Флуктуационное рассеяние рентгеновских лучей

Эксперимент по флуктуационному рассеянию собирает серию рентгеновских дифракционных снимков нескольких белков (или других частиц) в растворе. Сверхъяркий рентгеновский лазер обеспечивает быстрые снимки, содержащие элементы, которые являются неизотропными по углу (спеклы), что в конечном итоге приводит к детальному пониманию структуры образца.

Флуктуационное рассеяние рентгеновских лучей ( FXS ) представляет собой метод рассеяния рентгеновских лучей, аналогичный малоугловому рассеянию рентгеновских лучей (SAXS), но выполняется с использованием рентгеновского облучения, время которого меньше времени вращательной диффузии образца . Этот метод, в идеале выполняемый с использованием сверхяркого источника рентгеновского света, такого как лазер на свободных электронах , приводит к получению данных, содержащих значительно больше информации по сравнению с традиционными методами рассеяния.

FXS можно использовать для определения (крупных) макромолекулярных структур, но также нашел применение при характеристике металлических наноструктур, магнитные домены и коллоиды.

Самая общая настройка FXS — это ситуация, в которой делаются быстрые дифракционные снимки моделей, которые в течение длительного периода времени подвергаются полному трехмерному вращению. Особенно интересным подклассом FXS является двумерный случай, когда образец можно рассматривать как двумерную систему с частицами, демонстрирующими случайное вращение в плоскости. В этом случае существует аналитическое решение, связывающее данные FXS со структурой. В отсутствие ограничений симметрии аналитическая связь данных со структурой для трехмерного случая недоступна, хотя различные итерационные процедуры были разработаны .

Обзор

Эксперимент FXS состоит из сбора большого количества рентгеновских снимков образцов в различной случайной конфигурации. Вычисляя корреляции угловой интенсивности для каждого изображения и усредняя их по всем снимкам, среднюю двухточечную корреляционную функцию можно подвергнуть конечному преобразованию Лежандра , в результате чего получается набор так называемых кривых B _l (q,q') , где l — порядок полинома Лежандра, а q/q’ — передача импульса или обратное разрешение данных.

Математическая основа

Визуальное представление математических соотношений в флуктуационном рассеянии рентгеновских лучей иллюстрирует связь между плотностью электронов, амплитудой рассеяния, дифрагированными интенсивностями и данными угловой корреляции. Изображение изменено с

Дана частица с распределением плотности $\rho (\mathbf {r} )$, соответствующий трехмерный комплексный структурный фактор $A(\mathbf {q} )$ получается с помощью преобразования Фурье

$A(\mathbf {q} )=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\exp[i\mathbf {qr} ]d\mathbf {r}$

Функция интенсивности, соответствующая комплексному структурному фактору, равна

$I(\mathbf {q} )=A(\mathbf {q} )A(\mathbf {q} )^{*}$

где $^{*}$ обозначает комплексное сопряжение. Выражение $I(\mathbf {q} )$ как ряд сферических гармоник , получаем

$I(\mathbf {q} )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}I_{lm}(q)Y_{l}^{m}(\theta _{q},\phi _{q})$

Средняя угловая корреляция интенсивности, полученная на основе многих дифракционных изображений. $J_{k}(q,\phi _{q})$ тогда

$C_{2}(q,q',\Delta \phi _{q})={\frac {1}{2\pi N}}\sum _{Nimages}\int _{0}^{2\pi }J_{k}(q,\phi _{q})J_{k}(q',\phi _{q}+\Delta \phi _{q})d\phi _{q}$

Можно показать, что

$C_{2}(q,q',\Delta \phi _{q})=\sum _{l}B_{l}(q,q')P_{l}(\cos(\theta _{q})\cos(\theta _{q'})+\sin(\theta _{q})\sin(\theta _{q'})\cos[\Delta \phi _{q}])$

где

$\theta _{q}=\arccos({\frac {q\lambda }{4\pi }})$

с $\lambda$ равна используемой длине волны рентгеновского излучения, и

$B_{l}(q,q')=\sum _{m=-l}^{l}I_{lm}(q)I_{lm}^{*}(q')$

$P_{l}(\cdot )$ является полиномом Лежандра . Набор $B_{l}(q,q')$ кривые могут быть получены с помощью конечного преобразования Лежандра из наблюдаемой автокорреляции $C_{2}(q,q',\Delta \phi _{q})$ и, таким образом, непосредственно связаны со структурой $\rho (\mathbf {r} )$ через приведенные выше выражения.

Дополнительные соотношения можно получить, получив автокорреляцию реального пространства $\gamma (\mathbf {r} )$ плотности:

$\gamma (\mathbf {r} )=\int _{V}\rho (u)\rho (\mathbf {r} -\mathbf {u} )d\mathbf {u}$

Последующее расширение $\gamma (\mathbf {r} )$ в ряду сферических гармоник приводит к коэффициентам радиального расширения, которые связаны с функцией интенсивности через преобразование Ханкеля

$I_{lm}(q)=\int _{0}^{\infty }\gamma _{lm}(r)j_{l}(qr)r^{2}dr$

Краткий обзор этих отношений был опубликован в другом месте.

Основные отношения

Обобщенный закон Гинье, описывающий поведение данных с низким разрешением, можно вывести из приведенных выше выражений:

$\log B_{l}(q)-2l\log q\approx \log B_{l}^{*}-{\frac {2q^{2}R_{l}^{2}}{2l+3}}$

Ценности $B_{l}^{*}$ и $R_{l}$ может быть получено путем анализа методом наименьших квадратов данных с низким разрешением.

Спад данных при более высоком разрешении регулируется законами Порода. Это можно показать что законы Порода, полученные для данных SAXS/WAXS, справедливы и здесь, что в конечном итоге приводит к:

$B_{l}(q)\propto q^{-8}$

для частиц с четко определенными интерфейсами.

Определение структуры по данным FXS

В настоящее время существует три способа определения молекулярной структуры на основе соответствующих данных FXS.

Алгебраическая фазировка

Принимая конкретную симметричную конфигурацию окончательной модели, можно использовать отношения между коэффициентами расширения, описывающими картину рассеяния основных видов, для определения картины дифракции, согласующейся с данными корреляции измерений. Было показано, что этот подход возможен для икосаэдрических и спиральные модели.

Обратный Монте-Карло

Представляя структуру, подлежащую определению, как совокупность независимых рассеивающих вокселей, определение структуры на основе данных FXS превращается в глобальную задачу оптимизации и может быть решено с использованием моделирования отжига.

Многоуровневая итеративная поэтапность

Многоуровневый итеративный алгоритм фазирования (M-TIP) преодолевает проблемы сходимости, связанные с обратной процедурой Монте-Карло, и устраняет необходимость использовать или выводить определенные ограничения симметрии, необходимые для алгебраического метода. Алгоритм M-TIP использует нетривиальные проекции, которые изменяют набор факторов структуры испытания. $A(\mathbf {q} )$ такой, что соответствующий $B_{l}(q,q')$ соответствовать наблюдаемым значениям. Изображение в реальном пространстве $\rho (\mathbf {r} )$, полученное преобразованием Фурье $A(\mathbf {q} )$ впоследствии модифицируется для обеспечения симметрии, позитивности и компактности. Процедура M-TIP может начинаться со случайной точки и имеет хорошие свойства сходимости.