Вращательная диффузия

Вращательная диффузия – это вращательное движение, которое действует на любой объект, например частицы , молекулы , атомы, присутствующие в жидкости , путем случайных изменений их ориентации .Хотя направления и интенсивность этих изменений статистически случайны, они не возникают случайно, а являются результатом взаимодействия между частицами. Один из примеров встречается в коллоидах , где относительно крупные нерастворимые частицы суспендированы в большем количестве жидкости. Изменения ориентации происходят в результате столкновений между частицей и множеством молекул, образующих жидкость, окружающую частицу, каждая из которых передает кинетическую энергию частице, и поэтому их можно считать случайными из-за различных скоростей и количества молекул жидкости, падающих на каждую частицу. отдельная частица в любой момент времени.

Аналог поступательной диффузии , которая определяет положение частицы в пространстве , вращательная диффузия рандомизирует ориентацию любой частицы, на которую она воздействует. Все в растворе подвергается вращательной диффузии: от микроскопического масштаба , где отдельные атомы могут влиять друг на друга, до макроскопического масштаба .

Приложения

Вращательная диффузия имеет множество применений в химии и физике и активно используется во многих областях биологии. Например, белок-белковое взаимодействие является жизненно важным шагом в передаче биологических сигналов. Чтобы общаться, белки должны как вступать в контакт друг с другом, так и располагаться соответствующим образом для взаимодействия с сайтом связывания друг друга , что зависит от способности белков вращаться. ^[1]В качестве примера из физики вращательное броуновское движение в астрономии можно использовать для объяснения ориентации плоскостей орбит двойных звезд , а также кажущихся случайными осей вращения сверхмассивных черных дыр . ^[2]

Случайная переориентация молекул (или более крупных систем) является важным процессом для многих биофизических исследований. Из-за теоремы о равнораспределении более крупные молекулы переориентируются медленнее, чем более мелкие объекты, и, следовательно, измерения констант вращательной диффузии могут дать представление об общей массе и ее распределении внутри объекта. Количественно средний квадрат угловой скорости объекта вокруг каждой из главных осей обратно пропорционален его моменту инерции относительно этой оси. Следовательно, должно быть три константы вращательной диффузии — собственные значения тензора вращательной диффузии, что приводит к пяти постоянным времени вращения . ^[3]^[4] Если два собственных значения тензора диффузии равны, частица диффундирует как сфероид с двумя уникальными скоростями диффузии и тремя постоянными времени. А если все собственные значения одинаковы, то частица диффундирует как сфера с одной постоянной времени. Тензор диффузии можно определить из коэффициентов трения Перрена по аналогии с соотношением Эйнштейна для поступательной диффузии, но он часто бывает неточным и требуется прямое измерение.

Тензор вращательной диффузии может быть определен экспериментально с помощью анизотропии флуоресценции , двойного лучепреломления потока , диэлектрической спектроскопии , релаксации ЯМР и других биофизических методов, чувствительных к пикосекундным или более медленным вращательным процессам. В некоторых методах, таких как флуоресценция, может быть очень сложно охарактеризовать полный тензор диффузии, например, иногда возможно измерение двух скоростей диффузии, когда между ними существует большая разница, например, для очень длинных и тонких эллипсоидов, таких как некоторые вирусы . Однако это не относится к чрезвычайно чувствительному методу ЯМР-релаксации с атомным разрешением, который можно использовать для полного определения тензора вращательной диффузии с очень высокой точностью. Вращательная диффузия макромолекул в сложных биологических жидкостях (например, цитоплазме) происходит достаточно медленно, чтобы ее можно было измерить методами с микросекундным временным разрешением, то есть корреляционной спектроскопией флуоресценции . ^[5]

Связь с поступательной диффузией

Во многом похоже на поступательную диффузию, при которой частицы в одной области с высокой концентрацией медленно меняют свое положение посредством случайных блужданий , пока они не будут почти одинаково распределены по всему пространству, при вращательной диффузии в течение длительных периодов времени направления, с которыми сталкиваются эти частицы, будут распространяться до тех пор, пока они не будут почти одинаково распределены по всему пространству. следовать полностью случайному распределению с почти равным количеством лиц, обращенных во всех направлениях. Поскольку удары окружающих частиц редко, если вообще когда-либо, происходят непосредственно в центре массы «целевой» частицы, каждый удар будет происходить не от центра, и поэтому важно отметить, что те же самые столкновения, которые вызывают поступательную диффузию, вызывают вращательную диффузию. поскольку часть энергии удара передается в поступательную кинетическую энергию , а часть — в крутящий момент .

