Реконструкция векторного поля
 | В этой статье есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )
|
Реконструкция векторного поля [1] это метод создания векторного поля на основе экспериментальных или компьютерных данных, обычно с целью найти дифференциального уравнения модель системы.
Модель дифференциального уравнения — это модель , которая описывает значение зависимых переменных по мере их развития во времени или пространстве, предоставляя уравнения, включающие эти переменные и их производные относительно некоторых независимых переменных , обычно времени и/или пространства. Обыкновенное дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором зависимые переменные системы являются функциями только одной независимой переменной. Многие физические, химические, биологические и электрические системы хорошо описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Часто мы предполагаем, что система управляется дифференциальными уравнениями, но у нас нет точных знаний о влиянии различных факторов на состояние системы. Например, у нас может быть электрическая цепь, которая теоретически описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, но из-за допусков резисторов , питания изменений напряжения или помех от внешних воздействий мы не знаем точных параметров системы. . Для некоторых систем, особенно тех, которые поддерживают хаоса , небольшое изменение значений параметров может вызвать большие изменения в поведении системы, поэтому точная модель чрезвычайно важна. Следовательно, может возникнуть необходимость в построении более точных дифференциальных уравнений, основанных на реальных характеристиках системы, а не на теоретической модели. В идеале можно было бы измерить все задействованные динамические переменные в течение длительного периода времени, используя множество различных начальных условий , а затем построить или точно настроить модель дифференциального уравнения на основе этих измерений.
В некоторых случаях мы можем даже не знать достаточно о процессах, происходящих в системе, чтобы даже сформулировать модель. В других случаях мы можем иметь доступ только к одной динамической переменной для наших измерений, т. е. у нас есть скалярный временной ряд . Если у нас есть только скалярный временной ряд, нам нужно использовать метод встраивания временной задержки или производных координат, чтобы получить достаточно большой набор динамических переменных для описания системы.
Короче говоря, когда у нас есть набор измерений состояния системы за некоторый период времени, мы находим производные этих измерений, что дает нам локальное векторное поле, а затем определяем глобальное векторное поле, согласующееся с этим локальным полем. Обычно это делается с помощью метода наименьших квадратов, подходящего для производных данных.
Формулировка
[ редактировать ]В лучшем случае имеются потоки данных измерений всех системных переменных, равноотстоящие во времени, например
- с 1 (т), с 2 (т), ... , с к (т)
для
- т знак равно т 1 , т 2 ,..., т п ,
начиная с нескольких различных начальных условий. Тогда задача поиска векторного поля и, следовательно, модели дифференциального уравнения состоит из подгонки функций, например кубического сплайна , к данным для получения набора функций непрерывного времени.
- х 1 (т), х 2 (т), ... , х к (т),
вычисление производных по времени dx 1 /dt, dx 2 /dt,...,dx k /dt функций, а затем аппроксимация методом наименьших квадратов с использованием некоторых ортогональных базисных функций ( ортогональных полиномов , радиальных базисных функций и т. д.) для каждый компонент касательных векторов, чтобы найти глобальное векторное поле. Тогда дифференциальное уравнение можно считать из глобального векторного поля.
Существуют различные методы создания базисных функций для подбора методом наименьших квадратов. Наиболее распространенным методом является процесс Грама-Шмидта . Это создает набор ортогональных базисных векторов, которые затем можно легко нормализовать. Этот метод начинается с выбора любого стандартного базиса β={v 1 , v 2 ,...,v n }. Затем установите первый вектор v 1 =u 1 . Затем мы устанавливаем u 2 =v 2 -proj u 1 v 2 . Этот процесс повторяется для k векторов, причем конечный вектор равен uk = vk -Σ ( j=1). (к-1) проект ты к вк . Затем создается набор ортогональных стандартных базисных векторов.
Причина использования стандартного ортогонального базиса, а не стандартного базиса, возникает из-за создания следующей аппроксимации методом наименьших квадратов. Создание аппроксимации методом наименьших квадратов начинается с предположения некоторой функции, в случае реконструкции n й полином степени и подгонку кривой к данным с использованием констант. Точность подбора можно повысить, увеличив степень полинома, используемого для подбора данных. Если использовался набор неортогональных стандартных базисных функций, возникает необходимость пересчета постоянных коэффициентов функции, описывающей подгонку. Однако, используя ортогональный набор базисных функций, нет необходимости пересчитывать постоянные коэффициенты.
