Неравенство Полиа – Сегё

В математическом анализе неравенство Полиа -Сегё (или неравенство Сегё ) утверждает, что энергия Соболева функции в пространстве Соболева не увеличивается при симметричной убывающей перестановке . Неравенство названо в честь математиков Джорджа Полиа и Габора Сеге .

Математическая постановка и утверждение

Дана измеримая по Лебегу функция $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+},$симметричная убывающая перестановка $u^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+},$ — единственная функция, такая что для каждого $t\in \mathbb {R} ,$ набор подуровней $u^{*}{}^{-1}((t,+\infty ))$ представляет собой открытый шар с центром в начале координат $0\in \mathbb {R} ^{n}$ имеющая ту же меру Лебега, что и $u^{-1}((t,+\infty )).$

Эквивалентно, $u^{*}$ — единственная радиальная и радиально невозрастающая функция , строгие множества подуровней которой открыты и имеют ту же меру, что и функция $u$.

Неравенство Полиа – Сегё утверждает, что если, кроме того, $u\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),$ затем $u^{*}\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$ и

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u^{*}|^{p}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}.$

Приложения неравенства

Неравенство Полиа-Сегё используется для доказательства неравенства Рэлея-Фабера-Крана , которое утверждает, что среди всех областей заданного фиксированного объема шар имеет наименьшее первое собственное значение для лапласиана с граничными условиями Дирихле . Доказательство основано на повторной формулировке проблемы как минимизации фактора Рэлея .

Изопериметрическое неравенство можно вывести из неравенства Полиа – Сегё с помощью $p=1$.

Оптимальную константу в неравенстве Соболева можно получить, объединив неравенство Полиа – Сегё с некоторыми интегральными неравенствами.

Случаи равенства

Поскольку энергия Соболева инвариантна относительно сдвигов, любой сдвиг радиальной функции достигает равенства в неравенстве Пойя – Сегё. Однако есть и другие функции, которые могут достичь равенства, например, если взять радиальную невозрастающую функцию, которая достигает максимума на шаре положительного радиуса, и добавить к этой функции другую функцию, которая является радиальной по отношению к другой точке и чья опора содержится в максимальном наборе первой функции. Таким образом, чтобы избежать этого препятствия, необходимо дополнительное условие.

Доказано, что если функция $u$ достигается равенство в неравенстве Полиа–Сегё, и если множество $\{x\in \mathbb {R} ^{n}:u(x)>0{\text{ and }}\nabla u(x)=0\}$ является нулевым множеством для меры Лебега, то функция $u$ является радиальной и радиально невозрастающей относительно некоторой точки $a\in \mathbb {R} ^{n}$.

Обобщения

Неравенство Полиа-Сегё все еще справедливо для симметризаций на сфере или гиперболическом пространстве .

Неравенство также справедливо для частичных симметризаций, определяемых расслоением пространства на плоскости (симметризация Штейнера). и на сферы (шапочная симметризация).

Существуют также неравенства Пойя-Сегё для перестановок относительно неевклидовых норм и с использованием двойственной нормы градиента.

Доказательства неравенства

Оригинальное доказательство с помощью цилиндрического изопериметрического неравенства

Оригинальное доказательство Полиа и Сегё для $p=2$ основывалось на изопериметрическом неравенстве сравнения множеств с цилиндрами и асимптотическом разложении площади площади графика функции. Неравенство доказано для гладкой функции $u$ которое исчезает вне компактного подмножества евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}.$ Для каждого $\varepsilon >0$, они определяют множества

${\begin{aligned}C_{\varepsilon }&=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \,:\,0<t<\varepsilon u(x)\}\\C_{\varepsilon }^{*}&=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \,:\,0<t<\varepsilon u^{*}(x)\}\end{aligned}}$

Эти множества представляют собой множества точек, лежащих между областью определения функций $\varepsilon u$ и $\varepsilon u^{*}$ и соответствующие им графики. Затем они используют геометрический факт, что, поскольку горизонтальные срезы обоих множеств имеют одинаковую меру, а срезы второго представляют собой шары, чтобы сделать вывод, что площадь границы цилиндрического множества $C_{\varepsilon }^{*}$ не может превышать одного из $C_{\varepsilon }$. Эти площади можно вычислить по формуле площади, дающей неравенство