Вращательная версия закона Фика.

вращательную версию закона диффузии Фика Можно определить . Пусть каждой вращающейся молекуле сопоставлен единичный вектор ${\hat {n}}$ ; например, ${\hat {n}}$ может представлять ориентацию электрического или магнитного дипольного момента . Пусть f ( θ, φ, t ) представляет собой распределение плотности вероятности для ориентации ${\hat {n}}$ во время т . Здесь θ и φ представляют собой сферические углы , причем θ представляет собой полярный угол между ${\hat {n}}$ ось z и φ — азимутальный угол ${\hat {n}}$ в плоскости ху .

Вращательная версия закона Фика гласит:

{\frac {1}{D_{\mathrm {rot} }}}{\frac {\partial f}{\partial t}}=\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}

.

Это уравнение в частных производных (УЧП) можно решить путем разложения f(θ, φ, t) по сферическим гармоникам. $Y_{l}^{m}$ для которого справедливо математическое тождество

{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y_{l}^{m}}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y_{l}^{m}}{\partial \phi ^{2}}}=-l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )

.

Таким образом, решение УЧП можно записать

f(\theta ,\phi ,t)=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}C_{lm}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )e^{-t/\tau _{l}}

,

где C _lm — константы, соответствующие начальному распределению, а постоянные времени равны

\tau _{l}={\frac {1}{D_{\mathrm {rot} }l(l+1)}}

.

Двумерная вращательная диффузия

Сфера, вращающаяся вокруг фиксированной оси, будет вращаться только в двух измерениях , и ее можно рассматривать сверху фиксированной оси как круг. В этом примере сфера, зафиксированная на вертикальной оси, вращается только вокруг этой оси, а это означает, что частица может иметь значение θ от 0 до 360 градусов или 2π радиан, прежде чем чистое вращение снова станет равным 0. ^[6]

Эти направления можно поместить на график, который охватывает все возможные положения лица относительно начальной точки, через 2π радиан, начиная с -π радиан и через 0 до π радиан. Предполагая, что все частицы начинаются с единственной ориентации, равной 0, первое измерение принятых направлений будет напоминать дельта-функцию в точке 0, поскольку все частицы будут находиться в своем начальном или 0-м положении и, следовательно, создавать бесконечно крутую одиночную линию. Со временем увеличение количества проводимых измерений приведет к разбросу результатов; при первоначальных измерениях на графике будет виден тонкий пик, поскольку частица может двигаться лишь незначительно за короткое время. Затем, по мере того, как проходит больше времени, вероятность того, что молекула повернется дальше от своей начальной точки, увеличивается, что расширяет пик до тех пор, пока не пройдет достаточно времени, чтобы измерения были равномерно распределены по всем возможным направлениям.

Распределение ориентаций достигнет точки, в которой они станут однородными , поскольку все они беспорядочно разойдутся и станут почти одинаковыми во всех направлениях. Это можно визуализировать двумя способами.

Для одной частицы с несколькими измерениями, выполненными во времени. Частица, область которой обозначена как ее грань, указывающая на начальную ориентацию, начиная с момента времени t _0, начнет с распределения ориентации, напоминающего одну линию, поскольку это единственное измерение. Каждое последующее измерение в момент времени, превышающее t _0, будет расширять пик, поскольку у частицы будет больше времени, чтобы повернуть от исходного положения.
Для нескольких частиц, измеренных один раз спустя долгое время после первого измерения . Тот же случай можно проделать с большим количеством молекул, начиная с соответствующей нулевой ориентации. Если предположить, что прошло достаточно времени, чтобы значение t 0 было намного больше, чем t ₀ , молекулы могли полностью повернуться, если того требуют силы, действующие на них, и одно измерение показывает, что они распределены почти равномерно.

