График Олла – Кокстера

График Олла – Кокстера
График Олла – Кокстера
Назван в честь	WT Тутте ; HSM Коксетер
Вершины	30
Края	45
Радиус	4
Диаметр	4
Обхват	8
Автоморфизмы	1440 (Авт(S 6 ))
Хроматическое число	2
Хроматический индекс	3
Толщина книги	3
Номер очереди	2
Характеристики	Кубический ; Клетка ; Граф Мура ; Симметричный ; Дистанционно-регулярный ; Дистанционно-транзитивный ; двусторонний
	Таблица графиков и параметров

В математической области теории графов граф Тутта-Коксетера или граф Тутта с восемью клетками или граф Кремоны-Ричмонда представляет собой 3- регулярный граф с 30 вершинами и 45 ребрами. Будучи уникальным наименьшим кубическим графом обхвата 8 , он представляет собой клетку и граф Мура . Он двудольный и может быть построен как граф Леви обобщенного четырехугольника W ₂ (известный как конфигурация Кремоны–Ричмонда ). График назван в честь Уильяма Томаса Тутта и HSM Coxeter ; он был открыт Тутте (1947), но его связь с геометрическими конфигурациями исследовалась обоими авторами в паре совместно опубликованных статей (Татте 1958; Коксетер 1958а).

Все кубически- дистанционно-регулярные графы известны. ^[1] Тутт-Коксетер — один из 13 таких графов.

Имеет переезд номер 13, ^[2]^[3] толщина книги 3 и очередь номер 2. ^[4]

Конструкции и автоморфизмы

Граф Тутта-Коксетера — это двудольный граф Леви, соединяющий 15 идеальных паросочетаний 6-вершинного полного графа с _K6 его 15 ребрами, как описано Коксетером (1958b) на основе работы Сильвестра (1844). Каждая вершина соответствует ребру или идеальному паросочетанию, а соединенные вершины представляют структуру инцидентности между ребрами и паросочетаниями.

Основываясь на этой конструкции, Коксетер показал, что граф Тутта – Коксетера является симметричным графом ; он имеет группу из 1440 автоморфизмов , которые можно отождествить с автоморфизмами группы перестановок шести элементов (Coxeter 1958b). этой Внутренние автоморфизмы группы соответствуют перестановке шести вершин К6 _графа ; эти перестановки действуют на граф Тутта – Кокстера, переставляя вершины на каждой стороне его двураздела, сохраняя при этом каждую из двух сторон фиксированной как набор. Кроме того, внешние автоморфизмы группы перестановок заменяют одну сторону бираздела на другую. Как показал Коксетер, любой путь, имеющий до пяти ребер в графе Тутта – Кокстера, эквивалентен любому другому такому пути с помощью одного такого автоморфизма.

Граф Тутта – Кокстера как здание

Этот граф представляет собой сферическое здание, связанное с симплектической группой. $Sp_{4}(\mathbb {F} _{2})$ (между этой группой и симметрической группой существует исключительный изоморфизм $S_{6}$ ). Точнее, это граф инцидентности обобщенного четырехугольника .

Конкретно, граф Тутта-Коксетера можно определить из 4-мерного симплектического векторного пространства. $V$ над $\mathbb {F} _{2}$ следующее:

вершины представляют собой либо ненулевые векторы, либо изотропные 2-мерные подпространства,
существует грань между ненулевым вектором v и изотропным двумерным подпространством $W\subset V$ тогда и только тогда, когда $v\in W$ .

Галерея

Хроматическое число графа Тутта – Кокстера равно 2.
Хроматический индекс графа Тутта – Кокстера равен 3.

Ссылки

^ Брауэр, А.Э.; Коэн, AM; и Ноймайер А. Дистанционно-регулярные графы. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1989.
^ Пегг, ET ; Эксу, Г. (2009). «Пересечение графов чисел» . Журнал Математика . 11 (2). дои : 10.3888/tmj.11.2-2 .
^ Эксу, Г. «Прямолинейные рисунки известных графов» .
^ Вольц, Джессика; Проектирование линейных макетов с помощью SAT. Магистерская диссертация, Тюбингенский университет, 2018 г.

Коксетер, HSM (1958a). «Хорды нелинейчатой квадрики в PG(3,3)» . Может. Дж. Математика . 10 : 484–488. дои : 10.4153/CJM-1958-047-0 .
Коксетер, HSM (1958b). «Двенадцать баллов в PG(5,3) с 95040 самопреобразованиями». Труды Королевского общества А. 247 (1250): 279–293. Бибкод : 1958RSPSA.247..279C . дои : 10.1098/rspa.1958.0184 . JSTOR 100667 . S2CID 121676627 .
Сильвестр, Джей-Джей (1844 г.). «Элементарные исследования по анализу комбинаторной агрегации» . Фил. Маг . Серия 3. 24 : 285–295. дои : 10.1080/147864444408644856 .
Тутте, WT (1947). «Семейство кубических графов». Учеб. Кембриджская философия. Соц . 43 (4): 459–474. Бибкод : 1947PCPS...43..459T . дои : 10.1017/S0305004100023720 . S2CID 123505185 .
Тутте, WT (1958). «Хорды нелинейчатой квадрики в PG(3,3)» . Может. Дж. Математика . 10 : 481–483. дои : 10.4153/CJM-1958-046-3 .

Внешние ссылки

Франсуа Лабель. «3D-модель 8-клетки Тутте» .
Вайсштейн, Эрик В. «Леви Граф» . Математический мир .
Эксу, Г. «Прямолинейные рисунки известных графов». [1]

[1] Брауэр, А.Э.; Коэн, AM; и Ноймайер А. Дистанционно-регулярные графы. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1989.

[2] Пегг, ET ; Эксу, Г. (2009). «Пересечение графов чисел» . Журнал Математика . 11 (2). дои : 10.3888/tmj.11.2-2 .

[3] Эксу, Г. «Прямолинейные рисунки известных графов» .

[4] Вольц, Джессика; Проектирование линейных макетов с помощью SAT. Магистерская диссертация, Тюбингенский университет, 2018 г.

[1]

[2]

[3]

[4]