Крест
В анализе Фурье кепстр ɛ ( / ˈ k ɛ p s t r ʌ m , ˈ s . p -, - s t r ə m / ; множественное число cepstra , прилагательное cepstral ) является результатом вычисления обратного преобразования Фурье (IFT) логарифма . предполагаемого сигнала спектра Метод является инструментом исследования периодических структур в частотных спектрах. Силовой кепстр находит применение при анализе человеческой речи .
Термин «кепстр» был получен путем перестановки первых четырех букв спектра . Операции с кепстрой называются квенрентным анализом (или квенрентным аланисисом). [1] ), лифтинг , или кепстральный анализ . Его можно произносить двумя указанными способами, причем второй имеет то преимущество, что позволяет избежать путаницы с кепструмом .
Источник
[ редактировать ]Понятие кепстра было введено в 1963 году Б. П. Богертом, М. Дж. Хили и Дж. У. Тьюки . [1] Он служит инструментом для исследования периодических структур в частотных спектрах. [2] Такие эффекты связаны с заметными эхами или отражениями в сигнале, либо с появлением гармонических частот ( парциальных , обертонов ). Математически он решает проблему деконволюции сигналов в частотном пространстве. [3]
Ссылки на статью Богерта в библиографии часто редактируются неправильно. [ нужна ссылка ] Термины «кефренция», «аланисис», «кепстр» и «сафе» были изобретены авторами путем перестановки букв по частоте, анализу, спектру и фазе. Изобретенные термины определяются по аналогии со старыми терминами.
Общее определение
[ редактировать ]Кепстр является результатом следующей последовательности математических операций:
- преобразование сигнала из временной области в частотную область
- вычисление логарифма спектральной амплитуды
- преобразование в частотную область, где последняя независимая переменная, квенренция, имеет временную шкалу. [1] [2] [3]
Типы
[ редактировать ]Кепстр используется во многих вариантах. Наиболее важными являются:
- кепстр мощности: логарифм берется из «спектра мощности».
- комплексный кепстр: логарифм берется из спектра, который рассчитывается с помощью анализа Фурье.
В формулах, объясняющих кепстр, используются следующие сокращения:
Аббревиатура | Объяснение |
---|---|
Сигнал, который является функцией времени | |
Крест | |
Преобразование Фурье : Аббревиатура может означать непрерывное преобразование Фурье , дискретное преобразование Фурье (ДПФ) или даже z-преобразование , поскольку z-преобразование является обобщением ДПФ. [3] | |
Обратное преобразование Фурье | |
Логарифм х . Выбор базы b зависит от пользователя. В некоторых статьях основание не указано, другие предпочитают основание 10 или e . Выбор базы не влияет на основные правила вычислений, но иногда база е приводит к упрощениям (см. «комплексный кепстр»). | |
Абсолютная величина , или величина комплексной величины , которая вычисляется из действительной и мнимой частей с помощью теоремы Пифагора . | |
Абсолютный квадрат | |
Фазовый угол комплексного значения |
Силовой кепстр
[ редактировать ]Первоначально «кепстр» определялся как кепстр власти по следующему соотношению: [1] [3]
Силовой кепстр имеет основные применения в анализе звуковых и вибрационных сигналов. Это дополнительный инструмент спектрального анализа. [2]
Иногда его также определяют как: [2]
Благодаря этой формуле кепстр также иногда называют спектром спектра . Можно показать, что обе формулы согласуются друг с другом, поскольку частотное спектральное распределение остается прежним, единственная разница заключается в масштабном коэффициенте. [2] который можно будет применить впоследствии. Некоторые статьи предпочитают вторую формулу. [2] [4]
Другие обозначения возможны в связи с тем, что лог спектра мощности равен логарифму спектра, если применяется масштабный коэффициент 2: [5]
и поэтому:
что обеспечивает связь с реальным кепстром (см. ниже).
Далее следует отметить, что последняя операция возведения в квадрат в формуле спектра мощности иногда называют ненужным [3] и поэтому иногда опускается. [4] [2]
Реальный кепстр напрямую связан со степенным кепстром:
Он получается из комплексного кепстра (определенного ниже) путем отбрасывания фазовой информации (содержащейся в мнимой части комплексного логарифма ). [4] Основное внимание уделяется периодическим эффектам в амплитудах спектра: [6]
Комплексный сцептр
[ редактировать ]Комплексный кепстр был определен Оппенгеймом в его разработке теории гомоморфных систем. [7] [8] Формула представлена и в другой литературе. [2]
Как является сложным, логтерм можно также записать с помощью как произведение величины и фазы, а затем как сумму. Дальнейшее упрощение очевидно, если log — натуральный логарифм с основанием e :
Следовательно: Комплексный кепстр можно также записать как: [9]
Комплексный кепстр сохраняет информацию о фазе. Таким образом, всегда можно вернуться из области запросов во временную область с помощью обратной операции: [2] [3]
где b — основание используемого логарифма.