Основные уравнения

Для вращательной диффузии вокруг одной оси среднеквадратичное угловое отклонение во времени $t$ является

\left\langle \theta ^{2}\right\rangle =2D_{r}t

,

где $D_{r}$ - коэффициент вращательной диффузии (в радианах ²/с). Угловая скорость дрейфа $\Omega _{d}=(d\theta /dt)_{\rm {drift}}$ в ответ на внешний крутящий момент $\Gamma _{\theta }$ (при условии, что поток остается нетурбулентным и инерционными эффектами можно пренебречь) определяется выражением

\Omega _{d}={\frac {\Gamma _{\theta }}{f_{r}}}

,

где $f_{r}$ – коэффициент сопротивления трения. Связь между коэффициентом вращательной диффузии и коэффициентом сопротивления вращательного трения определяется соотношением Эйнштейна (или соотношением Эйнштейна – Смолуховского):

D_{r}={\frac {k_{\rm {B}}T}{f_{r}}}

,

где $k_{\rm {B}}$ – постоянная Больцмана и $T$ это абсолютная температура. Эти отношения находятся в полной аналогии с трансляционной диффузией.

Коэффициент сопротивления трения вращения для сферы радиуса $R$ является

f_{r,{\textrm {sphere}}}=8\pi \eta R^{3}

где $\eta$ – динамическая (или сдвиговая) вязкость . ^[7]

Вращательная диффузия сфер, таких как наночастицы, может отличаться от ожидаемой в сложных средах, например, в полимерных растворах или гелях. Такое отклонение можно объяснить образованием обедненного слоя вокруг наночастицы. ^[8]

Динамика Ланжевена

Столкновения с окружающими молекулами жидкости создадут колеблющийся крутящий момент на сфере из-за различных скоростей, количества и направлений удара. При попытке повернуть сферу с помощью внешнего крутящего момента возникнет систематическое сопротивление вращению. Объединив эти два факта, можно записать уравнение типа Ланжевена :

${\frac {dL}{dt}}={I}\,\cdot {\frac {d^{2}{\phi }}{dt^{2}}}=-{\zeta }^{r}\cdot {\frac {d{\theta }}{dt}}+TB(t)$

Где:

L — угловой момент.
${\frac {dL}{dt}}$ это крутящий момент .
I — момент инерции относительно оси вращения.
это время.
t ₀ – время начала.
θ представляет собой угол между ориентацией в момент t ₀ и в любое время после t .
г ^р – коэффициент трения вращения.
TB(t) — это изменяющийся броуновский крутящий момент в момент времени t .

Общий крутящий момент на частице будет разницей между:

$TB(t)$ и $({\zeta }^{r}\cdot {\frac {d{\theta }}{dt}})$ .

Это уравнение представляет собой вращательную версию второго уравнения движения Ньютона . Например, в стандартных поступательных терминах ракета будет испытывать ускоряющую силу от двигателя и одновременно испытывать силу сопротивления со стороны воздуха, через который она движется. То же самое можно сказать и о вращающемся объекте.

Из-за случайного характера вращения частицы средний броуновский момент одинаков в обоих направлениях вращения. символизируется как:

$\left\langle TB(t)\right\rangle =0$

Это означает, что уравнение можно усреднить, чтобы получить:

${\frac {d\left\langle L\right\rangle }{dt}}=-{\zeta }^{r}\cdot \left\langle {\frac {d{\theta }}{dt}}\right\rangle =-{\frac {\zeta ^{r}}{I}}\left\langle L\right\rangle$

То есть первая производная по времени среднего углового момента равна отрицательному значению коэффициента трения вращения, деленного на момент инерции, умноженного на среднее значение углового момента.

Как ${\frac {d\left\langle L\right\rangle }{dt}}$ представляет собой скорость изменения углового момента с течением времени и равна отрицательному значению коэффициента, умноженному на $\left\langle L\right\rangle$ , это показывает, что угловой момент уменьшается со временем или затухает со временем затухания:

${\tau {_{L}}}={\frac {I}{\zeta ^{r}}}$ .