$\int _{u^{*}{}^{-1}((0,+\infty ))}1+{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u^{*}|^{2}}}\leq \int _{u^{-1}((0,+\infty ))}1+{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u|^{2}}}.$

Поскольку наборы $u^{-1}((0,+\infty ))$ и $u{}^{*}{}^{-1}((0,+\infty ))$ имеют одну и ту же меру, это эквивалентно

${\frac {1}{\varepsilon }}\int _{u^{*}{}^{-1}((0,+\infty ))}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u^{*}|^{2}}}-1\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{u^{-1}((0,+\infty ))}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u|^{2}}}-1.$

Вывод тогда следует из того, что

$\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{u^{-1}((0,+\infty ))}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u|^{2}}}-1={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}.$

Формула Коареа и изопериметрическое неравенство

Неравенство Полиа-Сегё можно доказать, объединив формулу коплощади , неравенство Гёльдера и классическое изопериметрическое неравенство .

Если функция $u$ достаточно гладко, то формулу коплощади можно использовать для записи

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}=\int _{0}^{+\infty }\int _{u^{-1}({t})}|\nabla u|^{p-1}\,d{\mathcal {H}}^{n-1}\,dt,$

где ${\mathcal {H}}^{n-1}$ обозначает $(n-1)$–мерная мера Хаусдорфа в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$. Почти для каждого $t\in (0,+\infty )$, по неравенству Гёльдера имеем

${\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{-1}(\{t\})\right)\leq \left(\int _{u^{-1}(\{t\})}|\nabla u|^{p-1}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{u^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u|}}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}.$

Поэтому у нас есть

$\int _{u^{-1}(\{t\})}|\nabla u|^{p-1}\geq {\frac {{\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{-1}(\{t\})\right)^{p}}{\left(\int _{u^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u|}}\right)^{p-1}}}.$

С момента набора $u^{*}{}^{-1}((t,+\infty ))$ это шар, имеющий ту же меру, что и множество $u^{-1}((t,+\infty ))$, согласно классическому изопериметрическому неравенству, имеем

${\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{*}{}^{-1}(\{t\})\right)\leq {\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{-1}(\{t\})\right).$

Более того, учитывая, что множества подуровней функций $u$ и $u^{*}$ иметь ту же меру,

$\int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u^{*}|}}=\int _{u^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u|}},$

и, следовательно,

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}\geq \int _{0}^{+\infty }{\frac {{\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{*}{}^{-1}(\{t\})\right)^{p}}{\left(\int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u^{*}|}}\right)^{p-1}}}\,dt.$

Поскольку функция $u^{*}$ является радиальным, имеется

${\frac {{\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{*}{}^{-1}(\{t\})\right)^{p}}{\left(\int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u^{*}|}}\right)^{p-1}}}=\int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}|\nabla u^{*}|^{p-1},$

и вывод следует, снова применяя формулу коплощади.

Перестановочные неравенства для свертки

Когда $p=2$, неравенство Полиа – Сегё можно доказать, представляя энергию Соболева через тепловое ядро ​​. Начинают с наблюдения, что

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{2}-\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)u(x)u(y)\,dx\,dy\right),$

где для $t\in (0,+\infty )$, функция $K_{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — тепловое ядро, определенное для каждого $z\in \mathbb {R} ^{n}$ к

$K_{t}(z)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {|z|^{2}}{4t}}}.$

Поскольку для каждого $t\in (0,+\infty )$ функция $K_{t}$ является радиальным и радиально убывающим, мы имеем по неравенству перестановки Рисса

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)\,u(x)\,u(y)\,dx\,dy\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)\,u^{*}(x)\,u^{*}(y)\,dx\,dy$

Следовательно, мы делаем вывод, что

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{2}-\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)u(x)u(y)\,dx\,dy\right)\\[6pt]&\geq \lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{2}-\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)u^{*}(x)u^{*}(y)\,dx\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u^{*}|^{2}.\end{aligned}}$