Приложения
[ редактировать ]Реконструкция векторного поля имеет несколько приложений и множество различных подходов. Некоторые математики не только использовали радиальные базисные функции и полиномы для восстановления векторного поля, но и использовали показатели Ляпунова и разложение по сингулярным значениям . [2] Гусбе и Летелье использовали многомерную полиномиальную аппроксимацию и метод наименьших квадратов для восстановления своего векторного поля. Этот метод был применен к системе Ресслера и системе Лоренца , а также к термолинзовым колебаниям .
Система Росслера, система Лоренца и колебания тепловой линзы следуют дифференциальным уравнениям стандартной системы как
- X'=Y, Y'=Z и Z'=F(X,Y,Z)
где F(X,Y,Z) известна как стандартная функция. [3]
Проблемы реализации
[ редактировать ]В некоторых ситуациях модель не очень эффективна, и могут возникнуть трудности, если модель имеет большое количество коэффициентов и демонстрирует расходящиеся решения. Например, неавтономные дифференциальные уравнения дают ранее описанные результаты. [4] В этом случае модификация стандартного подхода в применении дает лучший способ дальнейшего развития глобальной векторной реконструкции.
Обычно система, моделируемая таким образом, представляет собой хаотическую динамическую систему , поскольку хаотические системы исследуют большую часть фазового пространства , и оценка глобальной динамики на основе локальной динамики будет лучше, чем в случае системы, исследующей лишь небольшую часть фазового пространства. пространство.
Часто имеется только одно измерение скалярного временного ряда системы, о которой известно, что она имеет более одной степени свободы . Временной ряд может даже не зависеть от системной переменной, а может быть функцией всех переменных, таких как температура в реакторе с мешалкой, в котором используются несколько химических веществ. В этом случае необходимо использовать технику встраивания координат задержки , [5] где строится вектор состояния, состоящий из данных в момент времени t и нескольких задержанных версий данных.
Подробный обзор темы доступен на сайте [6]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Летелье, К.; Ле Скеллер, Л.; Марешаль, Э.; Дутертр, П.; Маэ, Б.; и др. (1 мая 1995 г.). «Реконструкция глобального векторного поля по хаотическому экспериментальному сигналу при электрорастворении меди». Физический обзор E . 51 (5). Американское физическое общество (APS): 4262–4266. Бибкод : 1995PhRvE..51.4262L . дои : 10.1103/physreve.51.4262 . ISSN 1063-651X . ПМИД 9963137 .
- ^ Вэй-Донг, Лю; Рен, К.Ф; Менье-Гуттин-Клюзель, С; Гусбет, Г (2003). «Реконструкция глобальных векторных полей нелинейных динамических систем по временным рядам методом SVD и проверка с помощью показателей Ляпунова». Китайская физика . 12 (12). Издательство ИОП: 1366–1373. Бибкод : 2003ЧФиз..12.1366Л . дои : 10.1088/1009-1963/12/12/005 . ISSN 1009-1963 .
- ^ Гусбет, Г.; Летелье, К. (1 июня 1994 г.). «Реконструкция глобального векторного поля с использованием аппроксимации многомерного полинома L 2 в сетях». Физический обзор E . 49 (6). Американское физическое общество (APS): 4955–4972. Бибкод : 1994PhRvE..49.4955G . дои : 10.1103/physreve.49.4955 . ISSN 1063-651X . ПМИД 9961817 .
- ^ Безручко Борис П.; Смирнов, Дмитрий А. (20 декабря 2000 г.). «Построение неавтономных дифференциальных уравнений по экспериментальным временным рядам». Физический обзор E . 63 (1). Американское физическое общество (APS): 016207. Бибкод : 2000PhRvE..63a6207B . дои : 10.1103/physreve.63.016207 . ISSN 1063-651X . ПМИД 11304335 .
- ^ Эмбедология, Тим Зауэр, Джеймс А. Йорк и Мартин Касдагли, рабочий документ Института Санта-Фе
- ^ Г. Гуэсбе, С. Менье-Гуттен-Клюзель и О. Менар, редакторы. Хаос и его реконструкция. Издательство Novascience, Нью-Йорк (2003 г.)