Для сферы массы m , однородной плотности ρ и радиуса a момент инерции равен:

$I={\frac {2ma^{2}}{5}}={\frac {8{\pi }{\rho }a^{5}}{15}}$ .

Как упоминалось выше, вращательное сопротивление определяется трением Стокса при вращении:

${\zeta ^{r}}=8\pi \eta a^{3}$

Объединив все уравнения и формулы, приведенные выше, получаем:

${\tau {_{L}}}={\frac {\rho a^{2}}{15\eta }}={\frac {3}{10}}\tau _{p}$ где:

$\tau _{p}$ это время релаксации импульса
η — вязкость жидкости, в которой находится сфера.

Пример: Сферическая частица в воде.

Допустим, существует вирус, который можно смоделировать как идеальную сферу со следующими условиями:

Радиус (а) 100 нм , а = 10 ⁻⁷м.
Плотность: ρ = 1500 кг·м ⁻³
Ориентация первоначально обращена в направлении, обозначенном π .
Подвешен в воде.
Вода имеет вязкость η = 8,9×10 ⁻⁴ Па·с при 25 °C
Предположим, что масса и плотность частицы одинаковы.

Сначала можно рассчитать массу вирусной частицы:

$m={\frac {4\rho \pi a^{3}}{3}}={\frac {4\times 1500\times \pi \times (10^{-7})^{3}}{3}}=6.3\times 10^{-18}kg$

Благодаря этому мы теперь знаем все переменные для расчета момента инерции:

$I={\frac {2ma^{2}}{5}}={\frac {2\times (6.3\times 10^{-18})\times (10^{-7})^{2}}{5}}=2.5\times 10^{-32}kg\cdot m^{2}$

Одновременно с этим мы также можем рассчитать сопротивление вращения:

$\zeta ^{r}=8\pi \eta a^{3}=8\times \pi \times (8.9\times 10^{-4})\times (10^{-7})^{3}=2.237\times 10^{-23}Pa\cdot s\cdot m^{3}$

Объединив эти уравнения, получим:

$\tau _{L}={\frac {I}{\zeta ^{r}}}={\frac {2.5\times 10^{-32}kg\cdot m^{2}}{2.2\times 10^{-23}Pa\cdot s\cdot m^{3}}}=1.1\times 10^{-9}kg\cdot Pa^{-1}\cdot s^{-1}\cdot m^{-1}$

Поскольку СИ для Паскаля единицы $kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}$ единицы в ответе можно сократить до следующего содержания:

$\tau _{L}=1.1\times 10^{-9}s$

В этом примере время распада вируса составляет порядка наносекунд.

Смолуховский описание вращения

Чтобы написать уравнение Смолуховского для частицы, вращающейся в двух измерениях, мы вводим плотность вероятности P(θ, t), чтобы найти вектор u под углом θ и временем t.Это можно сделать, написав уравнение неразрывности:

${\partial P(\theta ,t) \over \partial t}=-{\partial j(\theta ,t) \over \partial \theta }$

где ток можно записать как:

$j(\theta ,t)=-D^{r}{\partial P(\theta ,t) \over \partial \theta }$

Их можно объединить, чтобы получить уравнение вращательной диффузии:

${\partial P(\theta ,t) \over \partial t}=D^{r}{\partial ^{2}P(\theta ,t) \over \partial \theta ^{2}}=D^{r}P(\theta ,t)$

Мы можем выразить ток через угловую скорость, которая является результатом броуновского крутящего момента T _B через вращательную подвижность, с помощью уравнения:

$j_{B}(\theta ,t)={\dot {\theta }}_{B}P(\theta ,t)$

Где:

${\dot {\theta }}_{B}=\mu ^{r}T_{B}$
$T_{B}=-{\partial V_{B} \over \partial \theta }$
$V_{B}(\theta ,t)=k_{B}T\ln P(\theta ,t)$

Единственная разница между вращательной и поступательной диффузией в этом случае состоит в том, что во вращательной диффузии мы имеем периодичность по углу θ. Поскольку частица моделируется как сфера, вращающаяся в двух измерениях, пространство, которое может занять частица, компактно и конечно, поскольку частица может повернуть на расстояние 2π, прежде чем вернуться в исходное положение.