Основное применение — модификация сигнала в области частот (лифтинг) как аналог операции фильтрации в области спектральных частот. [2] [3] Примером является подавление эхо-эффектов путем подавления определенных частот. [2]
Фазовый кепстр (после фазового спектра ) связан с комплексным кепстром как
- фазовый спектр = (комплексный кепстр − обращение времени комплексного кепстра) 2 .
Связанные понятия
[ редактировать ]кепстрального Независимая переменная графа называется квенренцией . [10] Кефрентность — это мера времени, но не в смысле сигнала во временной области . Например, если частота дискретизации аудиосигнала составляет 44 100 Гц и в кепстре имеется большой пик, квенренность которого равна 100 выборкам, этот пик указывает на наличие основной частоты, равной 44 100/100 = 441 Гц. Этот пик возникает в кепстре, поскольку гармоники в спектре являются периодическими, а период соответствует основной частоте, поскольку гармоники представляют собой целые кратные основной частоте. [11]
Кепстр . , который означает «временной отклик степенного ряда по уравнению Колмогорова», похож на кепстр и имеет к нему такое же отношение, как ожидаемое значение имеет статистическое среднее, т.е. кепстр — это эмпирически измеренная величина, а кепстр — это теоретическая величина количество. Он использовался до появления кепстра. [12] [13]
Автокепстр определяется как кепстр автокорреляции . Автокепстр более точен, чем кепстр, при анализе данных с эхо-сигналами.
Продолжая тему анаграмм, фильтр, работающий на кепстре, можно назвать лифтером . Подъемник нижних частот аналогичен фильтру нижних частот в частотной области . Его можно реализовать путем умножения на окно в частотной области и последующего преобразования обратно в частотную область, что приводит к модифицированному сигналу, т.е. с уменьшением эха сигнала.
Интерпретация
[ редактировать ]Кепстр можно рассматривать как информацию о скорости изменения в различных диапазонах спектра. Первоначально он был изобретен для характеристики сейсмического эха , возникающего в результате землетрясений и взрывов бомб . Его также использовали для определения основной частоты человеческой речи и для анализа отраженных радиолокационных сигналов. Определение высоты звука кепстра особенно эффективно, поскольку эффекты голосового возбуждения (высоты) и голосового тракта (форманты) складываются в логарифме спектра мощности и, таким образом, четко разделены. [14]
Кепстр — это представление, используемое при гомоморфной обработке сигналов для преобразования сигналов, объединенных с помощью свертки (например, источника и фильтра), в суммы их кепстров для линейного разделения. В частности, степенной кепстр часто используется в качестве вектора признаков для представления человеческого голоса и музыкальных сигналов. Для этих приложений спектр обычно сначала преобразуется с использованием шкалы mel . Результат называется кепстром мел-частоты или MFC (его коэффициенты называются кепстральными коэффициентами мел-частоты или MFCC). Он используется для голосовой идентификации, определения высоты звука и многого другого. Кепстр полезен в этих приложениях, поскольку низкочастотное периодическое возбуждение голосовых связок и формантная фильтрация речевого тракта , которые свертываются во временной области и умножаются в частотной области , являются аддитивными и находятся в разных областях квенрентной области. .
Обратите внимание, что чистая синусоидальная волна не может использоваться для проверки кепстра на предмет определения его высоты тона по кечастотности, поскольку чистая синусоидальная волна не содержит никаких гармоник и не приводит к пикам кечастотности. Вместо этого следует использовать тестовый сигнал, содержащий гармоники (например, сумму как минимум двух синусов, где второй синус является некоторой гармоникой (кратной) первого синуса, или, лучше, сигнал с квадратной или треугольной формой волны, поскольку такие сигналы обеспечивают множество обертонов в спектре.).
Важным свойством кепстрального домена является то, что свертка двух сигналов может быть выражена как сложение их комплексных кепстров:
Приложения
[ редактировать ]Концепция кепстра привела к многочисленным приложениям: [2] [3]
- работа с выводом отражения (радар, гидролокаторы, сейсмология Земли)
- оценка основной частоты динамика (высоты)
- анализ и распознавание речи
- медицинские приложения для анализа электроэнцефалограммы (ЭЭГ) и мозговых волн
- анализ вибрации машин на основе гармонических структур (неисправности коробки передач, поломки лопаток турбины и т. д.) [2] [4] [5]
Недавно деконволюция на основе кепстра была использована для сигналов поверхностной электромиографии, чтобы удалить влияние последовательности стохастических импульсов, которая генерирует сигнал пЭМГ , из спектра мощности самого сигнала пЭМГ. Таким образом, сохранялась только информация о форме и амплитуде потенциала действия двигательной единицы (MUAP), которая затем использовалась для оценки параметров модели самой MUAP во временной области. [15]
Кратковременный кепстральный анализ был предложен Шредером и Ноллом в 1960-х годах для применения при определении высоты звука человеческой речи. [16] [17] [14]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с д Б. П. Богерт, М. Дж. Р. Хили и Дж. В. Тьюки, Кефрентный анализ [ sic ] временных рядов для эхо: кепстр, псевдоавтоковариация, перекрестное кепстральное и саффовое растрескивание , материалы симпозиума по анализу временных рядов (М. Розенблатт, редактор), глава 15, 209–243. Нью-Йорк: Уайли, 1963.
