Метод Винера – Хопфа

Метод Винера-Хопфа — математический метод, широко используемый в прикладной математике . Первоначально он был разработан Норбертом Винером и Эберхардом Хопфом как метод решения систем интегральных уравнений , но нашел более широкое применение при решении двумерных уравнений в частных производных со смешанными граничными условиями на одной границе. В целом метод работает за счет использования комплексно-аналитических свойств преобразованных функций. стандартное преобразование Фурье Обычно используется , но существуют примеры с использованием других преобразований, таких как преобразование Меллина .

В общем, основные уравнения и граничные условия преобразуются, и эти преобразования используются для определения пары комплексных функций (обычно обозначаемых индексами «+» и «-»), которые являются аналитическими соответственно в верхней и нижней половинах комплексной плоскости. , и имеют рост не быстрее, чем полиномы в этих областях. Эти две функции также будут совпадать в некоторой области комплексной плоскости , обычно в тонкой полоске, содержащей вещественную линию . Аналитическое продолжение гарантирует, что эти две функции определяют одну функцию, аналитическую во всей комплексной плоскости, а из теоремы Лиувилля следует, что эта функция представляет собой неизвестный полином , который часто равен нулю или константе. Анализ условий на краях и углах границы позволяет определить степень этого многочлена.

Разложение Винера – Хопфа

Фундаментальное уравнение, возникающее в методе Винера-Хопфа, имеет вид

$A(\alpha )\Xi _{+}(\alpha )+B(\alpha )\Psi _{-}(\alpha )+C(\alpha )=0,$

где $A$, $B$, $C$ — известные голоморфные функции , функции $\Xi _{+}(\alpha )$, $\Psi _{-}(\alpha )$ неизвестны и уравнение справедливо в полосе $\tau _{-}<{\mathfrak {Im}}(\alpha )<\tau _{+}$ в комплексе $\alpha$ самолет . Нахождение $\Xi _{+}(\alpha )$, $\Psi _{-}(\alpha )$ это так называемая проблема Винера-Хопфа .

Ключевым шагом во многих задачах Винера – Хопфа является разложение произвольной функции $\Phi$ на две функции $\Phi _{\pm }$ с желаемыми свойствами, описанными выше. В общем, это можно сделать, написав

$\Phi _{+}(\alpha )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{1}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }}$

и

$\Phi _{-}(\alpha )=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{2}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }},$

где контуры $C_{1}$ и $C_{2}$ параллельны реальной линии, но проходят выше и ниже точки $z=\alpha$, соответственно.

Аналогично, произвольные скалярные функции могут быть разложены в произведение функций +/-, т.е. $K(\alpha )=K_{+}(\alpha )K_{-}(\alpha )$, сначала логарифмируя, а затем разлагая сумму. Разложение на произведение матричных функций (которые происходят в связанных мультимодальных системах, таких как упругие волны) значительно более проблематично, поскольку логарифм не определен четко, и можно ожидать, что любое разложение будет некоммутативным. Храпковым был получен небольшой подкласс коммутативных разложений, а также развиты различные приближенные методы.

Пример

Рассмотрим линейное уравнение в частных производных

${\boldsymbol {L}}_{xy}f(x,y)=0,$

где ${\boldsymbol {L}}_{xy}$ — линейный оператор, который содержит производные по x и y , подчиняющиеся смешанным условиям на y = 0, для некоторой заданной функции g ( x ) ,

$f=g(x){\text{ for }}x\leq 0,\quad f_{y}=0{\text{ when }}x>0$

и затухает на бесконечности, т. е. f → 0 как ${\boldsymbol {x}}\rightarrow \infty$.