$P(\theta +2\pi ,t)={P(\theta ,t)}$

Мы можем создать условную плотность вероятности, которая представляет собой вероятность найти вектор u под углом θ и момент времени t, учитывая, что он находился под углом θ ₀ в момент времени t=0. Это записывается так:

$P(\theta ,0\mid \theta _{0})=\delta (\theta -\theta _{0})$

Решение этого уравнения можно найти через ряд Фурье:

$P(\theta ,t\mid \theta _{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[1+2\sum _{m=1}^{\infty }e^{-D^{r}m^{2}t}\cos m(\theta -\theta _{0})\right]={\frac {1}{2\pi }}\Theta _{3}({\frac {1}{2}}(\theta -\theta _{0}),e^{-D^{r}t})$

Где $\Theta _{3}(z,\tau )$ – тэта-функция Якобиа третьего рода.

Используя уравнение ^[9]

$\Theta _{3}(z,\tau )=(-i\tau )^{-1/2}\exp {\biggl (}{\frac {z^{2}}{i\pi \tau }}{\biggl )}\Theta _{3}{\biggl (}{\frac {z}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}{\biggl )}$

Условную функцию плотности вероятности можно записать как:

$P(\theta ,t\mid \theta _{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{r}t}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(\theta -\theta _{0}-2n\pi )^{2}}{4D^{r}t}}\right]$

В течение короткого времени после начальной точки, где t ≈ t ₀ и θ ≈ θ ₀ , формула принимает вид:

$P(\theta ,t\mid \theta _{0})\approx {\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{r}t}}}\exp \left[-{\frac {(\theta -\theta _{0})^{2}}{4D^{r}t}}\right]+\cdots$

Члены, включенные в таблицу, экспоненциально малы и не имеют достаточно большого значения, чтобы их не включать сюда. Это означает, что на коротких временах условная вероятность выглядит похожей на поступательную диффузию, поскольку обе они демонстрируют чрезвычайно малые возмущения вблизи t ₀ . Однако на больших временах t » t ₀ поведение вращательной диффузии отличается от поступательной:

$P(\theta ,t\mid \theta _{0})\approx {\frac {1}{2\pi }},t\rightarrow \infty$

Основное различие между вращательной диффузией и поступательной диффузией заключается в том, что вращательная диффузия имеет периодичность $\theta +(2\pi )=\theta$ , что означает, что эти два угла идентичны. Это связано с тем, что круг может полностью повернуться один раз, прежде чем оказаться под тем же углом, что и в начале, а это означает, что все возможные ориентации могут быть отображены в пространстве круга. $2\pi$ . Это противоположность поступательной диффузии, у которой такой периодичности нет.

Условная вероятность того, что угол будет равен θ, примерно равна ${\frac {1}{2\pi }}$ .

Это связано с тем, что в течение длительных периодов времени частица вращалась во всем возможном диапазоне углов, и поэтому угол θ может быть любой величиной между θ ₀ и θ ₀ + 2 π. Вероятность почти равномерно распределена по каждому углу в достаточно большие моменты времени.Это можно доказать, суммируя вероятности всех возможных углов. Поскольку существует 2π возможных углов, каждый с вероятностью ${\frac {1}{2\pi }}$ , общая вероятность равна 1, что означает, что существует уверенность в нахождении угла в некоторой точке окружности.

