Классическое определение вероятности
Классическое определение или интерпретация вероятности определяется [1] с работами Якоба Бернулли и Пьера-Симона Лапласа . Лапласа Как сказано в «Аналитической теории вероятностей» ,
- Вероятность события есть отношение числа благоприятных для него случаев к числу всех возможных случаев, когда ничто не заставляет нас ожидать, что какой-либо из этих случаев произойдет чаще, чем любой другой, что делает их для нас одинаково возможно.
Это определение по существу является следствием принципа безразличия . Если элементарным событиям приписаны равные вероятности, то вероятность дизъюнкции элементарных событий равна числу событий в дизъюнкции, делённому на общее количество элементарных событий.
Классическое определение вероятности было поставлено под сомнение несколькими авторами девятнадцатого века, в том числе Джоном Венном и Джорджем Булем . [2] Частотное определение вероятности получило широкое признание в результате их критики, особенно благодаря работам Р. А. Фишера . Классическое определение в некотором роде возродилось из-за общего интереса к байесовской вероятности , поскольку байесовские методы требуют априорного распределения вероятностей , а принцип безразличия предлагает один источник такого распределения. Классическая вероятность может предложить априорные вероятности, отражающие незнание, что часто кажется уместным до проведения эксперимента.
История [ править ]
Как математический предмет теория вероятностей возникла очень поздно — по сравнению, например, с геометрией — несмотря на то, что у нас есть доисторические свидетельства игры человека в кости в культурах всего мира. [3] Одним из первых авторов теории вероятности был Джероламо Кардано . Возможно, он дал самое раннее известное определение классической вероятности. [4]
Устойчивое развитие теории вероятностей началось в 1654 году, когда Блез Паскаль вел переписку с другом своего отца Пьером де Ферма о двух задачах, касающихся азартных игр, о которых он слышал ранее в том же году от шевалье де Мере , которого Паскаль случайно сопровождал во время игры. путешествие. Одной из проблем была так называемая проблема очков , уже тогда классическая задача (рассмотренная Лукой Пачоли еще в 1494 г., [5] и еще раньше в анонимной рукописи 1400 г. [5] ), посвященный вопросу о том, как справедливо разделить поставленные на карту деньги , если игра прерывается на полпути. Другая проблема заключалась в практическом математическом правиле, которое, казалось, не выполнялось при расширении игры в кости с использования одного кубика до двух. Эта последняя проблема, или парадокс, была открытием самого Мере и показала, по его мнению, насколько опасно применять математику к реальности. [5] [6] Во время поездки они также обсуждали другие математико-философские вопросы и парадоксы, которые, по мнению Мере, укрепляли его общие философские взгляды.
Паскаль, не соглашаясь с представлением Мере о математике как о чем-то прекрасном и безупречном, но плохо связанном с реальностью, решил доказать неправоту Мере, решив эти две проблемы в рамках чистой математики. Когда он узнал, что Ферма, уже признанный выдающийся математик, пришел к тем же выводам, он был убежден, что они окончательно решили проблемы. Эта переписка распространялась среди других учёных того времени, в частности, Гюйгенса , Роберваля и косвенно Карамуэля , [5] и знаменует собой отправную точку, когда математики вообще начали изучать проблемы азартных игр. В переписке не упоминалась «вероятность»; Он сосредоточился на справедливых ценах. [7]
Полвека спустя Якоб Бернулли продемонстрировал тонкое понимание вероятности. Он продемонстрировал способность к перестановкам и комбинациям, обсудил концепцию вероятности на примерах, выходящих за рамки классического определения (таких как личные, судебные и финансовые решения), и показал, что вероятности можно оценить путем повторных испытаний, причем неопределенность уменьшается по мере увеличения количества испытаний. [7] [8]
Дидро и Даламбера 1765 года Том классической энциклопедии содержит подробное обсуждение вероятности и краткое изложение знаний того времени. Различают вероятности, «выведенные из рассмотрения самой природы» (физические) и вероятности, «основанные только на опыте прошлого, который может заставить нас уверенно делать выводы на будущее» (доказательные). [9]
Источником ясного и устойчивого определения вероятности был Лаплас . Еще в 1814 году он заявил:
Теория случайности состоит в том, чтобы свести все события одного и того же рода к определенному числу равновозможных случаев, то есть к таким, в существовании которых мы можем быть одинаково не уверены, и в определении числа случаев. благоприятствует событию, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой этой вероятности, которая, таким образом, представляет собой просто дробь, числитель которой — число благоприятных случаев, а знаменатель — число всех возможных случаев.
- Пьер-Симон Лаплас, Философский очерк вероятностей [10]
Именно это описание в конечном итоге и даст классическое определение вероятности. За полвека Лаплас опубликовал несколько изданий множества документов (технических и популяризаторских) по теории вероятности. Многие из его предшественников (Кардано, Бернулли, Байес) посмертно опубликовали по одному документу.
