Неравенство перестановки Рисса

В математике , неравенство перестановки Рисса иногда называемое неравенством Рисса–Соболева , утверждает, что любые три неотрицательные функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}$, $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}$ и $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}$ удовлетворять неравенству

$\iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x-y)h(y)\,dx\,dy\leq \iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x-y)h^{*}(y)\,dx\,dy,$

где $f^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}$, $g^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}$ и $h^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}$ являются симметричными убывающими перестановками функций $f$, $g$ и $h$ соответственно.

История

Неравенство было впервые доказано Фриджесом Риссом в 1930 году. и независимо доказан С.Л.Соболевым в 1938 г. Браскамп, Либ и Латтинджер показали, что его можно обобщить на произвольное (но конечное) число функций, действующих на произвольное число переменных.

Приложения

Неравенство перестановки Рисса можно использовать для доказательства неравенства Полиа – Сегё .

Доказательства

Одномерный случай

В одномерном случае неравенство доказывается впервые, когда функции $f$, $g$ и $h$ являются характеристическими функциями конечного объединения интервалов. Тогда неравенство можно распространить на характеристические функции измеримых множеств, на измеримые функции, принимающие конечное число значений, и, наконец, на неотрицательные измеримые функции.

Случай более высокой размерности

Чтобы перейти от одномерного случая к многомерному случаю, сферическая перестановка аппроксимируется симметризацией Штейнера, для которой одномерный аргумент применяется непосредственно по теореме Фубини.

Случаи равенства

В случае, когда какая-либо из трех функций является строго симметрично убывающей функцией, равенство имеет место только тогда, когда две другие функции равны с точностью до перевода своим симметрично убывающим перестановкам.