Приближение Перкуса – Йевика

В статистической механике приближение Перкуса – Йевика. является соотношением замыкания для решения уравнения Орнштейна – Цернике . Его также называют уравнением Перкуса-Йевика . Он обычно используется в теории жидкостей для получения, например, выражений для функции радиального распределения . Приближение названо в честь Джерома К. Перкуса и Джорджа Дж. Йевика .

Вывод

Функция прямой корреляции представляет собой прямую корреляцию между двумя частицами в системе, содержащей N - 2 других частицы. Он может быть представлен

$c(r)=g_{\rm {total}}(r)-g_{\rm {indirect}}(r)\,$

где $g_{\rm {total}}(r)$ – функция радиального распределения , т.е. $g(r)=\exp[-\beta w(r)]$ (с w ( r ) потенциалом средней силы ) и $g_{\rm {indirect}}(r)$ — функция радиального распределения без прямого взаимодействия пар $u(r)$ включено; то есть мы пишем $g_{\rm {indirect}}(r)=\exp[-\beta (w(r)-u(r))]$. Таким образом, мы аппроксимируем c ( r ) выражением

$c(r)=e^{-\beta w(r)}-e^{-\beta [w(r)-u(r)]}.\,$

Если мы введем функцию $y(r)=e^{\beta u(r)}g(r)$ в приближении для c ( r ) получаем

$c(r)=g(r)-y(r)=e^{-\beta u}y(r)-y(r)=f(r)y(r).\,$

В этом суть приближения Перкуса-Йевика, поскольку если мы подставим этот результат в уравнение Орнштейна-Цернике , получим уравнение Перкуса-Йевика :

$y(r_{12})=1+\rho \int f(r_{13})y(r_{13})h(r_{23})d\mathbf {r_{3}} .\,$

Аппроксимация была определена Перкусом и Йевиком в 1958 году.

Твердые сферы

Статический структурный фактор жидкости твердых сфер в приближении Перкуса – Йевика при трех различных коэффициентах упаковки.

Для твердых сфер потенциал u(r) либо равен нулю, либо бесконечен, и, следовательно, фактор Больцмана ${\text{e}}^{-u/k_{\text{B}}T}$ равно единице или нулю независимо от температуры T . Поэтому структура жидкости твердых сфер не зависит от температуры. В результате остается только два параметра: радиус жесткого ядра R (который можно исключить путем изменения масштаба расстояний или волновых чисел) и фракция упаковки η (которая имеет максимальное значение 0,64 для случайной плотной упаковки ).

В этих условиях уравнение Перкуса–Йевика имеет аналитическое решение, полученное Вертхаймом в 1963 году.

Решение как код C

Статический структурный фактор жидкости твердых сфер в приближении Перкуса – Йевика можно вычислить с помощью следующей функции C:

double py(double qr, double eta)
{
    const double a = pow(1+2*eta, 2)/pow(1-eta, 4);
    const double b = -6*eta*pow(1+eta/2, 2)/pow(1-eta, 4);
    const double c = eta/2*pow(1+2*eta, 2)/pow(1-eta, 4);
    const double A = 2*qr;
    const double A2 = A*A;
    const double G = a/A2*(sin(A)-A*cos(A))
        + b/A/A2*(2*A*sin(A)+(2-A2)*cos(A)-2)
        + c/pow(A,5)*(-pow(A,4)*cos(A)+4*((3*A2-6)*cos(A)+A*(A2-6)*sin(A)+6));

    return 1/(1+24*eta*G/A);
}

Твердые сферы в сдвиговом потоке

Для твердых сфер в сдвиговом потоке функция u(r) возникает в результате решения стационарного уравнения конвекции-диффузии Смолуховского для двух тел или уравнения Смолуховского для двух тел со сдвиговым потоком. Приближенное аналитическое решение уравнения конвекции-диффузии Смолуховского было найдено с использованием метода согласованных асимптотических разложений Банетты и Закконе в работе [11].

Это аналитическое решение затем можно использовать вместе с приближением Перкуса-Йевика в уравнении Орнштейна-Цернике . Приближенные решения для парной функции распределения в секторах растяжения и сжатия сдвигового потока и, следовательно, для усредненной по углу радиальной функции распределения могут быть получены, как показано в [1]. которые находятся в хорошем безпараметрическом согласии с численными данными вплоть до долей упаковки $\eta \approx 0.5$.

См. также

• Уравнение гиперсетевой цепи - еще одно соотношение замыкания
• Уравнение Орнштейна – Цернике