Положительная гармоническая функция

В математике положительная гармоническая функция на единичном круге в комплексных числах характеризуется как интеграл Пуассона от конечной положительной меры на круге. Этот результат, теорема о представлении Герглотца-Рисса , был независимо доказан Густавом Герглотцем и Фриджесом Риссом в 1911 году. Его можно использовать для получения связанной формулы и характеристики любой голоморфной функции на единичном круге с положительной вещественной частью. Такие функции уже были охарактеризованы в 1907 году Константином Каратеодори с точки зрения положительной определенности их коэффициентов Тейлора .

функций

Положительная функция f на единичном круге с f (0) = 1 является гармонической тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера µ на ​​единичном круге такая, что

$f(re^{i\theta })=\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,d\mu (\varphi ).$

Формула явно определяет положительную гармоническую функцию с f (0) = 1.

И наоборот, если f положительна и гармонична, а r _n увеличивается до 1, определите

$f_{n}(z)=f(r_{n}z).\,$

Затем

$f_{n}(re^{i\theta })={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,f_{n}(\varphi )\,d\phi =\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}d\mu _{n}(\varphi )$

где

$d\mu _{n}(\varphi )={1 \over 2\pi }f(r_{n}e^{i\varphi })\,d\varphi$

является вероятностной мерой.

По соображениям компактности (или, что то же самое, в данном случае Теорема выбора Хелли для интегралов Стилтьеса ), подпоследовательность этих вероятностных мер имеет слабый предел, который также является вероятностной мерой µ.

Поскольку r _n увеличивается до 1, так что f _n ( z ) стремится к f ( z ), следует формула Герглотца.

функций

Голоморфная функция f на единичном круге с f (0) = 1 имеет положительную действительную часть тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера µ на ​​единичном круге такая, что

$f(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ).$

Это следует из предыдущей теоремы, поскольку:

• ядро Пуассона - это действительная часть подынтегральной функции, указанной выше.
• действительная часть голоморфной функции гармонична и определяет голоморфную функцию с точностью до добавления скаляра
• приведенная выше формула определяет голоморфную функцию, действительная часть которой определяется предыдущей теоремой

Каратеодори для голоморфных

Позволять

$f(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots$

— голоморфная функция на единичном круге. Тогда f ( z ) имеет положительную действительную часть на дискетогда и только тогда, когда

$\sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}\geq 0$

для любых комплексных чисел λ ₀ , λ ₁ , ..., λ _N , где

$a_{0}=2,\,\,\,a_{-m}={\overline {a_{m}}}$

для м > 0.

Действительно, из представления Герглотца при n > 0

$a_{n}=2\int _{0}^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\mu (\theta ).$

Следовательно

$\sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=\int _{0}^{2\pi }\left|\sum _{n}\lambda _{n}e^{-in\theta }\right|^{2}\,d\mu (\theta )\geq 0.$

Обратно, полагая λ _n = z ^н ,

$\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=2(1-|z|^{2})\,\Re \,f(z).$

См. также

• Теорема Бохнера

Ссылки

• Каратеодори, К. (1907), «Об области изменчивости коэффициентов степенных рядов, не принимающих заданных значений» , Ann. , 64 : 95–115, doi : 10.1007/bf01449883 , S2CID   116695038
• Дюрен, П.Л. (1983), Однолистные функции , Основы математических наук, вып. 259, Springer Verlag, ISBN  0-387-90795-5
• Герглотц, Г. (1911), «О степенных рядах с положительной вещественной частью в единичном круге», Ber. Висс. Лейпциг , 63 : 501–511.
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой Герда Йенсена, посвященной квадратичным дифференциалам , Studia Mathematica / Mathematical Textbooks, vol. 15, Ванденхук и Рупрехт
• Рисс, Ф. (1911), “О некоторых сингулярных системах интегральных уравнений”, Ann. наук. Эк. Норм. Большой. , 28 :33–62, doi : 10.24033/asens.633