- ^ Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж к л м Нортон, Майкл Питер; Карчуб, Денис (17 ноября 2003 г.). Основы анализа шума и вибрации для инженеров . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-49913-5 .
- ^ Перейти обратно: а б с д и ж г час Д. Г. Чайлдерс, Д. П. Скиннер, Р. К. Кемерайт, « Кепстр: руководство по обработке данных », Proceedings of the IEEE , Vol. 65, № 10, октябрь 1977 г., стр. 1428–1443.
- ^ Перейти обратно: а б с д Р.Б. Рэндалл: Анализ кепстра и диагностика неисправностей коробки передач, Рекомендации по применению Брюля и Кьяера 233-80, издание 2 . (PDF)
- ^ Перейти обратно: а б Информационная система Beckhoff: TF3600 TC3 Condition Monitoring: Мониторинг коробки передач (онлайн, 4.4.2020) .
- ^ «Реальный кепстр и минимально-фазовая реконструкция — MATLAB rceps» .
- ^ А.В. Оппенгейм, "Суперпозиция в одном классе нелинейных систем", к.т.н. дисс., Рез. Лаб. Электроника, Массачусетский технологический институт, 1965.
- ^ А. В. Оппенгейм, Р. В. Шафер, «Цифровая обработка сигналов», 1975 (Прентис Холл).
- ^ Р.Б. Рэндалл: «История кепстрального анализа и его применения к механическим проблемам» (PDF) в: Механические системы и обработка сигналов, том 97, декабрь 2017 г. (Elsevier).
- ^ Штайнбух, Карл В .; Вебер, Вольфганг; Хайнеманн, Трауте, ред. (1974) [1967]. Карманный справочник по информатике - Том III - Приложения и специальные системы для обработки сообщений (на немецком языке). Том 3 (3-е изд.). Берлин, Германия: Springer Verlag . стр. 272–274. ISBN 3-540-06242-4 . LCCN 73-80607 .
{{cite book}}
:|work=
игнорируется ( помогите ) - ^ «Введение — Дискретный кепстр» . Поддержка.ircam.fr. 1 января 1990 года . Проверено 16 сентября 2022 г.
- ^ «Прогнозирующее разложение временных рядов с применением к сейсморазведке», отчет Э.А. Робинсона Массачусетского технологического института, 1954 г.; Геофизика 1967 вып. 32, стр. 418–484;
«Использование кепстра в анализе сигналов», М. Т. Сильвия и Э. А. Робинсон, Geoexploration, том 16, выпуски 1–2, апрель 1978 г., страницы 55–73. - ^ «Подход кепструма к фильтрации, сглаживанию и прогнозированию с применением к улучшению речи», Т. Дж. Мойр и Дж. Ф. Барретт, Proc. Королевское общество А, том. 459, 2003, стр. 2957–2976.
- ^ Перейти обратно: а б А. Майкл Нолл (1967), «Определение высоты кепстра», Журнал Акустического общества Америки, Vol. 41, № 2, стр. 293–309.
- ^ Г. Биагетти, П. Криппа, С. Орсиони и К. Турчетти, «Гомоморфная деконволюция для оценки muap по поверхностным сигналам ЭМГ», Журнал IEEE по биомедицинской и медицинской информатике, том. 21, нет. 2, стр. 328–338, март 2017 г.
- ^ А. Майкл Нолл и Манфред Р. Шредер , «Кратковременное обнаружение высоты кепстра», (аннотация) Журнал Акустического общества Америки, Vol. 36, № 5, с. 1030
- ^ А. Майкл Нолл (1964), «Кратковременные методы спектра и кепстра для обнаружения высоты голоса», Журнал Акустического общества Америки, Vol. 36, № 2, стр. 296–302.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Чайлдерс, Д.Г.; Скиннер, ДП; Кемерайт, Р.К. (1977). «Кепстр: Руководство по обработке». Труды IEEE . 65 (10). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 1428–1443. Бибкод : 1977IEEP..65.1428C . дои : 10.1109/proc.1977.10747 . ISSN 0018-9219 . S2CID 6108941 .
- Оппенгейм, А.В.; Шафер, Р.В. (2004). «История DSP - От частоты к квенренции: история кепстра». Журнал обработки сигналов IEEE . 21 (5). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 95–106. Бибкод : 2004ISPM...21...95O . дои : 10.1109/msp.2004.1328092 . ISSN 1053-5888 . S2CID 1162306 .
- « Анализ речевых сигналов ».
- « Анализ речи: кепстральный анализ против LPC », www.advsolned.com
- « Учебное пособие по Цепструму и LPCC »