Экономичный объем заказа

Экономический объем заказа ( EOQ ), также известный как финансовый объем покупки или экономический объем покупки . — это объем заказа, который минимизирует общие затраты на хранение и затраты на заказ при управлении запасами . Это одна из старейших классических моделей планирования производства . Модель была разработана Фордом У. Харрисом в 1913 году, но консультант Р. Х. Уилсон широко применил ее, и ему и К. Андлеру отдается должное за их глубокий анализ.

Обзор

EOQ применяется только тогда, когда спрос на продукт постоянен в течение определенного периода времени (например, года) и каждый новый заказ доставляется в полном объеме, когда запасы достигают нуля. За каждый размещенный заказ взимается фиксированная стоимость, независимо от количества заказанных товаров; Предполагается, что заказ содержит только один тип товарной позиции. Существует также стоимость каждой единицы товара, находящейся на хранении, обычно известная как стоимость хранения , иногда выражаемая в процентах от стоимости покупки товара. Хотя формулировка EOQ проста, в ее практическом применении учитываются такие факторы, как тарифы на транспортировку и скидки за количество.

EOQ указывает оптимальное количество единиц для заказа, чтобы минимизировать общие затраты, связанные с покупкой, доставкой и хранением продукта.

Требуемыми параметрами решения являются общий спрос за год, стоимость покупки каждого товара, фиксированная стоимость размещения заказа на один товар и стоимость хранения каждого товара в год. Обратите внимание, что количество раз размещения заказа также повлияет на общую стоимость, хотя это количество можно определить из других параметров.

Переменные

• $T$ = общая годовая стоимость запасов
• $P$ = цена единицы покупки, себестоимость единицы продукции
• $Q$ = количество заказа
• $Q^{*}$ = оптимальный объем заказа
• $D$ = объем годового спроса
• $K$ = фиксированная стоимость за заказ, стоимость установки ( не за единицу, обычно стоимость заказа, доставки и обработки. Это не стоимость товара)
• $h$ = годовая стоимость хранения единицы продукции, также известная как стоимость хранения или стоимость хранения (капитальные затраты, складские площади, охлаждение, страхование, альтернативные издержки (цена х проценты) и т. д. обычно не связаны с себестоимостью единицы продукции)

Функция общей стоимости и вывод формулы EOQ

Формула EOQ для одного элемента находит минимальную точку следующей функции затрат:

Общая стоимость = стоимость покупки или стоимость производства + стоимость заказа + стоимость хранения.

Где:

• Стоимость покупки: это переменная стоимость товаров: цена за единицу покупки × объем годового спроса. Это П × Д
• Стоимость заказа: это стоимость размещения заказов: каждый заказ имеет фиксированную стоимость K, и нам нужно заказывать D/Q раз в год. Это K × D/Q
• Стоимость хранения: среднее количество на складе (между полностью пополненным и пустым) составляет Q/2, поэтому эта стоимость равна h × Q/2.

$T=PD+K{\frac {D}{Q}}+h{\frac {Q}{2}}$.

Чтобы определить минимальную точку кривой общих затрат, вычислите производную общих затрат по Q (предположим, что все остальные переменные постоянны) и установите ее равной 0:

${0}=-{\frac {DK}{Q^{2}}}+{\frac {h}{2}}$

Решение для Q дает Q* (оптимальный объем заказа):

$Q^{*2}={\frac {2DK}{h}}$

Поэтому:

Экономичный объем заказа

$Q^{*}={\sqrt {\frac {2DK}{h}}}$

Q* не зависит от P; это функция только K, D, h.

Оптимальное значение Q* можно также найти, признав, что

$T={\frac {DK}{Q}}+{\frac {hQ}{2}}+PD={\frac {h}{2Q}}(Q-{\sqrt {2DK/h}})^{2}+{\sqrt {2hDK}}+PD,$

где неотрицательный квадратичный член исчезает при ${\textstyle Q={\sqrt {2DK/h}},}$ что обеспечивает минимум затрат $T_{min}={\sqrt {2hDK}}+PD.$

Пример

• Годовая потребность (D) = 10 000 единиц.
• Стоимость заказа (тыс.) = 40
• Стоимость за единицу (P)= 50
• Ежегодная стоимость хранения за единицу = 4
• Рыночная процентная ставка = 2%

Экономичный объем заказа = ${\sqrt {\frac {2D\cdot K}{h}}}$ $={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{4+50\cdot 2\%}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{5}}}$ = 400 единиц

Количество заказов в год (на основе EOQ) $={\frac {10000}{400}}=25$

Общая стоимость $=P\cdot D+K(D/EOQ)+h(EOQ/2)$

Общая стоимость $=50\cdot 10000+40\cdot (10000/400)+5\cdot (400/2)=502000$

Если мы проверим общую стоимость для любого количества заказа, отличного от 400 (=EOQ), мы увидим, что стоимость выше. Например, предположим, что в заказе 500 единиц, тогда

Общая стоимость $=50\cdot 10000+40\cdot (10000/500)+5\cdot (500/2)=502050$

Аналогично, если мы выберем 300 для количества заказа, то

Общая стоимость $=50\cdot 10000+40\cdot (10000/300)+5\cdot (300/2)=502083.33$

Это показывает, что экономичный объем заказа всегда отвечает интересам фирмы.

