Эквивариантная дифференциальная форма

В дифференциальной геометрии эквивариантная дифференциальная форма на многообразии M, на которую действует группа Ли G, является полиномиальным отображением.

\alpha :{\mathfrak {g}}\to \Omega ^{*}(M)

из алгебры Ли ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ к пространству дифференциальных форм на M эквивариантных ; то есть,

\alpha (\operatorname {Ad} (g)X)=g\alpha (X).

Другими словами, эквивариантная дифференциальная форма — это инвариантный элемент ^{[ 1 ]}

\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\otimes \Omega ^{*}(M)=\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \Omega ^{*}(M).

Для эквивариантной дифференциальной формы $\alpha$ , эквивариантная внешняя производная $d_{\mathfrak {g}}\alpha$ из $\alpha$ определяется

(d_{\mathfrak {g}}\alpha )(X)=d(\alpha (X))-i_{X^{\#}}(\alpha (X))

где d — обычная внешняя производная и $i_{X^{\#}}$ является внутренним произведением фундаментального векторного поля, порожденного X . Это легко увидеть $d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0$ (используйте тот факт, что производная Ли $\alpha (X)$ вдоль $X^{\#}$ равно нулю), а затем кладут

H_{G}^{*}(X)=\ker d_{\mathfrak {g}}/\operatorname {im} d_{\mathfrak {g}},

которая называется эквивариантными когомологиями М (которая совпадает с обычными эквивариантными когомологиями , определенными в терминах борелевской конструкции ). Определение принадлежит А. Картану. Это понятие имеет приложение к эквивариантной теории индекса .

$d_{\mathfrak {g}}$ -закрытый или $d_{\mathfrak {g}}$ -точные формы называются эквивариантно замкнутыми или эквивариантно точными .

Интеграл эквивариантно замкнутой формы можно вычислить по его ограничению на неподвижную точку с помощью формулы локализации .

Ссылки

^ Доказательство: с $V=\Omega ^{*}(M)$ , у нас есть: $\operatorname {Mor} _{G}({\mathfrak {g}},V)=\operatorname {Mor} ({\mathfrak {g}},V)^{G}=(\operatorname {Mor} ({\mathfrak {g}},\mathbb {C} )\otimes V)^{G}.$ Примечание $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ — кольцо многочленов от линейных функционалов от ${\mathfrak {g}}$ ; см. кольцо полиномиальных функций . См. также https://math.stackexchange.com/q/101453 комментарий М. Эмертона.