Критика [ править ]
Классическое определение вероятности приписывает событиям равные вероятности на основе физической симметрии, естественной для монет, карт и игральных костей.
- Некоторые математики возражают, что это определение носит замкнутый характер. [11] Вероятность появления «честной» монеты равна... «Честная» монета определяется вероятностью...
- Определение очень ограничено. Оно ничего не говорит о случаях, когда физическая симметрия не существует. Например, страховые премии могут быть рационально оценены только на основе измеренных показателей потерь.
- Оправдать принцип безразличия непросто, за исключением самых простых и идеализированных случаев (расширение ограниченного определения проблемы). Монеты не совсем симметричны. Можем ли мы приписать равные вероятности каждой стороне? Можем ли мы приписать равные вероятности любому опыту реального мира?
Каким бы ограничительным ни было это определение, оно сопровождается значительной уверенностью. Казино, наблюдающее заметное отклонение от классической вероятности, уверено, что его предположения были нарушены (кто-то жульничает). [ нужна ссылка ] [ оспаривается – обсуждаем ] Большая часть математики вероятностей была разработана на основе этого упрощенного определения. Альтернативные интерпретации вероятности (например, частотная и субъективная ) также имеют проблемы.
Математическая теория вероятностей оперирует абстракциями, избегая ограничений и философских сложностей любой интерпретации вероятностей.
Ссылки [ править ]
- ^ Джейнс, ET, 2003, Теория вероятностей: логика науки , издательство Кембриджского университета, см. стр. xx предисловия и стр. 43 .
- ^ Гигеренцер, Герд; Зено Свитинк; Теодор Портер; Лоррейн Дастон; Джон Битти; Лоренц Крюгер (1989). Империя случая: как вероятность изменила науку и повседневную жизнь . Кембридж Кембриджшир, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 35–6, 45. ISBN. 978-0521398381 .
- ^ Дэвид, ФН (1962). Игры, боги и азартные игры . Нью-Йорк: Хафнер. стр. 1–12 . Хотя доказательства, представленные в отношении игр, аналогичных «играм в кости» в доисторические времена, являются несколько предположительными (археологическими), доказательства существования таких игр в далекой (около 3500 г. до н.э.) истории (письменности и картины) убедительны.
- ^ Горроочурн, Пракаш (2012). «Некоторые законы и проблемы классической вероятности и то, как Кардано их предвидел». Шанс . 25 (4): 13–20. дои : 10.1080/09332480.2012.752279 . S2CID 29803482 . Кардано уделял слишком много внимания удаче (и слишком мало математике), чтобы его можно было считать отцом вероятности. Текст содержит 5 исторических определений классической вероятности Кардано, Лейбница, Бернулли, Муавра и Лапласа. Только последнее, Лапласа, было полностью оценено и использовано.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Джеймс Франклин, Наука догадок: доказательства и вероятности до Паскаля (2001) Издательство Университета Джонса Хопкинса ISBN 0-8018-7109-3
- ^ Паскаль, Полное собрание сочинений 2:1142.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Финберг, Стивен Э. (1992). «Краткая история статистики в трех с половиной главах: обзорное эссе» . Статистическая наука . 7 (2): 208–225. дои : 10.1214/ss/1177011360 .
- ^ Шафер, Гленн (1996). «Значение Ars Conjectandi Якоба Бернулли для современной философии вероятности». Журнал эконометрики . 75 (1): 15–32. CiteSeerX 10.1.1.407.1066 . дои : 10.1016/0304-4076(95)01766-6 .
- ^ Любьер, Шарль-Бенджамин, барон де . "Вероятность." Энциклопедия совместного проекта переводов Дидро и Даламбера. Перевод Дэниела К. Вайнера. Анн-Арбор: Мичиганское издательство, Библиотека Мичиганского университета, 2008. http://hdl.handle.net/2027/spo.did2222.0000.983 . Первоначально опубликовано как «Вероятность», Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des Sciences, des arts et des métiers, 13:393–400 (Париж, 1765 г.).
- ^ Лаплас, PS, 1814, английское издание 1951 года, Философский эссе о вероятностях , Нью-Йорк: Dover Publications Inc.
- ^ Эш, Роберт Б. (1970). Основная теория вероятностей . Нью-Йорк: Уайли. стр. 1–2 .
- Пьер-Симон де Лаплас. Аналитическая теория вероятностей . Париж: Courcier Imprimeur, 1812 г.
- Пьер-Симон де Лаплас. Философский очерк о вероятности , 3-е издание. Париж: Courcier Imprimeur, 1816 г.
- Пьер-Симон де Лаплас. Философское эссе о вероятностях . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1995. (Перевод А. И. Дейла из пятого французского издания 1825 г. Обширные примечания.)