Преобразование Фурье по x приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению

${\boldsymbol {L}}_{y}{\widehat {f}}(k,y)-P(k,y){\widehat {f}}(k,y)=0,$

где ${\boldsymbol {L}}_{y}$ — линейный оператор, содержащий по y только производные , P ( k,y ) — известная функция от y и k и

${\widehat {f}}(k,y)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x.$

Если частное решение этого обыкновенного дифференциального уравнения, которое удовлетворяет необходимому распаду на бесконечности, обозначается F ( k , y ) , общее решение можно записать как

${\widehat {f}}(k,y)=C(k)F(k,y),$

где C ( k ) — неизвестная функция, определяемая граничными условиями по y =0.

Основная идея – разделить ${\widehat {f}}$ на две отдельные функции, ${\widehat {f}}_{+}$ и ${\widehat {f}}_{-}$ аналитические в нижней и верхней половинах комплексной плоскости соответственно:

${\widehat {f}}_{+}(k,y)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x,$

${\widehat {f}}_{-}(k,y)=\int _{-\infty }^{0}f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x.$

Граничные условия тогда дают

${\widehat {g\,}}(k)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}_{-}(k,0)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}(k,0)=C(k)F(k,0)$

и, взяв производные по $y$,

${\widehat {f}}'_{-}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)+{\widehat {f}}'_{+}(k,0)={\widehat {f}}'(k,0)=C(k)F'(k,0).$

Устранение $C(k)$ урожайность

${\widehat {g\,}}(k)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)/K(k),$

где

$K(k)={\frac {F'(k,0)}{F(k,0)}}.$

Сейчас $K(k)$ можно разложить на произведение функций $K^{-}$ и $K^{+}$ которые аналитичны в верхней и нижней полуплоскостях соответственно.

Если быть точным, $K(k)=K^{+}(k)K^{-}(k),$ где

$\log K^{-}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\log(K(z))}{z-k}}\,{\textrm {d}}z,\quad \operatorname {Im} k>0,$

$\log K^{+}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\log(K(z))}{z-k}}\,{\textrm {d}}z,\quad \operatorname {Im} k<0.$

(Обратите внимание, что иногда это предполагает масштабирование $K$ так что это имеет тенденцию $1$ как $k\rightarrow \infty$.) Мы тоже разлагаем $K^{+}{\widehat {g\,}}$ в сумму двух функций $G^{+}$ и $G^{-}$ которые аналитичны в нижней и верхней полуплоскостях соответственно, т.е.

$K^{+}(k){\widehat {g\,}}(k)=G^{+}(k)+G^{-}(k).$

Это можно сделать так же, как мы факторизовали $K(k).$ Следовательно,

$G^{+}(k)+K_{+}(k){\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)/K_{-}(k)-G^{-}(k).$

Теперь, поскольку левая часть приведенного выше уравнения аналитична в нижней полуплоскости, а правая часть аналитична в верхней полуплоскости, аналитическое продолжение гарантирует существование целой функции, совпадающей с левой или правые части в соответствующих полуплоскостях. Более того, поскольку можно показать, что функции по обе стороны приведенного выше уравнения затухают при больших k , применение теоремы Лиувилля показывает, что вся эта функция равна тождественному нулю, поэтому

${\widehat {f}}_{+}(k,0)=-{\frac {G^{+}(k)}{K^{+}(k)}},$

и так

$C(k)={\frac {K^{+}(k){\widehat {g\,}}(k)-G^{+}(k)}{K^{+}(k)F(k,0)}}.$

См. также

• Венский фильтр
• Проблема Римана – Гильберта

Ссылки

• «Категория: Винер-Хопф — WikiWaves» . Wikiwaves.org . Проверено 19 мая 2020 г.
• «Метод Винера-Хопфа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Форнберг, Бенгт. Комплексные переменные и аналитические функции: иллюстрированное введение . Пире, Сесиль. Филадельфия. ISBN  978-1-61197-597-0 . OCLC   1124781689 .
• Ноубл, Бен (1958). Методы решения уравнений в частных производных, основанные на методе Винера-Хопфа . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис США. ISBN  978-0-8284-0332-0 .