=\gamma RT$ ) ^{[ 1 ]} и определение числа Маха ( $M=u/a$ ) ^{[ 1 ]} урожайность

{\begin{aligned}{\frac {dm}{m}}&={\frac {du}{u}}\left[\left({\frac {-u^{2}}{a^{2}}}\right)+1\right]\end{aligned}}

( 10 )

Соотношение массы и скорости

${\frac {dm}{m}}=-{\frac {du}{u}}[M^{2}-1]$

Это соотношение массы и скорости для впрыска массы в устойчивый, адиабатический, без трения, поток с постоянной площадью калорически совершенного газа.

Соотношение массы и Маха

Чтобы найти связь между дифференциальной массой и числом Маха, найдем выражение для $du/u$ исключительно по числу Маха, $M$ . Затем мы можем подставить это выражение в соотношение масса-скорость, чтобы получить соотношение масса-Мах. Начнем с того, что соотнесем дифференциальную скорость, число Маха и скорость звука:

{\begin{aligned}u&=Ma\\du&=adM+Mda\end{aligned}}

( 11 )

Теперь мы можем повторно выразить $da$ с точки зрения $dT$ :

{\begin{aligned}a&=(\gamma RT)^{1/2}\\da&={\frac {1}{2}}(\gamma RT)^{-1/2}\cdot \gamma RdT\\da&={\frac {\gamma R}{2a}}dT\end{aligned}}

( 12 )

Подстановка ( 12 ) в ( 11 ) дает:

{\begin{aligned}du&=adM+M{\frac {\gamma R}{2a}}dT\\{\frac {du}{u}}&={\frac {dM}{M}}+{\frac {\gamma R}{2a^{2}}}dT\\&={\frac {dM}{M}}+{\frac {\cancel {\gamma R}}{2{\cancel {\gamma R}}T}}dT\\{\frac {du}{u}}&={\frac {dM}{M}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dT}{T}}\end{aligned}}

( 13 )

Теперь мы можем повторно выразить $dT$ с точки зрения $du$ :

{\begin{aligned}h_{0}&=c_{p}T+{\frac {1}{2}}u^{2}\\{\cancel {dh_{0}}}&=c_{p}dT+udu=0\\dT&=-udu\left({\frac {1}{c_{p}}}\right)\\{\frac {dT}{T}}&={\frac {-udu}{T}}\left({\frac {\gamma -1}{\gamma R}}\right)\\&={\frac {-udu}{a^{2}}}(\gamma -1)\\&={\frac {-uduM^{2}}{u^{2}}}(\gamma -1)\\{\frac {dT}{T}}&=-M^{2}(\gamma -1){\frac {du}{u}}\end{aligned}}

( 14 )

Подставив ( 14 ) в ( 13 ), мы можем полностью создать выражение в терминах $du$ и $dM$ . Выполнив эту замену и найдя $du/u$ урожайность,

{\begin{aligned}{\frac {du}{u}}&={\frac {dM}{M}}-{\frac {M^{2}(\gamma -1)}{2}}{\frac {du}{u}}\\{\frac {dM}{M}}&={\frac {du}{u}}\left(1+{\frac {M^{2}(\gamma -1)}{2}}\right)\\{\frac {du}{u}}&={\frac {dM}{M}}\left(1+{\frac {M^{2}(\gamma -1)}{2}}\right)^{-1}\end{aligned}}

( 15 )

Наконец, выражение ( 15 ) для $du/u$ с точки зрения $dM$ можно подставить непосредственно в соотношение масса-скорость ( 10 ):

{\begin{aligned}{\frac {dm}{m}}&=-\left[{\frac {dM}{M}}\left(1+{\frac {M^{2}(\gamma -1)}{2}}\right)^{-1}\right]\cdot [M^{2}-1]\end{aligned}}

( 16 )

Соотношение массы и Маха

${\frac {dm}{m}}={\frac {1-M^{2}}{M+{\frac {1}{2}}M^{3}(\gamma -1)}}dM$

Это соотношение массы и Маха для впрыска массы в устойчивый, адиабатический, без трения, поток с постоянной площадью калорически совершенного газа.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Андерсон, Джон Дэвид (2002). Современный сжимаемый поток: с исторической точки зрения (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0072424435 .
^ Шапиро, А.Х., Динамика и термодинамика потока сжимаемой жидкости, Том 1 , Ronald Press, 1953.
^ Цукер, Р.Д., Библарц, О., Основы газовой динамики , John Wiley & Sons, 2002.
^ Ходж, Б.К., и Кениг, К., Динамика сжимаемой жидкости с приложениями для персональных компьютеров , Прентис Холл, 1995.
^ «Сохранение импульса, одно измерение, устойчивый поток» . Исследовательский центр Гленна НАСА.

[anderson-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Андерсон, Джон Дэвид (2002). Современный сжимаемый поток: с исторической точки зрения (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0072424435 .

[2] Шапиро, А.Х., Динамика и термодинамика потока сжимаемой жидкости, Том 1 , Ronald Press, 1953.

[3] Цукер, Р.Д., Библарц, О., Основы газовой динамики , John Wiley & Sons, 2002.

[4] Ходж, Б.К., и Кениг, К., Динамика сжимаемой жидкости с приложениями для персональных компьютеров , Прентис Холл, 1995.

[5] «Сохранение импульса, одно измерение, устойчивый поток» . Исследовательский центр Гленна НАСА.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]