Расширения модели EOQ

Скидки за количество

Важным расширением модели EOQ является учет скидок за количество. Существует два основных типа оптовых скидок: (1) единые и (2) дополнительные. Вот числовой пример:

• Дополнительная скидка на единицу: единицы 1–100 стоят 30 долларов США каждая; Блоки 101–199 стоят 28 долларов каждая; Единицы 200 и выше стоят 26 долларов каждая. Таким образом, при заказе 150 единиц общая стоимость составит 30*100 долларов США + 28*50 долларов США.
• Скидка на все единицы: заказ от 1 до 1000 единиц стоит 50 долларов США за штуку; заказ от 1001 до 5000 единиц стоит 45 долларов США за штуку; заказ более 5000 единиц стоит 40 долларов США за штуку. Таким образом, при заказе 1500 единиц общая стоимость составит 45*1500 долларов США.

Чтобы найти оптимальный объем заказа при различных схемах скидок за количество, следует использовать алгоритмы; эти алгоритмы разработаны в предположении, что политика EOQ по-прежнему оптимальна при наличии скидок за количество. Перера и др. (2017) установить эту оптимальность и полностью охарактеризовать (s,S) оптимальность в рамках настройки EOQ при общих структурах затрат.

Разработка оптимальных графиков скидок по количеству

При наличии стратегического клиента, который оптимально реагирует на график скидок, разработка поставщиком схемы скидок на оптимальное количество является сложной и требует тщательного подхода. Это особенно верно, когда спрос со стороны потребителя сам по себе неопределенен. Интересный эффект, называемый «обратным кнутом», имеет место, когда увеличение неопределенности потребительского спроса фактически снижает неопределенность количества заказов у ​​поставщика.

Затраты на дозаказ и несколько позиций

К модели EOQ можно внести несколько расширений, включая затраты на дозаказ. и несколько предметов. В случае, если дозаказы разрешены, затраты на содержание запасов за цикл составляют:

$IC\int \limits _{0}^{T_{1}}(Q-s-\lambda t)\,dt={\frac {IC}{2\lambda }}(Q-s)^{2},$

где s — количество отложенных заказов при доставке количества заказа Q и $\lambda$ это уровень спроса. Стоимость дозаказа за цикл составляет:

$\pi s+{\hat {\pi }}\int \limits _{0}^{T_{2}}\lambda tdt=\pi s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}\lambda T_{2}^{2}=\pi s+{\frac {{\hat {\pi }}s^{2}}{2\lambda }},$

где $\pi$ и ${\hat {\pi }}$ затраты на дозаказ, $T_{2}=T-T_{1}$, T — длина цикла, а $T_{1}=(Q-s)/\lambda$. Среднегодовые переменные затраты представляют собой сумму затрат на заказ, затрат на хранение запасов и затрат на невыполненные заказы:

${\mathcal {K}}={\frac {\lambda }{Q}}A+{\frac {1}{2Q}}IC(Q-s)^{2}+{\frac {1}{Q}}[\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}]$

Чтобы свести к минимуму ${\mathcal {K}}$ наложим частные производные, равные нулю:

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=-{\frac {1}{Q^{2}}}\left[{\lambda }A+{\frac {1}{2}}IC(Q-s)^{2}+\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}\right]+{\frac {IC}{Q}}(Q-s)=0$

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial s}}=-{\frac {IC}{Q}}(Q-s)+{\frac {1}{Q}}\pi \lambda +{\frac {1}{Q}}{\hat {\pi }}s=0$

Подстановка второго уравнения в первое дает следующее квадратное уравнение :

$[{\hat {\pi }}^{2}+{\hat {\pi }}IC]s^{2}+2\pi {\hat {\pi }}\lambda s+(\pi \lambda )^{2}-2\lambda AIC=0$

Если ${\hat {\pi }}=0$ либо s=0, либо $s=\infty$ является оптимальным. В первом случае оптимальная партия определяется классической формулой EOQ, во втором случае заказ никогда не размещается, а минимальная годовая стоимость определяется формулой $\pi \lambda$. Если $\pi >{\sqrt {\frac {2AIC}{\lambda }}}=\delta$ или $\pi \lambda >K_{w}$ $s^{*}=0$ является оптимальным, если $\pi <\delta$ тогда не должно быть никакой системы инвентаризации. Если ${\hat {\pi }}\neq 0$ решение предыдущего квадратного уравнения дает:

$s^{*}=[{\hat {\pi }}+IC]^{-1}\left(-\pi \lambda +\left[(2\lambda AIC)\left(1+{\frac {IC}{\hat {\pi }}}\right)-{\frac {IC}{\hat {\pi }}}(\pi \lambda )^{2}\right]^{1/2}\right)$

$Q^{*}=\left[{\frac {{\hat {\pi }}+IC}{\hat {\pi }}}\right]^{1/2}\left[{\frac {2\lambda A}{IC}}-{\frac {(\pi \lambda )^{2}}{IC({\hat {\pi }}+IC)}}\right]^{1/2}$

Если есть предзаказы , точка повторного заказа: $r_{h}^{*}=\mu -mQ^{*}-s^{*}$; где m — наибольшее целое число $m\leq {\frac {\tau }{T}}$ и μ – спрос на время выполнения заказа.

Кроме того, экономичный интервал заказа может быть определена на основе EOQ, а модель экономического объема производства (которая определяет оптимальный объем производства) может быть определена аналогичным образом.

Версия модели, модель Баумоля-Тобина , также использовалась для определения функции спроса на деньги , где денежные запасы человека можно рассматривать параллельно с запасами фирмы.

Малакути (2013) представила многокритериальные модели EOQ, критериями которых могут быть минимизация общей стоимости, количества заказов (запасов) и дефицита.

Версия, учитывающая временную стоимость денег, была разработана Триппи и Льюином.

Неидеальное качество

Еще одним важным расширением модели EOQ является рассмотрение товаров несовершенного качества. Саламе и Джабер (2000) были первыми, кто очень тщательно изучил несовершенные элементы модели EOQ. Они рассматривают проблему запасов, в которой спрос является детерминированным и в партии есть доля несовершенных товаров, которые проверяются покупателем и продаются им в конце цикла по сниженной цене.

Критика

Модель EOQ и ее сестра, модель экономического объема производства (EPQ), подверглись критике за «ограниченный набор допущений». Гуга и Муса используют модель для бизнес-кейса в Албании и приходят к выводу, что модель «идеальна теоретически, но не очень подходит с практической точки зрения этой фирмы». Однако Джеймс Каргал отмечает, что формула была разработана, когда бизнес-расчеты проводились «вручную», с использованием логарифмических таблиц или логарифмической линейки . Использование электронных таблиц и специального программного обеспечения обеспечивает большую гибкость в использовании формулы и принятие «более реалистичных предположений», чем в исходной модели.

См. также

• Пункт повторного заказа
• Страховой запас
• Экономичный объем производства
• Модель поставщика новостей
• Модель динамического размера лота
• Проблема планирования экономичных партий

Дальнейшее чтение

• Харрис, Форд В. Операционные затраты (серия «Управление заводом»), Чикаго: Шоу (1915)
• Харрис, Форд В. (1913). «Сколько деталей сделать сразу». Фабрика, Журнал Менеджмента . 10 : 135–136, 152.
• Лагерь, МЫ «Определение количества производственного заказа», «Техника управления», 1922 г.
• Уилсон, Р.Х. (1934). «Научная процедура контроля запасов». Гарвардское деловое обозрение . 13 : 116–28.
• Плоссель, Джордж. Планирование потребности в материалах Орлицкого. Второе издание. МакГроу Хилл. 1984 г. (первое издание 1975 г.)
• Эрленкоттер, Дональд (2014). «Экономичная модель размера партии Ford Whitman Harris» . Международный журнал экономики производства . 155 : 12–15. дои : 10.1016/j.ijpe.2013.12.008 . S2CID   153794306 .
• Перера, Сандун; Джанакираман, Ганеш; Ню, Шун-Чен (2017). «Оптимальность политик (s,S) в моделях EOQ с общей структурой затрат». Международный журнал экономики производства . 187 : 216–228. дои : 10.1016/j.ijpe.2016.09.017 .
• Перера, Сандун; Джанакираман, Ганеш; Ню, Шун-Чен (2018). «Оптимальность (s, S) политики запасов при спросе на возобновление и общей структуре затрат». Управление производством и эксплуатацией . 27 (2): 368–383. дои : 10.1111/poms.12795 . hdl : 2027.42/142450 .
• Цан-Минг Чой (ред.) Справочник по проблемам инвентаризации EOQ: стохастические и детерминистические модели и приложения, Международная серия Springer по исследованию операций и науке управления, 2014. дои : 10.1007/978-1-4614-7639-9 .
• Вентура, Роберт; Сэмюэл, Стивен (2016). «Оптимизация впрыска топлива в двигателе GDI с использованием экономичного количества заказа и функции Ламберта W» . Прикладная теплотехника . 101 : 112–20. doi : 10.1016/j.applthermaleng.2016.02.024 .
• Спрос на обновление и (s, S) оптимальность Переры, Джанакирамана и Ниу [1]

Внешние ссылки

• Модель EOQ
• Пясецкий, Д., Vol. III, выпуск 12, декабрь 2015 г.