См. также

Ссылки

^ Конган Ли, Яцян Ван и Гэри Дж. Пиелак . Журнал физической химии B 2009 113 (40), 13390-13392 DOI: 10.1021/jp907744m
^ Мерритт, Д. (2002), Вращательное броуновское движение массивной двойной системы , Астрофизический журнал , 568 , 998-1003. Проверено 28 марта 2022 г.
^ Перрен, Фрэнсис (1934). «Броуновское движение эллипсоида (I). Диэлектрическая дисперсия эллипсоидных молекул» . Журнал физики (на французском языке). 7 (5): 497–511. doi : 10.1051/jphysrad:01934005010049700 .
^ Перрен, Фрэнсис (1936). «Броуновское движение эллипсоида (II). Свободное вращение и деполяризация флуоресценции: трансляция и диффузия эллипсоидных молекул» . Журнал физики (на французском языке). 7 (7): 1–11. doi : 10.1051/jphysrad:01936007010100 .
^ Михальский, Ярослав; Кальварчик, Томаш; Квапишевская, Карина; Эндерляйн, Йорг; Поневерский, Анджей; Карпиньска, Анета; Кучарска, Каролина; Холист, Роберт (11 июля 2024 г.). «Вращательная и поступательная диффузия биомолекул в сложных жидкостях и клетках HeLa» . СофтМатер . дои : 10.1039/D4SM00422A . ISSN 1744-6848 .
^ Джонс, Роберт. Б. «Вращательная диффузия в дисперсионных средах» (PDF) . Варшава, Польша: Институт фундаментальных технологических исследований. п. 21 . Проверено 16 марта 2022 г.
^ Л.Д. Ландау , Е.М. Лифшиц (1987). Механика жидкости . Том. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . п. 65. ИСБН 978-0-08-033933-7 .
^ Мальдонадо-Камарго, Лорена; Ян, Чуньчэн; Ринальди, Карлос (24 августа 2017 г.). «Масштабно-зависимая вращательная диффузия наночастиц в растворах полимеров». Наномасштаб . 9 (33): 12039–12050. дои : 10.1039/c7nr01603d . ISSN 2040-3372 . ПМИД 28795729 .
^ Уиттакер, Э.Т., Уотсон, Г.Н. Курс современного анализа , (1965)

Дальнейшее чтение

Кантор, ЧР; Шиммель PR (1980). Биофизическая химия. Часть II. Методы изучения биологической структуры и функции . У. Х. Фриман.
Берг, Ховард К. (1993). Случайные блуждания по биологии . Издательство Принстонского университета.

[1] Конган Ли, Яцян Ван и Гэри Дж. Пиелак . Журнал физической химии B 2009 113 (40), 13390-13392 DOI: 10.1021/jp907744m

[DM-2] Мерритт, Д. (2002), Вращательное броуновское движение массивной двойной системы , Астрофизический журнал , 568 , 998-1003. Проверено 28 марта 2022 г.

[perrin_1934-3] Перрен, Фрэнсис (1934). «Броуновское движение эллипсоида (I). Диэлектрическая дисперсия эллипсоидных молекул» . Журнал физики (на французском языке). 7 (5): 497–511. doi : 10.1051/jphysrad:01934005010049700 .

[perrin_1936-4] Перрен, Фрэнсис (1936). «Броуновское движение эллипсоида (II). Свободное вращение и деполяризация флуоресценции: трансляция и диффузия эллипсоидных молекул» . Журнал физики (на французском языке). 7 (7): 1–11. doi : 10.1051/jphysrad:01936007010100 .

[5] Михальский, Ярослав; Кальварчик, Томаш; Квапишевская, Карина; Эндерляйн, Йорг; Поневерский, Анджей; Карпиньска, Анета; Кучарска, Каролина; Холист, Роберт (11 июля 2024 г.). «Вращательная и поступательная диффузия биомолекул в сложных жидкостях и клетках HeLa» . СофтМатер . дои : 10.1039/D4SM00422A . ISSN 1744-6848 .

[6] Джонс, Роберт. Б. «Вращательная диффузия в дисперсионных средах» (PDF) . Варшава, Польша: Институт фундаментальных технологических исследований. п. 21 . Проверено 16 марта 2022 г.

[7] Л.Д. Ландау , Е.М. Лифшиц (1987). Механика жидкости . Том. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . п. 65. ИСБН 978-0-08-033933-7 .

[8] Мальдонадо-Камарго, Лорена; Ян, Чуньчэн; Ринальди, Карлос (24 августа 2017 г.). «Масштабно-зависимая вращательная диффузия наночастиц в растворах полимеров». Наномасштаб . 9 (33): 12039–12050. дои : 10.1039/c7nr01603d . ISSN 2040-3372 . ПМИД 28795729 .

[9] Уиттакер, Э.Т., Уотсон, Г.Н. Курс современного анализа , (1965)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]